Giáo án Đại số lớp 10

2.8 Nghiệm dừng Giả sử xét phương trình vi phân tuyến tính , không thuần nhất cấp n với hệ số hằng số: Với , và với điều kiện ban đầu: Hơn nữa, ta có thể viết Nhưng ta thường dùng kí hiệu (2.59) Nghiệm của phương trình (2.58) thỏa mãn điều kiện (2.59) được gọi là nghiệm dừng. từ công thức (2.22), ta lại có Như vậy, sử dụng biến đổi Laplace vào công thức (2.58) ta có Hoặc Trong đó: Giả sử đối với hàm . Do đó Và Do Hay nói cách khác: Xét là nghiệm dừng của phương trình Điều này có nghĩa là ta phải xác định nghiệm theo công thức (2.61) bởi cách xác định ban đầu là một nghiệm dừng của (2.62). Trong trường hợp nàyđược coi là thỏa mãn điều kiện của phương trình (2.58) với . Ví dụ 2.44: Tìm nghiệm dừng của phương trình sau: Thỏa mãn Trong đó Từ (2.61) ta có Thực ra, nếu thì chỉ số thỏa mãn: Hơn nữa, Theo (2.60) với , ta có Do đó Ta thấy nghiệm dừng của (2.58)/(2.59) có thể xác định bởi tích chập của một hàm đặc biệt với , trong trường hợp này là nghiệm dừng của (2.63) Lưu ý rằng chúng ta có thể viết: Do vậy Ví dụ 2.45: Cho bài toán tìm nghiệm như ví dụ 2.44 với , Tức là Với Cuối cùng ta cũng thu được biểu thức như ví dụ trên. Do đó Chúng ta quay trở lại đa thức của (2.60) và giả sử là nghiệm thì ta có thể khai triển đa thức dưới dạng phân số như sau: