Giáo án Đại số giải tích 11 - Chương III: Dãy số cấp số cộng và cấp số nhân

Ngày soạn: Ngày giảng: Chương III: Dãy số cấp số cộng và cấp số nhân Tiết 37: phương pháp quy nạp toán học A, Phần chuẩn bị: I, Mục tiêu: 1,Kiến thức: Hiểu nội dung của phương pháp quy nạp toán học bao gồm hai bước (bắt buộc) theo một trình tự quy định 2,Kĩ năng: Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí 3, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống II, Chuẩn bị : 1, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. 2, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi, B, Phần thể hiện khi lên lớp : I,Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới II, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 2 (7’) Hướng dẫn học sinh nắm được phương pháp quy nạp toán học. Nêu các bước của phương pháp quy nạp toán học ? Hoạt động 2(8’) Nêu bài toán Kiểm tra khi n=1 ? Giả sử đẳng thức đúng với , Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1, Kết luận: Nêu ví dụ Kiểm tra với n= 1 Giả sử với ta có: (giả thiết quy nạp) . Ta phải chứng minh : Kết luận Học sinh đọc khái niệm phương pháp quy nạp toán học Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh răng nó cũng đúng với n=k+1 Đọc bài toán và sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh? Bước 1: khi n=1 , ta có : Bước 2: : Đặt vế trái bằng Sn Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là : (giả thiết quy nạp). Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1, tức là : Đọc ví dụ và sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh? Bước 1: với n=1, ta có: Bước 2: Giả sử với ta có: (giả thiết quy nạp) . Ta phải chứng minh : Thật vậy : ta có: I, Phương pháp quy nạp toán học: Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể trực tiếp được thì có thể làm như sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh răng nó cũng đúng với n=k+1 Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. II, Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: chứng minh rằng với thì: Giải : Bước 1: khi n=1 , ta có : vậy hệ thức (1) đúng. Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là : (giả thiết quy nạp). Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1, tức là : Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có : Vậy hệ thức (1) đúng với mọi Ví dụ 2: Chứng minh rằng với thì Giải : đặt Bước 1: với n=1, ta có: Bước 2: Giả sử với ta có: (giả thiết quy nạp) . Ta phải chứng minh : Thật vậy : ta có: theo giả thiết quy nạp , hơn nữa: nên Vậy chia hết cho 3 với mọi Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 38: phương pháp quy nạp toán học Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 3 (15’) Cho học sinh đọc chú ý: Đọc ví dụ và sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh? Nêu ví dụ Kiểm tra với Giả sử với ta có: (giả thiết quy nạp) . Ta phải chứng minh : Kết luận Hoạt động 4(10’) Nêu bài tập Kiểm tra với n=1 Giả sử với ta có: (giả thiết quy nạp) . Ta phải chứng minh : Kết luận Nêu chú ý - ở bước 1, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=p. - ở bước 2, ta giải thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì và ta phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k +1 So sánh khi n=1, 2, 3, 4, 5 n=1: 3 < 8 n=2: 9 < 16 n=3: 27 > 24 n=4: 81 > 32 n=5: Đọc ví dụ và sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh? Bước 1: với thì (3) đúng Bước 2: Giả sử với ta có: (giả thiết quy nạp) . Ta phải chứng minh : Thật vậy : Đọc bài tập và sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh? Bước 1: với n=1: Bước 2: Giả sử với ta có: (giả thiết quy nạp) . Ta phải chứng minh : Thật vậy : ta có: II, Ví dụ áp dụng: Chú ý : Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên (p là một số tự nhiên) thì : - ở bước 1, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=p. - ở bước 2, ta giải thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì và ta phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k +1 Ví dụ 3: Cho hai số và với A, so sánh với khi n= 1, 2, 3, 4, 5. B, Dự đoán kết quả tổng quát và chúng minh bằng phương pháp quy nạp . Giải : a, so sánh với Khi n=1: 3 < 8 n=2: 9 < 16 n=3: 27 > 24 n=4: 81 > 32 n=5: b, Với thì >.(3) Chứng minh: Bước 1: với thì (3) đúng Bước 2:giả thiết mệnh đề đúng với nghĩa là : ta phải chứng minh mđ(3) đúng với tức là : Theo giả thiết quy nạp ta có :: trừ vế với vế ta được với mọi thì mệnh đề luôn đúng. Bài tập : Bài 1 : chứng minh rằng với , ta có đẳng thức : Giải : Bước 1:kiểm tra với n=1: Bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với nghĩa là : ta phải chứng minh mệnh đề đúng với tức là: theo giả thiết quy nạp : Vậy mệnh đề được chứng minh. III, Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (5’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập trong sách giáo khoa Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 39: Dãy số A, Phần chuẩn bị: I, Mục tiêu: 1,Kiến thức: Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, các tính chất tăng giảm và bị chặn của dãy số. 2,Kĩ năng: Biết cách giải các bài tập về dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số. 3, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống II, Chuẩn bị : 1, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. 2, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi, B, Phần thể hiện khi lên lớp : I,Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới II, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1 (15’) Cho học sinh thực hiện hoạt động 1. Cho học sinh phát biểu khái niệm Nêu một số ví dụ về dãy số ? Hoạt động 2 (15’) Định nghĩa dãy số hữu hạn: Cho một số ví dụ về dãy số hữa hạn? Nêu các cách cho một dãy số ? Mỗi cách cho dãy số, lấy một ví dụ: Cho hàm số tính: phát biểu khái niệm ví dụ : a,dãy các số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.. b, dãy các số chính phương : 1, 4, 9, 16 có số hạng đầu và số hạng tổng quát là Phát biểu khái niệm dãy số hữu hạn: ví dụ : a, -4, -2, 0, 2, 4 b, 1, 3, 5, 7, 9 - Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát - Dãy số cho bằng phương pháp mô tả - Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi 1, Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 2, Dãy số cho bằng phương pháp mô tả dãy số () với là giá trị gần đúng thiếu của số với sai số tuyệt đối 3, Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: I,Định nghĩa 1, Định nghĩa dãy số : Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).Kí hiệu : Dãy số được viết dưới dạng khai triển : Trong đó hoặc được viết tắt là :() gọi là số hạng đầu, là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. ví dụ : a: dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, 7có số hạng đầu là và số hạng tổng quát là : b, dãy các số chính phương : 1, 4, 9, 16,.. có số hạng đầu và số hạng tổng quát là 2, Định nghĩa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập với được gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển là trong đó là số hạng đầu, là số hạng cuối. ví dụ: 1, 3, 5, 7, 9 là dãy số hữu hạn có II, cách cho một dãy số 1, Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: ví dụ : a, cho dãy số từ công thức (1) ta có thể xác định được bất kì số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn : viết dãy số dưới dạng khai triển là: Như vậy dãy số hoàn toàn xác định nếu biết công thức số hạng tổng quát của nó. 2, Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: ví dụ : số là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nếu lập dãy số () với là giá trị gần đúng thiếu của số với sai số tuyệt đối thì : Là dãy số được cho bằng phương pháp mô tả. Trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy. 3, Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi. ví dụ : dãy số phi-bô-na-xi là dãy số được xác định như sau: nghĩa là từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó. Cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi là : a, cho số hạng đầu( hay vài số hạng đầu) b, cho hệ thức truy hồi, tức là biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng )đứng trước nó. III, Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (5’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập trong sách giáo khoa Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 40: Dãy số A, Phần chuẩn bị: I, Mục tiêu: 1,Kiến thức: Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, các tính chất tăng giảm và bị chặn của dãy số. 2,Kĩ năng: Biết cách giải các bài tập về dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số. 3, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống II, Chuẩn bị : 1, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. 2, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi, B, Phần thể hiện khi lên lớp : I,Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới II, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1 (15’) Cho học sinh thực hiện hoạt động 1. Cho học sinh phát biểu khái niệm Nêu một số ví dụ về dãy số ? Hoạt động 2 (15’) Định nghĩa dãy số hữu hạn: Cho một số ví dụ về dãy số hữa hạn? Nêu các cách cho một dãy số ? Mỗi cách cho dãy số, lấy một ví dụ: Hướng dẫn cách cho dãy số bằng phương pháp mô tả Nêu cách cho dãy số cho bằng phương pháp truy hồi? Cho hàm số tính: phát biểu khái niệm ví dụ : a,dãy các số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.. b, dãy các số chính phương : 1, 4, 9, 16 có số hạng đầu và số hạng tổng quát là Phát biểu khái niệm dãy số hữu hạn: ví dụ : a, -4, -2, 0, 2, 4 b, 1, 3, 5, 7, 9 - Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát - Dãy số cho bằng phương pháp mô tả - Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi 1, Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 2, Dãy số cho bằng phương pháp mô tả dãy số () với là giá trị gần đúng thiếu của số với sai số tuyệt đối 3, Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: III,biểu diễn hình học của dãy số : Vì dãy số là một hàm số trên nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị, khi đó trong mặt phẳng toạ độ, dãy số được biểu diễn bằng các toạ độ Ví dụ : dãy số với có biểu diễn hình học như sau: Có thể biêu diễn các số hạng của một dãy số trên trục số: IV, Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn: 1, Dãy số tăng, dãy số giảm: Định nghĩa 1: Dãy số ()được gọi là dãy số tăng nếu ta có với mọi Dãy số ()được gọi là dãy số giảm nếu ta có với mọi ví dụ: Dãy số : () với là dãy số tăng. Thật vậy, với mọi .Xét hiệu ta có : Do nên ví dụ : Dãy số : () với là dãy số giảm Thật vậy, với mọi .vì nên có thể xét tỉ số. Ta có : Dễ thấy nên suy ra Chú ý : không phải mọi dãy số đều tăng hoặc đều giảm . ví dụ: () với 2, Dãy số bị chặn Định nghĩa 2: Dãy số () được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho : () Dãy số () được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho : () Dãy số () được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số m, M sao cho : () Ví dụ : sgk/90 III, Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (5’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập trong sách giáo khoa Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 41: cấp số cộng A, Phần chuẩn bị: I, Mục tiêu: 1,Kiến thức: Biết được khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng 2,Kĩ năng: Biết sử dụng công thức và tính chất của cấp số cộng để giải quyết các bài toán : Tìm các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n ,d, Sn, 3, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống II, Chuẩn bị : 1, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. 2, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi, B, Phần thể hiện khi lên lớp : I,Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới II, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1 (20’) Cho học sinh thực hiện hoạt động : Biết bốn số hạng đầu tiên của một dãy là: -1, 3, 7, 11. Hãy chỉ ra quy luật và viết tiếp 5 số hạng của dãy ? Phát biểu định nghĩa ? Viết hệ thức truy hồi Xét ví dụ Hoạt động 2 (20’) Cho hs phát biểu định lí Hướng dẫn học sinh chứng minh định lí bằng phương pháp quy nạp: Bước 1:.. Bước 2:.. Kết luận Xét ví dụ : a, Tìm b, số 100 là số hạng thứ bao nhiêu. c, biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số.Nhận xét vị trí của mỗi điểm :so với hai điểm kề bên. Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng thêm 4 đơn vị -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31 Học sinh phát biểu . là cấp số cộng với công sai d, ta có hệ thức truy hồi: vvới hs phát biểu định lí Khi n=2 thì Giả thiết công thức (2) đúng với tức là : ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1, tức là: . Vậy : với a, Theo công thức cộng (2) ta có : b, theo công thức (2) ta có : vì Vì nên : Biểu diễn trên trục số năm số hạng đầu của cấp số cộng là: -5, -2, 1, 4, 7 I.Định nghĩa : 1, Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu là cấp số cộng với công sai d, ta có hệ thức truy hồi: với (1) Khi d=0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi. Ví dụ : chứng minh dãy số sau là một dãy số hữu hạn: 1, -3, -7, -11, -15 Giải : vì : - 3= 1+(-4); - 11=-7+(-4) - 7= -3+( -4); - 15= -11+(-4) Nên theo định nghĩa dãy số đã cho là một cấp số cộng với công sai d=- 4 II. Số hạng tổng quát Định lí: Nếu cấp số cộng () có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức: với (2) Chứng minh: (chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học) Khi n=2 thì đúng Giả thiết công thức (2) đúng với tức là : ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1, tức là: . Thật vậy theo gt quy nạp và công thức cộng ta có: Vậy : với Ví dụ: cho cấp số cộng () biết a, Tìm b, số 100 là số hạng thứ bao nhiêu. c, biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số.Nhận xét vị trí của mỗi điểm :so với hai điểm kề bên. Giải : a, Theo công thức cộng (2) ta có : b, theo công thức (2) ta có : vì Vì nên : c, năm số hạng đầu của cấp số cộng là: -5, -2, 1, 4, 7được biểu diễn bởi các điểm trên trục số: Điểm là trung điểm của đoạn III, Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (5’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập trong sách giáo khoa Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 42: Cấp số cộng A, Phần chuẩn bị: I, Mục tiêu: 1,Kiến thức: Biết được khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. 2,Kĩ năng: Biết sử dụng công thức và tính chất của cấp số cộng để giải quyết các bài toán : Tìm các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n ,d, Sn 3, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống II, Chuẩn bị : 1, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. 2, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi B, Phần thể hiện khi lên lớp : I,Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới II, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1 (15’) Cho học sinh phát biểu định Hướng dẫn học sinh chứng minh? Hoạt động 2 (25’) Cho hs phát biểu định lí Nêu chú ý : Xét ví dụ : a, chứng minh () là cấp số cộng.Tìm và d b, tính tổng của 50 số hạng đầu. c, Biết tìm n Phát biểu định lí 2 với (3) Giả sử () là cấp số cộng với công sai d.áp dụng công thức 1 ta có: suy ra Phát biểu định lí 3 Đặt Vì nên a, Vì nên với , xét hiệu suy ra vậy () là cấp số cộng với công sai d=3 b, nên theo công thức (4’) ta có: c, vì nên theo công thức (4’) ta có : hay III.tính chất các số hạng của cấp số cộng Định lí 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là trung bình của hai số hạng đứng kề với nó nghĩa là với (3) Chứng minh : Giả sử () là cấp số cộng với công sai d.áp dụng công thức 1 ta có: suy ra IV, Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng Định lí 3: Cho cấp số cộng (). Đặt Khi đó : (4) Chú ý : vì nên công thức (4) có thể viết (4’) Ví dụ 3: cho dãy số () với a, chứng minh () là cấp số cộng.Tìm và d b, tính tổng của 50 số hạng đầu. c, Biết tìm n Giải : a, Vì nên với , xét hiệu suy ra vậy () là cấp số cộng với công sai d=3 b, nên theo công thức (4’) ta có: c, vì nên theo công thức (4’) ta có : hay giải phương trình trên ta tìm được n=13 thoả mãn. III, Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (5’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập :1-3 trong sách giáo khoa Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 