Giáo án Đại số lớp 11 - Chương III: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Chương III- DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN. Tiết 47, 48: BÀI 1- PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Mục tiêu: Kiến thức: Giúp cho học sinh Có khái niệm về suy luận quy nạp; Nắm được phương pháp quy nạp toán học. Kĩ năng: Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản. Thái độ, tư duy: Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi. Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán. Chuẩn bị của thầy và trò: Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. Học sinh: đọc trước bài ở nhà. Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động. Tiến trình bài học: (tiết 1: mục 1 và ví dụ 1 mục 2; tiết 2: tiếp mục 2 và BT SGK) Ổn định tổ chức: Bài mới: Hoạt động 1: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng -H1: Hãy kiểm tra với n=1,2? -H2: c/m n=3 đúng bằng cách sử dụng H1 -H3: có thể thử với mọi n không? - Tuy nhiên dựa vào lập luận trên ta có thể đưa ra cách c/m bài toán. +n = 1,2: (1) đúng +Cộng thêm hai vế với 2.3 ta c/m đc (1) đúng. + không thể. 1. Phương pháp quy nạp toán học: Bài toán: Chứng minh mọi số nguyên dương n ta có: (1) Khái quát: Ta có thể c/m được mệnh đề sau: Nếu (1) đúng với n=k (nguyên dương) thì nó cũng đúng với n=k+1. Giái bài toán trên: + n = 1: 1=1 (đúng) + Giả sử (1) đúng với n=k (ng dương) Ta có: suy ra Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương. Phương pháp quy nạp toán học: Để c/m mệnh đề A(n) đúngnN* ta thực hiện: B1: C/m A(n) đúng khi n=1. B2: nN* giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1. Hoạt động 2: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng H1: Thử với n=1 H2: Thực hiện bước 2 + 1=1 ( đúng) + Giả sử đúng với n=k, cần chứng minh đúng với n=k+1. 2.Một số ví dụ: Vídụ1: CMR nN* , ta luôn có: HD: Hoạt động 3: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng +Gọi 2 hs lần lượt làm 2 bước + HS tự làm +n=1: u1=10 5 +Giả sử đúng n=k, cần cm đúng khi n=k+1. + 2k+1=2.2k>2(2k+1)= 4k+2>2k+3>2(k+1)+1 ( vì k 3) Ví dụ 2: CMR un=7.22n-2 + 32n-1 5, nN*. HD: uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-1=7.22k-2+2 + 32k-1+2 =28.22k-2 + 9.32k-1 =4(7.22k-2 + 32k-1)+5.32k-1 5 Chú ý: trong thức tế ta có thể gặp bài toán yêu cầu CM A(n) đúng n p. Khi đó ta cũng cm tương tự nhưng ở B1 thì thử với n=p. Ví dụ 3: CMR 2n>2n+1, n 3. Bài tập SGK HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Gọi HS lên bảng làm + Gọi HS lên bảng làm + Gọi HS nói cách làm + Gọi HS trả lời tại chỗ + HS làm bài. + HS làm bài. + HS trả lời. + Không được vì chưa thử với n=1. Bài 1: HS tự làm. Bài 2: HS tự làm. Bài 3: Khi n=k+1, ta có: (Côsi và kk+1) Bài 4: HS tự làm ( lưu ý n 2). Bài 5: Khi n=k+1: Bài 6:(là ví dụ 2) Bài 7: Cho số thực x>-1. CMR Khi n=k+1: (1+x)k+1 =(1+x)k(1+x) (1+kx)(1+x) =1+(k+1)x +kx2 1+(k+1)x Bài 8: Không đúng vì chưa thử với n=1. Củng cố: Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp và cách vận dụng. Bài về nhà: Hết tiết 39: các bài tập SGK trang 100, 101. Hết tiết 40: 1) CMR un=13n-1 6 , nN. 2) CMR , nN*. Rút kinh nghiệm: Tiết 49, 50: 2 DÃY SỐ Mục tiêu: Kiến thức: Giúp học sinh có một cách nhìn nhận mới, chính xác đối với khái niệm dãy số - cách nhìn nhận theo quan điểm hàm số. Học sinh nắm vững các khái niệm: dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn. Nắm vững 3 cách cho một dãy số. Nắm được khái niệm dãy số không đổi. Nắm định nghĩa khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số chặn trên, dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn. Kỹ năng: Biết cách ký hiệu một dãy số và biết rằng ngoài cách ký hiệu dãy số như SGK, người ta còn dùng các ký hiệu khác để ký hiệu một dãy số, chẳng hạn hay ,... Biết xác định các số hạng trong dãy số cho trước, viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển. Biết cách xác định và chứng minh tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số. Biết cho ví dụ về dãy số để khắc sâu định nghĩa. Tư duy và thái độ: Tích cực tham gia xây dựng bài học, có tinh thần làm việc theo nhóm. Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự. Chuẩn bị của thầy và trò: Chuẩn bị của giáo viên: Dụng cụ dạy học, bảng phụ. Chuẩn bị của học sinh: Dụng cụ học tập. Phương pháp dạy học: Phương pháp gợi mở vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm. Tiến trình bài dạy: Tiết 1: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: Nêu vấn đề học bài mới. - Giáo viên trình bày như SGK trang 101 để giới thiệu cho học sinh dãy số , , ,... (1) - Học sinh hiểu vấn đề giáo viên trình bày: có thể coi dãy số (1) là một hàm số xác định trên tập các số nguyên dương. 2 DÃY SỐ 1. Định nghĩa và ví dụ: Hoạt động 2: Hình thành định nghĩa: - Giáo viên yêu cầu học sinh đọc Định nghĩa 1 (SGK trang 101). - Giáo viên giới thiệu các khái niệm: giới hạn của dãy số, số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai,... và ký hiệu các giá trị đó. - Học sinh đọc định nghĩa theo yêu cầu của giáo viên. - Học sinh nghe và hiểu các khái niệm và cách ký hiệu các số hạng của dãy số. Định nghĩa: (SGK) Hoạt động 3: Cho ví dụ minh họa. - Ví dụ 1: hàm số , xác định trên tập N*, là một dãy số. - Sau đó yêu cầu học sinh tìm năm số hạng đầu của dãy trên. - Giáo viên cho học sinh tìm ví dụ để khắc sâu định nghĩa dãy số - hoạt động theo nhóm và trình bày trước lớp. - Giáo viên giới thiệu ký hiệu dãy số như SGK và cho ví dụ minh họa, chẳng hạn có thể ký hiệu dãy số ở ví dụ 1 bởi . - Giáo viên giới thiệu dãy số trên còn có ký hiệu khác như - Giáo viên yêu cầu học sinh viết dãy số dười dạng khai triển. - Ví dụ 2: Cho hàm số xác định trên tập . Tính - Giáo viên giới thiệu hàm số trên là một dãy số hữu hạn. Viết dưới dạng khai triển ta được: 1;8;27;64;125. - Giáo viên treo bảng phụ có ghi phần chú ý trang 102 để giới thiệu dãy số hữu hạn. - Học sinh thực hiện các yêu cầu của giáo viên trong tinh thần hợp tác lẫn nhau. - Học sinh tìm ví dụ trong tinh thần hợp tác theo nhóm và trình bày kết quả trước lớp - Cả lớp nhận xét và bổ sung ý kiến cho kết quả của bạn. - Học sinh hiểu nội dung giáo viên truyền đạt. - Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên: , , ,...,,... - Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên và đứng tại chỗ trả lời kết quả. - Học sinh đọc nội dung trên bảng phụ để hiểu và nắm khái niêm dãy số hữu hạn. Ví dụ 1: hàm số với N* là 1 dãy số có , , ,... Ký hiệu: SGK trang 102. Người ta cũng thường viết dãy số dưới dạng khai triển: , ,..., ,... Chú ý: (SGK) Hoạt động 4: 2. Cách cho một dãy số: Một dãy số được xác định nếu ta biết cách tính mọi số hạng của dãy số đó. Có 3 cách cho một dãy số: a. Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát Un. Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh VD1: cho dãy số (Un) với Un = H1: Tìm số hạng thứ 33 và 333 của dãy số. Thay n = 33, n = 333 vào Un H2: Số , là số hạng thứ mấy của dãy số trên. Giải PT: =; = tìm n nguyên dương; H3: Cho ví dụ một dãy số bởi công thức tổng quát của Un. Un = ? H4: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy nghịch đảo các số tự nhiên lẻ 1, , , , , ..., Cũng giống như hàm số, không phải mọi dãy số đều có thể cho bằng công thức số hạng tổng quát Un. Do đó ta có thể cho hàm số bằng cách khác. b. Cho dãy số bằng công thức truy hồi VD2: Cho dãy