Giáo án Đại số lớp 10 - Chủ đề I: Hàm số và đồ thị

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 1 Chủ đề I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ. 1. Hàm số dạng y = ( ) ( ) f x g x . (1) TXĐ: D =    g g gx D g(x) 0 D \ x D g(x) = 0    2. Hàm số dạng y = ( )f x . (2) TXĐ: D =  fx D f(x) 0  3. Hàm số có dạng y = lnf(x). TXĐ: D =  fx D f(x) > 0 Do vậy ta chuyển các bài toán tìm tập xác định của hàm số vào chủ đề phương trình và hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình. II. TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ. 1. Tìm tập giá trị bằng định nghĩa. ĐN. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. y là một giá trị thuộc tập giá trị của f(x) khi và chỉ khi phương trình f(x) = y có nghiệm thuộc D. PP. Tìm điều kện y để phương trình f(x) = y có nghiệm. Phương pháp này thường dùng cho các hàm số có tập xác định R. Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 1 1 x x   . Giải: TXĐ. R \  1 . Phương trình y = 2 1 1 x x    2 1 1 yx y x x       ( 2) 1 1 y x y x       y  2 Vậy tập giá trị của hàm số là R \  2 . Ví dụ 2. Tìm tập giá trị của hàm số y = 22 1 2 1 x x x    . Giải: TXĐ. R \ 1 2      . Phương trình y = 22 1 2 1 x x x     22yx + y = 2x - x - 1 1x 2       22 (2 1) 1 0 1 2 x y x y x            4y2 + 4y + 1 + 8y + 8  0  4y2 + 12y + 9  0: Bất phương trình này thoả với mọi y. Vậy tập giá trị của hàm số là R. Ví dụ 3. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 1 x x  . Giải: TXĐ. R \  1 . Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2 y = 2 1 x x   2yx - y = x x 1     2 0 1 x yx y x        y 2 - 4y  0  y  0 hoặc y  4. Vậy tập giá trị của hàm số là ( ;0) (4; )   Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (m-1)sinx + m(cosx - 2) = 0 có nghiệm Giải: Phương trình tương đương m(sinx+ cosx - 2) = sinx (1) Do sinx + cosx  2 nên sinx + cosx - 2 < 0. Suy ra sinx + cosx - 2  0 (1)  sin sin cos 2 x x x  = m (2) Đặt y = sin sin cos 2 x x x  TXĐ: R Gọi y là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số. Khi đó phương trình y = sin sin cos 2 x x x  có nghiệm. y = sin sin cos 2 x x x   (y - 1)sinx + ycosx - 2y = 0 Phương trình này có nghiệm khi chỉ khi (y - 1)2 + y2  (- 2y)2  2y2 + 2y - 1  0 - 1 - 3 - 1 + 3 y 2 2    Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi - 1 - 3 - 1 + 3 m 2 2   BTII.1. 1) Tìm tập giá trị của hàm số a) 2 2 1 1 xy x    b) 2 2 1 xy x   2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm : sinx - 2cosx + 1 = 1 - 2m sinx + 2 HD. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Phương trình f(x) = k có nghiệm trên D khi và chỉ khi k thuộc tập giá trị của f(x). 3) Chứng minh - 1 2 2 cos 2 cos 1 2 cos 1 x x x x          , với (0; )  HD. Tìm tập giá trị của hàm số 2 2 cos 2 cos 2 cos 1 x xy x x         Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 3 4)* Tìm a để tập giá trị của hàm số 2 1xy x a    chứa đoạn [0; 1] 5)* Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3 4 2 12 ( ) 36 x x ay x      HD. Tìm tập giá trị của hàm số 3 4 2 12 ( ) 36 x x ay x      . 2. Tìm tập giá trị bằng phương pháp bất đẳng thức. PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Nếu m  f(x)  M, x D  thì tập xác định của f(x) là [m; M] Nếu m  f(x), x D  thì tập xác định của f(x) là [m; + ) Nếu f(x)  M thì tập xác định của f(x) là ( -  ; M] Chú ý nếu không có dấu bằng trong các bất đẵng thức trên thì phải thêm điều kiện về giới hạn. Ví dụ: f(x) > m, x D  thì không thể kết luận ngay tập giá trị của f(x) là (m; + ) mà phải có thêm điều kiện 0 lim x x f(x) = m. Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 x x . Giải: Ta có 2 21 1 1 x x     , x R  , y = 2 2 1 x x liên tục trên R. Vậy tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 x x là [-1; 1]. Ví dụ 2. y = 2 21 1x x x x     Giải: Ta có: y = 2 2 2 1 1 x x x x x     = 2 2 2 1 3 1 3( ) ( ) 2 4 2 4 x x x       2 2 2 1 1( ) ( ) 2 2 x x x   = 2 1 1 2 2 x x x    2 1 1 2 2 x x x   = 2 2 x x = 1 Dấu bằng không xảy ra vì hệ sau vô nghiệm: 0 1 10 ( )( ) 0 2) 2 0 x x x x x             Mặt khác ta có 2 2lim ( 2 1 2 1) x x x x x       = 2 2 2lim 1 1x x x x x x      = - 1 2 2lim ( 2 1 2 1) x x x x x       = 2 2 2lim 1 1x x x x x x      = 1 Hàm số đã cho liên tục trên R Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1) Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 4 BTII.2. Tìm tập giá trị các hàm số sau 1) y = 2 22 3 2 3x x x x     2) y = 24 x 3) y = ( 2)(3 2 )x x  4) y = 3 6x x   3. Tìm tập giá trị bằng phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số. PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Khảo sát và lập bảng biến thiên, ta sẽ thấy ngay tập giá trị của hàm số. Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 x x . Giải: TXĐ: R Ta có y' = 2 2 2 2 2(1 ) 4 (1 ) x x x    = 2 2 2 2(1 ) (1 ) x x   Bảng biến thiên: Thấy ngay tập giá trị [ -1; 1] Ví dụ 2. y = 2 21 1x x x x     Giải: TXĐ: R Ta có: y' = 2 2 1 2 1 x x x    - 2 2 1 2 1 x x x    * Nếu 1 2   x 1 2  thì y'  0 * Nếu x 1 2  thì y'  0  (x2 - x + 1)(2x + 1)2  (x2 + x + 1)(2x - 1)2  -2x2 + 2x + x2 - x + 1  2x2 + 2x - x2 - x - 1  x2 1  - 1 1x  hay 1 2 1x  thì y'  0 * Nếu x < - 1 2 thì y'  0  (x2 - x + 1)(2x + 1)2  (x2 + x + 1)(2x - 1)2  -2x2 + 2x + x2 - x + 1  2x2 + 2x - x2 - x - 1  x2 1  x 1  hoặc x  1. hay với x < - 1 2 thì y'  0 Bảng biến thiên: Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1) BTII.3. Tìm tập giá trị các hàm số sau 1) y = 2 22 3 2 3x x x x     x -  - 1 1 +  y' - 0 + 0 - y 0 1 -1 0 x - + y' + y 1 - 1 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 5 2) y = x + 24 x 3) y = x + 24 x 4) y = 4 4x x   III. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ. 1. Điểm cố định. ĐN. Điểm M(x0; y0) được gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là tham số, nếu M(x0; y0) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x). PP. M(x0; y0) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y0 = f(m, x0), m . hay phương trình y0 = f(m, x0), thoả m . Vậy M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x) khi chỉ khi phương trình y0 = f(m, x0), thoả m . Từ đây suy ra x0, y0. Ví dụ 1. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng: y = m(x - 1) + m - 1 Giải: M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = m(x - 1) + m - 1 khi chỉ khi phương trình y0 = m( x0 - 1) + m - 1, thoả m .  mx0 - 1 - y0 = 0 thoả m  x0 = 0, y0 = 1. Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) (1) 1) Chứng minh rằng đồ thị luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Giải: 1) M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) khi chỉ khi phương trình : y0 = x 30 - 3(m + 1)x 2 0 + 2(m 2 + 4m + 1)x0 - 4m(m +1 ) thoả m .  (2x0 - 4)m2 - (3 x 20 - 8 x0 + 4)m + x 3 0 - 3 x 2 0 + 2 x0 - y0 = 0 thoả m .  0 2 0 0 3 2 0 0 0 0 2 4 0 3 8 4 0 3 2 0 x x x x x x y             x0 = 2, y0 = 0. 2) Từ 1) cho ta thấy khi y = 0 phương trình: x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) = 0 có 1 nghiệm x = 2 Vì thế phương trình tương đương với ( x - 2)[x2 - (3m + 1)x + 2m(m +1)] = 0 Thấy ngay 3 nghiệm x = 2, x = 2m, x = m + 1. Ta phải có: 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 m m m m m m             m > 1 2  m 1 Bài tập III.1.1 Cho hàm số y = x3 + mx2 + (m2 - 3m)x - m2 + 2m - 1 (1) 1) Tìm các điểm mà đồ thị (1) luôn luôn đi qua với mọi m. Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 6 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài tập III.1.2. Tìm điểm cố định của đồ thị các hàm số sau đây 1) y = x4 + mx2 - m - 5 2) y = 2 2 x x n x n     3) y = 22 (1 ) 1x m x m x m      4) y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m( 2m - 1) 2. Điểm không có đồ thị nào đi qua. ĐN. Điểm M(x0; y0) được gọi là điểm không có đồ thị nào của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là tham số, đi qua nếu M(x0; y0) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x). PP. M(x0; y0) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y0 = f(m, x0), không thoả m hay phương trình y0 = f(m, x0), vô nghiệm m. Từ đây suy ra x0, y0. Ví dụ 1. Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ đường thẳng: y = m(x - 2) + m2 - 1 đi qua Giải: Gọi M(x0; y0) là điểm như thế  y0 = m(x0 - 2) + m2 - 1, vô nghiệm m  m2 + (x0 - 2)m - 1 - y0 = 0, vô nghiệm m  (x0 - 2)2 - 4(1 + y0) < 0  y0 > 1 4 ( 20 04x x ) Đó là phần trong của parabol y = 1 4 ( 2 4x x ) (phần mặt phẳng chứa điểm (0; 1) Ví dụ 2. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 1 sao cho không có đồ thị nào của họ y = 2 2m x + 1 x đi qua. Giải: Gọi M(x0; 1) là điểm như thế  1 = 2 2 0 0 m x + 1 x , vô nghiệm m Phương trình  2 2 0 0 0 x m = x - 1 x 0    (1) Thấy ngay hệ (1) vô nghiệm m chỉ khi x0 = 0 hoặc x0 < 1. Đó là tập hợp những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có hoành độ x < 1. Bài tập III.2.1. 1) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua: 2x + mx - 8y = x - m . 2) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua: 2(m - 2)x - (m - 2m + 4)y = x - m . 3. Điểm chỉ có một số đồ thị đi qua. f(x)=(x 2^-4x)/4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x f(x) Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 7 ĐN. Điểm M(x0; y0) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) đi qua nếu M(x0; y0) thuộc vào đúng k đồ thị của họ. PP. Điểm M(x0; y0) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi phương trình y0 = f(m, x0) có đúng k nghiệm m. Ví dụ. Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng bên phải trục tung có đúng hai đồ thị của họ đồ thị hàm số 2 2(m + 1)x - my = x - m đi qua. Giải: Gọi A(x0; y0) , trong đó x0 > 0. Xét phương trình 2 2 0 0 0 (m + 1)x - m y = x - m (1) (1)  2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 3 yx - ym = mx + x - m m - (x + y)m - x + xy = 0 (1) x - m 0 x - m 0 Δ = (x + y) + 4x - 4xy = x + 2x y + y + 4x - 4xy = = y + 2(x - 2x)y + x + 4x δ' = (x - 2x) x - 4x = - 4x         0. Δ > 0, x > 0, y.     Suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt. Bài tập III.3.1. 1) Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng và không thuộc trục tung có đúng hai đồ thị của họ đồ thị hàm số 2 2x - mx - my = x + m đi qua. 2) Những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có bao nhiêu đồ thị của họ đồ thị hàm số sau đi qua: y = x4 - 2mx2 + m2 + 1 đi qua. 3) Cho hàm số 2 2- x + mx - my = x - m , (Cm) a) Khảo sát hàm số khi m = 1. b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. c) Tìm trên mặt phẳng các điểm có đúng hai đồ thị của họ (Cm) đi qua. IV. VẤN ĐỀ ĐỐI XỨNG. 1. Trục đối xứng. Ta chỉ xét trục đối xứng là đường thẳng vuông góc trục hoành. ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có trục đối xứng là đường thẳng x = x0 khi và chỉ khi qua phép biến đổi 0 x = x + X y = Y    hàm số đã cho trở thành Y = f(x0 + X) là một hàm số chẵn. Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x - 1 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Giải: Giả sử đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Khi đó qua phép biến đổi: 0 x x X y Y     hàm số đã cho trở thành: Y = (x0 + X)4 - 4(x0 + X)3 - 2(x0 + X)2 + 12(x0 + X) - 1 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 8 = 4 3 2 2 3 40 04 6 4o ox x X x X x X X    - - 3 2 2 30 0 04 12 12 4x x X x X X   - - 2 20 02 4 2x x X X  + 012 12 1 x X    Y là hàm số chẵn của X 03 2 0 0 0 4 4 0 4 12 4 12 0 x x x x         Suy ra: x0 = 1. Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 1. *Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Theo trên, khi x0 = 1 thì Y = X4 - 8X2 + 6 Hoành độ giao điểm của đồ thi với trục hoành là nghiệm phương trình: y = 0  Y = 0  X4 - 8X2 + 6 = 0  X2 = 4 10  X = 4 10  , X = 4 10  Suy ra phương trình có 4 nghiệm: x = 1 4 10  , x = 1 4 10  Hoành độ 4 giao điểm với trục hoành là : x = 1 4 10  , x = 1 4 10  ***Từ ví dụ 1 trên đây ta suy ra một phương pháp giải phương trình bậc bốn nếu vế trái của phương trình là một hàm mà đồ thị cuả nó có trục đối xứng. Ví dụ 2: Giải phương trình x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3 = 0 Đặt y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3. Giả sử đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Khi đó qua phép biến đổi: 0 x x X y Y     hàm số đã cho trở thành: Y = (x0 + X)4 + 8(x0 + X)3 + 12(x0 + X)2 - 16(x0 + X) + 3 = = 4 3 2 2 3 40 04 6 4o ox x X x X x X X    - 3 2 2 30 0 08 24 24 8x x X x X X     2 20 012 24 12x x X X    0 16 16 3 x X    Y là hàm số chẵn, suy ra: x0 = - 2 Y = X4 - 12X2 + 35 Y = 0  X2 = 5, X2 = 7  X = 5 , X = 7 Suy ra bốn nghiệm X = - 2 5 , X = - 2 7 Bài tập tương tự: BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 2x4 - 16x3 + 43x2 - 44x + 14 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 9 ĐSố: x = 2 1 2  , x = 2 2 . BT2. Giải phương trình 6x4 + 24x3 + 23x2 - 2x - 1 = 0 ĐSố: x = - 1 2 3  , x = - 1 3 2  . BT3. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + 3 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. BT4. Tìm tất cả các giá trị a để đồ thị hàm số sau có trục đối xứng: y = ax4 + 4x3 - 2ax2 + 1 2. Tâm đối xứng. ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có tâm đối xứng là M0(x0, y0) khi và chỉ khi qua phép biến đổi 0 0 x = x + X y = y + Y    hàm số đã cho trở thành Y = f(x0 + X) - y0 là một hàm số lẻ. Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 4x3 - 2x2 + 12x - 1 có một tâm đối xứng. Giải: Với M0(x0, y0) : Qua phép biến đổi 0 0 x = x + X y = y + Y    hàm số đã cho trở thành 3 2 0 0 0Y = 4(x + X) - 2(x + X) + 12(x + X) + 1 - y0 = = 4 3 2 2 30 012 12 4ox x X x X X   - 2 20 02 4 2x x X X   + + 1 - y0 Y là một hàm số lẻ  03 2 0 0 0 12x - 2 = 0 4x - 2x + 1 - y = 0     0 0 1x = 6 97y = 98      Vậy, đồ thị hàm số có đúng một tâm đối xứng là 0 1 97M ; 6 98       **Chú ý: Bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng hay chứng minh đồ thị có tâm đối xứng ta đều đi tìm tâm đối xứng. Đối với hàm số bậc ba, bạn có thể chỉ ra tâm đối xứng là điểm uốn của đồ thị, nhưng như thế không chứng minh được " có đúng một tâm đối xứng". Ví dụ 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2x - 2xy = x - 1 . Giải: Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 10 Giả sử M0(x0, y0) là tâm đối xứng. Qua phép biến đổi 0 0 x = x + X y = y + Y    hàm số đã cho trở thành 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 2( ) 2( 1) 2 ( ) 1 1 (2 2) 2 1 x X x X X x X x xy Y x X x X X x y X x x x y yY x X                          Y phải