43: cấp số nhân A, Phần chuẩn bị: I, Mục tiêu: 1,Kiến thức: Biết được khái niệm cấp số nhân, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân 2,Kĩ năng: Biết sử dụng công thức và tính chất của cấp số nhân để giải quyết các bài toán : Tìm các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n ,d, Sn, 3, Thái độ: Tự giác, tích cực học tập Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống II, Chuẩn bị : 1, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi. 2, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi, B, Phần thể hiện khi lên lớp : I,Kiểm tra bài cũ: Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới II, Dạy bài mới : Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1 (15’) Cho học sinh thực hiện hoạt động : Cho biết số hạt thóc ở các ô từ thứ nhất đến thứ 6 của bàn cờ? Phát biểu định nghĩa ? Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng như thế nào ? Khi q = 1 thì cấp số nhân có dạng như thế nào ? Khi thì cấp số nhân có dạng như thế nào ? Xét ví dụ/98 Biểu diễn các số hạng qua và q? tương tự biểu diễn ,,lần lượt qua các số hạng đứng trước nó? Kết luận gì về dãy số đã cho? Hoạt động 2 (10’) Cho hs phát biểu định lí Xét ví dụ sgk/100 a, Tính b,hỏi số hạng thứ mấy? ô 1 có 1 hạt ô 2 có 2 hạt ô 3 có 6 hạt ô 4 có 8 hạt ô 5 có 16 hạt ô 6 có 32 hạt Học sinh phát biểu khái niệm . Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng Khi q=1 cấp số nhân có dạng Khi thì với mọi q, cấp số nhân có dạng Học sinh phát biểu định lí? a, b, I.Định nghĩa : 1, Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ sốhạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu ()là cấp số nhân với công bội d, ta có hệ thức truy hồi: với (1) Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng là một dãy số không đổi. Khi q=1 cấp số nhân có dạng Khi thì với mọi q, cấp số nhân có dạng Ví dụ 1:chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: Giải : vì : Nên dãy số là một cấp số nhân với công bội II. Số hạng tổng quát Định lí: Nếu cấp số nhân () có số hạng đầu và công bội q thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức: với (2) Ví dụ: cho cấp số nhân () biết a, Tính b, Hỏi số hạng thứ mấy? Giải: áp dụng công thức (2) ta có : b, Theo công thức (2) ta có: suy ra n-1=8 hay n=9 Vậy số là số hạng thứ 9 Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1 (10’) Cho học sinh phát biểu định lí Hướng dẫn học sinh chứng minh? Hoạt động 2 (10’) Cho hs phát biểu định lí Viết dạng khai triển của cấp số nhân ? Đặt: Biểu diễn qua Xét ví dụ : tính tổng của 10 số hạng đầu tiên. Với q=1 thì cấp số nhân có tổng bằng bao nhiêu? ví dụ 3/102 tính tổng của mười số hạng đầu tiên? tìm q=? với q=3 ta có S=? với q=-3 ta có S= ? Phát biểu định lí 2 với (3) Giả sử () là cấp số nhân với công sai d.áp dụng công thức 1 ta có: suy ra Phát biểu định lí 3 Đặt thì vì q=1 thì cấp số nhân là khi đó sử dụng công thức của số hạng tổng quát ta tính được q q=3, ta có: q=-3 ta có: III.tính chất các số hạng của cấp số nhân Định lí 2: Trong một cấp số nhân,bình phương mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là với (3) (hay ) Chứng minh:sử dụng công thức (2) với , ta có: suy ra IV, Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Cấp số nhân () với công bội q có thể viết dưới dạng: Khi đó: nhân hai vế của biểu thức(4) với q ta được : Trừ tương ứng từng vế của các đẳng thức(4) và (5) ta được . Ta có định lí: Định lí 3: Cho cấp số nhân ().với công bội Đặt Khi đó : (4) Chú ý : vì q=1 thì cấp số nhân là khi đó Ví dụ 3: cho cấp số nhân () biết tính tổng của mười số hạng đầu tiên Giải :theo giải thiết ta có: vậy có hai trường hợp: q=3, ta có: q=-3ta có: III, Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (5’) Xem lại lí thuyết Làm bài tập :2,3,4,5:trong sách giáo khoa Ngày soạn: Ngày giảng: Tiết 44: bài tập I. Mục tiêu 1.Về kiến thức:Giúp học sinh vận dụng được: - Khái niệm cấp số nhân, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. 