số (Un) biết: Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh Giao nhiệm vụ Làm theo nhóm H1: Tính U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9 U3 = 2; U4 = 3; U5= 5; U6= 8; U7 = 13; U8 = 21; U9 = 34; VD3: Cho dãy số (Un) biết: Giao nhiệm vụ H1: Tính U2, U3, U4, U5 Làm theo nhóm Nhóm nào xong trước lên trình bày. Các nhóm khác theo dõi, nhận xét đúng - sai. H2: Qua 2 ví dụ trên hãy nêu cách cho dãy số bằng phương pháp truy hồi. Làm theo nhóm Cho 1 nhóm phát biểu và các nhóm khác theo dõi, bổ sung cho hoàn chỉnh. H3: Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa U1, U2, U3, U4, U5 với 1, 2, 3, 4, 5 Un = ? U1 = 1 = 21 - 1 U4 = 15 = 24 - 1 U2 = 3 = 22 - 1 U5 = 31 = 25 - 1 U3 = 7 = 23 - 1 Tổng quát: Un = 2n - 1 H4: Có thể khẳng định Un = 2n - 1 () được không? Cần phải làm gì? A B O CM. Un = 2n - 1 là đúng bằng phương pháp quy nạp. Các nhóm thảo thuận cách chứng minh và lên trình bày. Tiết 2: c. Cho dãy số bằng phương pháp mô tả VD4: Cho dãy số (Un) biết: U1 = 3,1 ;U2 = 3,14; U3 = 3,141; U4 = 3,1415,. (Chú ý số p = 3,1415....) VD5: Cho dãy số (Un) với Un là độ dài của dây AMn trên hình vẽ bên (OA = 1) Giao nhiệm vụ Làm theo nhóm H1: Tính AMn H2: Un = ? Sau 1 phút học sinh không giải được thì gợi ý lấy I là trung điểm AMn. Tính AI. Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung ghi bảng Nhắc lại định nghĩa hàm số tăng, hàm số giảm Trả lời So sánh khái niệm hàm số tăng, giảm với khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm III. Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa 2: (SGK) + Cho một ví dụ về dãy số tăng Học trò cho ví dụ + Cho một ví dụ về dãy số giảm Học trò cho ví dụ + Cho một ví dụ về dãy số không tăng, cũng không giảm Học trò cho ví dụ VD: (un) với un = (-1)u n (un) với un = sin n + Cho một ví dụ về dãy số vừa tăng vừa giảm Không có: học sinh giải thích HD: 1<2<3 mà Þ dãy (un) với un = sinn là dãy số không tăng, không giảm sin 1 sin 2 > sin 3 < Phương pháp để chứng minh một dãy số tăng hoặc giảm Cách 1: (un) là dãy số tăng (=) un < un+1 " n ÎN* Cách 2: (un) là dãy số tăng (=) un+1 - un > 0" n ÎN* (xét dấu un+1 - un) Cách 3: un >0 " n, (un) là dãy số tăng (=) < 1 IV. Dãy số bị chặn: * Nếu dãy số (un) bị chặn trên thì có mấy số M thỏa định nghĩa? HD: Có vô số M Định nghĩa 3: SGK * Đối với học sinh khá gọi : Dãy số tăng có thể bị chặn trên không? HD: Ví dụ (un) với un = là dãy số tăng và bị chặn trên vì un = "n ÎN* * Hướng dẫn học sinh (H6) E. CỦNG CỐ DẶN DÒ: + Hoc sinh nhắc lại định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn + Phương pháp chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn. + Bài tập 9 ® 18 (SGK) Tiết 51: LUYỆN TẬP VỀ DÃY SỐ I/ Mục tiêu 1/ Về kiến thức - Nắm được khái niệm về dãy số, số hạng của dãy số, các cách cho một dãy số. - Nắm được định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn. - Nắm được phương pháp quy nạp toán học. 2/ Về kĩ năng - Vận dụng được phương pháp quy nạp vào chứng minh bài tập về dãy số. - Vận dụng kiến thức tìm các số hạng của dãy số. 3/ Về tư duy, thái độ - Rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp. - Có thái độ cẩn thận, chính xác khi làm toán. II/ Chuẩn bị - Giáo viên: Đồ dùng dạy học. - Học sinh : Học bài cũ, làm bài tập ở nhà. III/ Phương pháp dạy học - Phưong pháp gợi mở, vấn đáp. IV/ Tiến trình bài học 1) Ổn định, điểm danh 2) Nội dung Hoạt động 1 Bài 15/sgk. Cho dãy số (un) xđịnh bởi u1 = 3 và un+1 = un + 5 với mọi n 1. a) Hãy tính u2, u4 và u6. b) Cmr un = 5n - 2 với mọi n 1. HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng - Nghe, hiểu câu hỏi - Trả lời câu hỏi - Lên bảng trình bày. - Theo dõi bài bạn, đưa ra nhận xét - Tái hiện lại kiến thức, trả lời câu hỏi. - Nghe, làm theo huớng dẫn. -Làm ra vở nháp, lên bảng trình bày. - Theo dõi bài làm, nhận xét, chỉnh sửa -Tiếp nhận ghi nhớ. - Muốn tính u2, u4 và u6 ta áp dụng kiến thức nào? - Gọi HS lên bảng trình bày câu a -Gọi 1 HS nhận xét - GV nhận xét - Nêu cách hiểu của em về phương pháp quy nạp toán học ? - GV hưóng dẫn HS vận dụng vào cm câu b - Yêu cầu HS trình bày hướng giải quyết theo các bước đã học. - GV nhận xét bài giải, chính xác hoá. - Củng cố kiến thức a) Theo gt u1 = 3 và un+1 = un + 5 ta c ó u2 = u1 + 5 = 8 u4 = u3 + 5 = 18 u6 = u5 + 5 = 28 b) Cm un = 5n - 2 (1) Với n = 1, ta có u1 = 3 = 5.1- 2. Như thế (1) đúng khi n = 1. Giả sử (1) đúng khi n = k, k , ta sẽ cm nó cũng đúng khi n = k +1. Thật vậy, từ công thức xđịnh dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có uk+1 = uk + 5 = 5k-2+5= = 5(k+1) -2. Vậy (1) đúng . Hoạt động 2 Bài 16/sgk 109 HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng -Tái hiện kiến thức, trả lời câu hỏi. - Vận dụng gt vào cm -Tiếp nhận - Làm bài vào vở. - Nêu cách cm dãy số tăng? -Yêu cầu HS cm. -Nhận xét,chỉnh sửa -Tương tự bài 15, yêu cầu HS tự cm câu b a) Từ gt ta có un+1 -un = (n+1).2n > 0, . Do đó (un) là 1 dãy số tăng. Hoạt động 3 Bài 17/sgk 109 HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng - Tiếp nhận tri thức mới. - Suy nghĩ, trả lời câu hỏi -Thảo luận theo nhóm, cử đại diện trình bày - Nhận xét, chỉnh sửa - Tiếp nhận, ghi nhớ - Giới thiệu cho HS khái niệm dãy số không đổi. - Nêu câu hỏi gợi ý: Muốn cm (un) là dãy số không đổi ta cm điều gì? -Cho HS thảo luận theo nhóm -Nhận xét lời giải - Củng cố kiến thức Ta sẽ cm un = 1, , bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1, ta có u1 = 1. Với n = k, ta có u1 = u2 = . . .= uk = 1 và uk+1 = Ta sẽ cm n = k +1 thì thì un = 1, . Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có uk+2 = Vậy (un) là dãy không đổi 3/ Củng cố toàn bài - Kiền thức về tìm số hạng của dãy. - Vận dụng phương pháp quy nạp vào chứng minh. Bài tập củng cố: Bài 18/sgk Dặn dò: làm các bài tập tương tự trong sách bài tập. Xem trước bài Cấp số cộng. Tiết 52, 53: BÀI 3- CẤP SỐ CỘNG Mục tiêu: Kiến thức: Giúp cho học sinh Nắm được khái niệm cấp số cộng; Nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên. Kĩ năng: Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng. Biết cách tìm số hạng tổng quát và tông n số hạng đầu. Biết vận dụng CSC để giải quyết một số bài toán ở các môn khác hoặc trong thức tế. Thái độ, tư duy: Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi. Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế. Chuẩn bị của thầy và trò: Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. Học sinh: đọc trước bài ở nhà. Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động. Tiến trình bài học: (tiết 45: mục 1, 2, 3; tiết 46: mục 4 và bài tập) Ổn định tổ chức: Kiểm tra bài cũ: Nêu các tính chất của dãy số. Xác định tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số: ; . Bài mới: Tiết 1: Hoạt động 1: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Có nhận xét gì các sồ hạng của dãy số? +Từ ví dụ trên hãy đưa ra ĐN về cấp số cộng. + Dãy số đã cho có phải là CSC không? Nếu có hãy nêu công sai và u1. + Số hạng sau hơn số hạng ngay trước nó 1 đơn vị. a) là CSC có d= 2 và u1=0. b)CSC:d=1,5và u1=3,5 1. Định nghĩa: Ví dụ1: Nhận xét dãy số: 0, 1, 2,, n, n+1,... Nhận xét: Từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng bằng tổng số hạng ngay trước nó cộng với 1. ĐN: Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (un) là CSC un=un-1 + d, n 2. + d không đổi gọi là công sai. + Kí hiệu CSC: u1, u2, u3, , un, Ví dụ 2: Dãy số 0, 2, 4, , 2n, Dãy số 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12. Hoạt động 2: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng +Tính uk-1, uk+1 theo uk và d rồi tìm quan hệ giữa 3 số hạng uk, uk-1, uk+1. + Gọi HS lên bảng làm. + uk-1= uk-d uk+1= uk+d, suy ra +Giả sử ABC,ta có: A=300; B=600 và C=900. 