là một hàm số lẻ, trong khi mẫu thức chỉ có thể là một hàm số lẻ, do đó tử thức phải là một hàm số chẵn. Suy ra: 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 0 x x x y y            Vậy tâm đối xứng duy nhất của đồ thị là M0(1, 0). **Chú ý: Nếu bạn dùng tính chất giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng để thấy M0(1, 0), rồi cho dù bạn dùng định lý trên để chứng minh M0(1, 0) là tâm đối xứng của đồ thị, vì qua phép biến đổi x = 1 + X y = 0 + Y    hàm số đã cho trở thành 2 2(1 ) 2(1 ) 1X X XY X X       là một hàm số lẻ thì lời giải vẫn chưa trọn vẹn bởi bạn chưa trả lời được câu hỏi: còn nữa không ? Ví dụ : Chứng minh rằng M(- 1; - 2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2xy = x + 1 . Giải: Qua phép biến đổi x = -1 + X y = 2 + Y    hàm số đã cho trở thành 2 2 2( 1 ) 2 1 12 ( 1 ) 1 X X X XY Y X X X               Y là một hàm số lẻ. Suy ra đpcm. Bài tập tương tự: BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị các hàm số sau đều có một tâm đối xứng: 1) y = 2 - 3x 2x - 3 2) y = 22x + x - 1 x - 1 3) y = 2x3 - 3x2 + 1 BT2. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số: 1) y = 2 + 3x 2x - 3 2) y = 22x - x - 1 x + 2 3) y = x3 - x2 + x - 1 **Chú ý: Cần và đủ để điểm M'(x'; y') là điểm đối xứng của M(x: y) qua i) M0(x0; y0) là 0 0 x + x' = 2x y + y' = 2y    Đặc biệt qua O(0; 0) là x + x' = 0 y + y' = 0    ii) Đường thẳng y = m là x = x' y + y' = 2m    Đặc biệt qua trục hoành là x = x' y = - y'    Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 11 3i) Đường thẳng x = m là x + x' = 2m y = y'    Đặc biệt qua trục tung là x = - x' y = y'    4i) Phân giác y = x là x' = y y' = x    , phân giác y = - x là x' = - y y' = - x    5i) Đường thẳng Ax + By + C = 0 : Xem Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Ví dụ1 : Tìm tất cả các cặp điểm M,N trên đồ thị hàm số 2 2 1 x xy x     đối xứng qua I (0; 5/2) Giải: Gọi M(x1. y1), N(x2. y2). Ta có 2 1 1 1 1 2 1 x xy x     , 2 2 2 2 2 2 1 x xy x     , x1 + x2 = 0, y1 + y2 = 5 Suy ra: x1 = - x2 , y1 = 5 - y2 , 2 1 1 1 1 2 1 x xy x     , 5 - 2 1 1 1 1 2 1 x xy x      Suy ra: 5 2 1 1 1 2 1 x x x     + 2 1 1 1 2 1 x x x     Ví dụ2 : Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong 2 2 2 x xy x     qua đường thẳng y = 2. Giải: Gọi đồ thị hàm số 2 2 2 x xy x     là (C), đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = 2 là ( D) M'(x'; y')  ( D)  M(x; y) đối xứng M'(x'; y') và M(x; y)  (C)  2 2 1 ' 4 ' x xy x x x y y            Suy ra 2 2 2' ' 2 ' ' 2 ' 3 ' 24 ' ' 4 ' 1 ' 1 ' 1 x x x x x xy y x x x                 hay 2 3 2 2 x xy x      là hàm số có đồ thị ( D). Bài tập tương tự: BT1. Với giá trị nào của m thì trên đồ thị hàm số y = x3 - (m + 3)x2 + mx + m + 5 có cặp điểm đối xứng nhau qua O. Tìm cặp điểm đó khi m = 1. BT2. Cho hàm số y = x3 + 2x2 - 4x - 3. Chứng tỏ đồ thị cắt trục hoành tại A(-3; 0). Tìm B đối xứng A qua tâm đối xứng của đồ thị. BT2. Viết phương trình đường cong đối xứng đường cong y = x3 + 3x2 - 4 qua đường thẳng x = 1 V. VẤN ĐỀ TIẾP XÚC. 1. Tiếp tuyến của đồ thị . 1.1. Tiếp tuyến tại M0(x0; y0). Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0; y0)  (C) là: y = f '(x0)( x - x0) + f(x0) Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 12 1.2. Tiếp tuyến đi qua M0(x0; y0). Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Gọi d đường thẳng đi qua M0(x0; y0). Khi đó phương trình của d là y = k( x - x0) + y0. d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 0 0 ( ) ( ) ( ) '( ) f x k x x f x f x k      (nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm). VD1. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1 xy x   , (C) : 1) Tại M(3; 9/2). 2) Đi qua N(2; 0) Giải: Ta có y ' = 2 2 2 ( 1) x x x   . 1) y'(3) = 3/2. Suy ra phương trình tiếp tuyến là 3 9( 3) 2 4 y x   hay 3 9 2 4 y x  2) Gọi d đường thẳng đi qua N(2; 0). Khi đó phương trình d là y = k(x - 2). d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 ( 2) (1) 1 2 (2) ( 1) x k x x x x k x          Thay k ở (2) vào (1) ta có: 2 2 2 2 002 ( 2) 41 ( 1) ( 1) ( 2) 3 xxx x x x x x xx x x            i) x = 0 suy ra k = 0. Ta có tiếp tuyến y = 0. ii) x = 4 3 suy ra k = 8 9  . Ta có tiếp tuyến y = 8 9  (x - 2). VD2. Tìm trên đường thẳng y = 4 những điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 2 1 xy x   và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Giải. Vì y' = 2 2 2 ( 1) x x x   nên x = 2 là một điểm cực trị và dô đó M(2; 4) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số. Suy ra đường thẳng y = 4 là một tiếp tuyến của đồ thị. Gọi A(a; 4) là điểm thuộc đường thẳng y = 4. đường thẳng đi qua A tạo với đường thẳng y = 4 góc 450 nghĩa là tạo với trục hoành góc 450 thì có hệ số góc bằng 1 hoặc -1. i) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1: y = x - a + 4 Xét hệ phương trình 2 2 2 4 1 2 1 ( 1) x x a x x x x           vô nghiệm. Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 13 Suy ra không có tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 tạo với đường thẳng y = 4 góc 450. ii) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng - 1: y = - x + a + 4 Xét hệ phương trình 2 2 2 4 (1) 1 2 1 (2) ( 1) x x a x x x x             Từ (2) suy ra 2x2 - 4x + 1 = 0  x = 1  1 2 Từ (1) suy ra 2 2 22 5 4 (2 4 1) 34 1 1 1 x x x x x xa x x x x               Do đó: i) Khi x = 1 + 1 2 . Suy ra a = 2 2 1 . Ta có A( 2 2 1 ; 4). ii) Khi x = 1 - 1 2 . Suy ra a = 2 2 1  . Ta có A( 2 2 1  ; 4). VD3. Cho y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx - 8 1) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành. 2) Chứng minh rằng trên parabol y = x2 có hai điểm không thuộc đồ thị (1) dù m lấy bất kỳ giá trị nào Giải: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành khi chỉ khi hệ sau có nghiệm 3 2 2 2 3( 3) 18 8 0 (1) ( 3) 3 0 (2) x m x mx x m x m            Từ (2) suy ra x = 3, x = m. Thay vào (1): i) x = 3: 54 - 27(m +3) + 54m - 8 = 0  27m = 35  m = 35 27 ii) x = m: 2m3 - 3(m + 3)m2 + 18m2 - 8 = 0  m3 - 9m2 + 8 = 0  m = 1, m = 8. 2. Hai đồ thị tiếp xúc. ĐN. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (D). (C) và (D) được gọi là tiếp xúc nhau tại điểm chung M0(x0; y0) nếu các tiếp tuyến của (C) và (D) tại M0(x0; y0) trùng nhau. Đlý: Cần và đủ để (C) và (D) tiếp xúc là hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x    (nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm) VD1. Cho hàm số 2 1 1 x xy x     (C) 1) Tìm trên trục tung những điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C). 2) Tìm tất cả các giá trị a để (C) tiếp xúc parabol y = x2 + a. Giải: 1) Gọi điểm thuộc trục tung A(0; a). đường thẳng d qua A: y = kx + a Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 14 d là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 1 (1) 1 2 (2) ( 1) x x kx a x x x k x            Thay k ở (2) vào (1): 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 1)( 1) ( 2 ) ( 1) 1 ( 1) x x x x x a x x x x x x a x x x                 ax2 - 2(a + 1)x + a - 1 = 0. i) a = 0: Phương trình có nghiệm ii) a  0: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  '  0  3a + 1  0  a  - 1 3 . 2) (C) tiếp xúc parabol khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 2 1 (1)