2.Về kĩ năng: Giúp học sinh Biết cách giải các bài tập về cấp số nhân như tìm công thức số hạng tổng quát tính tổng các số hạng Biết sử dụng các công thức và tính chất của cấp số nhân để giải các bài toán: tìm các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n, q, Sn 3.Về tư duy: Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy các vấn đề của toán học một cách thực tế và có hệ thống 4. Về thái độ - Cẩn thận, chính xác trong tính toán,lập luận. - Tự giác tích cực trong học tập, sáng tạo trong tư duy - Hiểu và vận dụng được các định nghĩa tính chất các công thức của cấp số cộng một cách sáng tạo . II. Chuẩn bị phương tiện dạy học 1. Đối với học sinh : - Đồ dùng học tập : thước kẻ, bút, giấy nháp - Ôn lại một số kiến thức về dãy số 2. Phương tiện: - Các bảng phụ và các phiếu học tập. - Máy chiếu. - Máy tính, Projector. - Đồ dùng dạy học : thước III. về Phương Pháp Dạy Học: - Gợi mở vấn đáp. - Phát hiện giải quyết vấn đề. IV. Tiến trình bài học và các hoạt động A.Bài cũ 5’ Câu hỏi 1: Em hãy nêu định nghĩa cấp số nhân, viết công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân? Trả lời Định nghĩa : Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều tích của số hạng đứng ngay trứơc nó cộng với một số không đổi q. Số q dược gọi là công bội của cấp số nhân Công thức số hạng tổng quát: B. Bài mới Đặt vấn đề: Các em đã biết hai loại dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân, trong bài này ta sẽ xét đến các bài tập về cấp số nhân Bài số 1 Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV: Gọi HS đọc đề SGK/103 Câu hỏi 1: Em hãy cho biết tỷ số Câu hỏi 2: Tương tự với dãy số () Câu hỏi 3: Với dãy số ? Đọc nội dung của nhiệm vụ Gợi ý trả lời câu hỏi 1: a) vậy un+1=un.2 với mọi n thuộc N* Gợi ý trả lời câu hỏi 2: Ta tìm được Gợi ý trả lời câu hỏi 3: Ta có Bài số 2: a)Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q, ta có công thức b)Từ công thức ta suy ra c) b)Từ công thức ta suy ra Bài 3:/102 Thực hiện giải bài tập 3 trong 15 phút: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1: Em hãy đọc công thức tính số hạng tổng quát? Nêu công thức tính u3, u5 và tính q? Câu hỏi 2: Em hãy tính u1 ? Câu hỏi 3: Em hãy tìm các số hạng của cấp số nhân đó? Đọc nội dung của nhiệm vụ Gợi ý trả lời câu hỏi 1: nên vì nên q2=9 hay q=3 Gợi ý trả lời câu hỏi 2: Thay q2=9 vào công thức chứa u3 ta có Gợi ý trả lời câu hỏi3: Nếu q=3 ta có cấp số nhân: Nếu q=-3 ta có cấp số nhân GV Gọi HS đọc đề 3b b) ta có hay Thay (2) vào (1) ta được 50q=25, suy ra q= từ (2) có . Ta có cấp số nhân: Bài 4 SGK/104 GV gọi HS đọc đề bài Tìm cấp số nhân có sáu số hạng biết S5=31 và S10-S5=62 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1: Em hãy lập hệ phương trình từ giả thiết của bài toán? Câu hỏi 2: Em hãy tính số hạng đầu của cấp số nhân đó? Câu hỏi 3 : Em hẫy liệt kê các số hạng của cấp số nhân đó? Đọc nội dung của nhiệm vụ Gợi ý trả lời câu hỏi 1: U1+u2+u3+u4+u5=31 (1) Và u2+u3+u4+u5+u6 =62 (2) Nhân hai vế của (1) với q ta được: u1q+u2q+u3q+u4q+u5q=31q hay u2+u3+u4+u5+u6 =31q suy ra 62=31q hay q=2 Gợi ý trả lời câu hỏi 2: Theo công thức tính tổng các số hạng đầu của cấp số nhân ta có suy ra u1=1 Gợi ý trả lời câu hỏi 3: Ta có cấp số nhân: 1,2 4,8,16,32. Bài 5/104 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1: gọi só dân của tỉnh đó là N Em hãy cho biết sau một năm số dân của tỉnh đó sẽ là bao nhiêu? Câu hỏi 2: Em hãy cho biết số dân tỉnh đó sau mỗi năm sẽ là như thế nào? Câu hỏi 3: Với N=1,8 triệu sau 5 năm, 10 năm số dân tỉnh đó sẽ là bao nhiêu? Gợi ý trả lời câu hỏi 1: N+1,4%.N=101,4%N Gợi ý trả lời câu hỏi 2: Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân: Gợi ý trả lời câu hỏi3: Sau 5 năm là (triệu) Sau 10 năm là (triệu) * Củng cố : (3') Cấp số nhân là dãy số có công thức số hạng tổng quát là Un+1=un. qn-1 Tính chất của cấp số nhân là: Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là c. Hướng dẫn, dặn dò học sinh:(1') - Nắm vững khái niệm, công thức, tự lấy vd khác - Làm hoàn thiện các bài tập trang 103, 104 SGK, làm thêm bài tập trong SBT/120-121 Ngày soạn: Ngày giảng: Ti