2. Tính chất ĐL1: (un) là CSC , (k 2) Cho CSC (un) có u1=-1 và u3=3. Tìm u2, u4. Ví dụ 3: Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC. Tính 3 góc đó. Hoạt động 3: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng +CSC có u1 và d. Hình thành công thức tính un bất kỳ. + Gọi HS làm tại chỗ +Cho học sinh tự nghiên cứu. + u1= u1+ 0.d u2=u1+ d u3=u2+ d=u1+2d u4=u3+ d=u1+4d un=u1+(n-1)d. Chứng minh lại bằng quy nạp. + u31=-77. 3. Số hạng tổng quát: ĐL 2: Cho cấp số nhân (un). Ta có: un=u1+(n-1)d. Cho CSC (un)có u1=13, d=-3. Tính u31. trang 111 SGK. Tiết 2: Hoạt động 4: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Nhận xét tích của hai số hang trong cùng một cột ở sơ đồ trong SGK Từ đó rút ra Sn. + Viết lại CT trên dựa vào CT un=u1+(n-1)d. + Gọi HS nêu cách làm ví dụ 3 trang 113 SGK. + Sử dụng chú ý của ĐL3 làm cho nhanh. +Yêu cầu học sinh tính tiền lương sau n năm theo 2 phương án. Dựa vào kết quả T1-T2 cho học sinh phát biểu cách chọn. + bằng u1+un. + un là mức lương ở quý n. (un) là CSC với u1=4,5 và d=0,3. Cần tính u12. + Hoc sinh tinh rồi đọc kết quả + Trả lời 4. Tổng n số hạng đầu tiên của một CSC: ĐL 3: Cho CSC (un), gọi Sn=u1+u2++un , n 1. Chú ý: , n 1. trang 113 SGK. Giải: Gọi un là mức lương ở quý thứ n thì: u1= 4,5 và d=0,3 u12=4,5+(12-1).0,3=7,8. triệu. HS tự làm. Nếu làm trên 3 năm thì chọn PA 2, dưói 3 năm thì chọn PA 1. Hoạt động 5: bài tập SGK HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Gọi học sinh nêu PP và giải bài 19. + Gọi học sinh nêu PP và giải bài 20. + Gọi HS trả lời TN. + Gọi HS làm tại chỗ và đọc kết quả. + Bài 23: HDHS đưa u20 và u51 về u1 và d rồi tính u1 và d sau đó viết công thức un. + Biểu diễn um, uk qua u1 và d. + DH hs c/m bằng quy nạp. + Có thể tính u1 và d (AD bài 24) rồi tính S13. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + HS trả lời Bài19: un+1-un= 19, n 1 (un) là CSC. un+1-un= a, n 1 (un) là CSC. Bài 20: Ta có: , n 1 (un) là CSC Chú ý: Để CM (un) là CSC ta cần CM un+1-un không đổi, n 1 . Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm. Bài 22: 28=u1+u3=2u2 u2=14 40=u3+u5=2u4 u4=20 u3=(u2+u4)/2=17 u1=28-u3=11 và u5=40-u3=23. Bài 23: ĐS: un=-3n+8. Bài 24: um=u1+(m-1)d và uk=u1+(k-1)d um-uk=(m-k)d um=uk+(m-k)d. Áp dụng: HS tự làm. ĐS: d=5. Bài 25: ĐS: un=5-3n. Bài 26:CM bằng quy nạp: HD: Bài 27: HS tự làm. HD: Bài 28:là ví dụ 3 trong phần bài học. Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24. Bài về nhà: Hết tiết 45: Bài tập SGK trang114, 115. Hết tiết 46: Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) un=3n-7 b) un=(3n+2)/5. Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (un) biết: (ĐS: u1=3, -17; d=2). Bài 3: Bốn số lập thành CSC. Tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương thì bằng 166. Tìm 4 số đó. (ĐS: 1, 4, 7, 10). Rút kinh nghiệm: Tiết 54, 55: §4: CẤP SỐ NHÂN Mục tiêu bài học: Về kiến thức: Giúp học sinh - Nắm vững khái niệm và tính chất về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. - Nắng vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. Về kỹ năng: - Biết vận dụng định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân. - Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. - Biết vận dụng các kiến thức cấp số nhân vào giải các bài toán liên quan đến cấp số nhân ở các môn học khác, cũng như trong thực tế. