Giáo án Đại số giải tích 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học. Tiết: 37, 38 Tuần: 13 . I. MỤC ĐÍCH BÀI DẠY: Kiến thức cơ bản: Các bước thực hiện phương pháp quy nạp toán học. Kỹ năng: Hiểu nội dung phương pháp quy nạp toán học, nắm vững hai bước thực hiện phương pháp quy nạp, ứng dụng vào bài toán chứng minh thực tế. Giáo dục tư tưởng: Rèn luyện tư duy logic, sáng tạo, khả năng so sánh, tổng hợp, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tự giác trong học tập cho học sinh. II. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC: Phương pháp: Đàm thoại, gợi mở. Phương tiện dạy học: Sách giáo khoa, phấn, bông bảng. III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP Chuẩn bị: Kiểm tra bài cũ: không có Vào bài. Trình bày tài liệu mới: Nội dung (lưu bảng) Hoạt động của GV Hoạt động của HS I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC * Hoạt động 1: Xét 2 mệnh đề P(n):"; Q(n):"" a) Với n=1,2,3,4,5. Tính P(n), Q(n) từ đó suy ra P(n), Q(n) đúng hay sai ? b) P(n), Q(n) đúng hay sai với mọi n N* ? * Phương pháp quy nạp toán học được thực hiện hai bước: @ Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với giá trị n nhỏ nhất. @ Bước 2: Giả thuyết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n=k. Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Tổ chức học sinh thực hiện hoạt động 1: * Yêu cầu 2 học sinh lên bảng thực hiện câu a. Ta có: P(1),P(2),P(3),P(4) đúng; P(5) sai còn Q(1),Q(2),Q(3),Q(4),Q(5) đều đúng. * Cho học sinh thảo luận câu b để dẫn đến phương pháp quy nạp. * Giới thiệu phương pháp quy nạp. * Thực hiện hoạt động 1. * Đưa ra nhận xét khi nào thì kết luận mệnh đề đúng với mọi n, không đúng với mọi n. II. VÍ DỤ ÁP DỤNG 1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n N* thì : 1+3+5++(2n-1)=n2 (1). Giải Đặt Sn=1+3+5++(2n-1) ta cần cm: Sn=n2. * Bước 1: Khi n=1 ta có (1) 1=1 (đúng) vậy (1) đúng với n=1. * Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k1. Nghĩa là: Sk= 1+3+5++(2k-1)=k2 Ta chứng minh (1) đúng với k+1, tức là cm: Sk+1= 1+3+5++(2(k+1)-1)=(k+1)2 Thật vậy: Ta có: Sk+1= 1+3+5++(2(k+1)-1)=1+3+5++(2k-1)+(2k+1)=Sk+(2k+1) = k2+2k+1=(k+1)2 vậy (1) đúng với n=k+1. Vậy (1) đúng với n N* . 2. Hoạt động 2: Chứng minh với n N* thì: (2) Giải Đặt Sn=1+2+3++n * Bước 1: Khi n=1 ta có: 1= (đúng).Vậy (2) đúng với n=1. * Bước 2: giả sử (2) đúng với n=k tức là: . Ta cần chứng minh (2) đúng với n=k+1. Tức là cm: . Thật vậy: ta có =. Vậy (2) đúng với n N*. 3. Ví dụ 2: Chứng minh rằng n N* thì n3-n chia hết cho 3. Giải Đặt An=n3-n * Khi n=1 ta có: A1=0. * Giả sử mệnh đề đúng với n=k tức là: Ak=k3-k. Ta chứng minh: Ak+1=(k+1)3-(k+1). Thật vậy: ta có Ak+1=(k+1)3-(k+1)=Ak+3(k2+k) Theo gt ta có: Ak= mà 3(k2+k) Ak+1. Vậy mệnh đề đúng với n N* . 4. Hoạt động 3: Cho 2 số 3n và 8n với n N* . a) So sánh 3n và 8n khi n=1,2,3,4,5. b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Giải a) Với n=1,2 ta có 3n8n. b) Dự đoán: 3n>8n với n. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: * Khi n=3: ta có 33>8.3 vậy mệnh đề đúng với n=3. * Giả sử mệnh đề đúng với n=k tức là: 3k>8k. Ta chứng minh: 3k+1>8(k+1). Thật vậy: ta có 3k+1=3.3k=3k+2.3k Ta có: 3k>8k và 2.3k>2.27>8 3k+1>8(k+1). Vậy 3n>8n với n. * Ví dụ 1: Giáo viên đặt các câu hỏi sau: - Bước 1 kiểm tra với n=? - Bước 2: Giả thuyết quy nạp là gì ? Và chứng minh điều gì ? * Các ví dụ còn lại: yêu cầu mỗi đợt 2 học sinh lên bảng trình bày, giáo viên theo dõi. * Chú ý: Phần hoạt động 4, cần để học sinh dự đoán để phát huy khả năng tìm tòi của học sinh. - Thảo luận và trả lời câu hỏi của giáo viên. - Thực hiện các ví dụ còn lại. 3. Bài tập Bài 1: a) Đặt Sn=2+5+8++3n-1 * Bước 1: Khi n=1 ta có: 2= (đúng) vậy mđ đúng với n=1. * Bước 2: Giả sử mđ đúng với n=k. tức là Sk=2+5+8++3k-1=. Ta cm:Sk+1=2+5+8++(3(k+1)-1)=. Thật vậy: Sk+1=Sk+3k+2=+3k+2= Vậy mđ đúng với n N*. b) Đặt * Bước 1: Khi n=1 ta có: (đúng) vậy mđ đúng với n=1. * Bước 2: Giả sử mđ đúng với n=k. tức là Ta cm: Thật vậy: Sk+1=Sk+ Vậy mđ đúng với n N*. c) Đặt * Bước 1: Khi n=1 ta có: (đúng) vậy mđ đúng với n=1. * Bước 2: Giả sử mđ đúng với n=k. tức là Ta cm: Thật vậy: Sk+1=Sk+= Vậy mđ đúng với n N*. Bài 2. a) Đặt * Bước 1: Khi n=1 ta có: (đúng) vậy mđ đúng với n=1. * Bước 2: Giả sử mđ đúng với n=k. tức là Ta cm: Thật vậy: Vậy mđ đúng với n N*. b) Đặt * Bước 1: Khi n=1 ta có: (đúng) vậy mđ đúng với n=1. * Bước 2: Giả sử mđ đúng với n=k. tức là Ta cm: Thật vậy: Vậy mđ đúng với n N*. c) Đặt * Bước 1: Khi n=1 ta có: (đúng) vậy mđ đúng với n=1. * Bước 2: Giả sử mđ đúng với n=k. tức là Ta cm: Thật vậy: Vậy mđ đúng với n N*. Bài 3: a) * Bước 1: Khi n=2 ta có bất đẳng thức đúng với n=2. * Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k. Tức là (1). Ta chứng minh: . Thật vậy: từ (1) vậy bất đẳng thức đúng với . b) * Bước 1: Khi n=2 ta có bất đẳng thức đúng với n=2. * Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k. Tức là (1). Ta chứng minh: . Thật vậy: từ (1) vậy bất đẳng thức đúng với . Bài 4: a) b) Dự đoán: với n N*. * Bước 1: Khi n=1 ta có: (đúng) vậy mđ đúng với n=1. * Bước 2: Giả sử mđ đúng với n=k. tức là Ta cm: Thật vậy: Sk+1=Sk+ Vậy mđ đúng với n N*. Bài 5: * Bước 1: Với n=4 ta có tứ giác. Thay n =4 vào công thức ta được: . Do tứ giác có 2 đường chéo nên công thức đúng với n=4. * Bước 2: Giả sử công thức đúng với n=k tức là: với đa giác k cạnh ta có: đường chéo. Ta chứng minh đa giác k+1 cạnh có đường chéo. Thật vậy: Nối A1 với Ak ta được đa giác n cạnh: theo gt quy nạp ta có Nối Ak+1 với A2,A3,,Ak-1 ta được k -2 đường chéo nữa. Ngoài ra A1Ak cũng là 1 đường chéo của đa giác k+1 cạnh. Vậy số đường chéo là: +k -2 +1=. Vậy công thức đúng với đa giác lồi n cạnh.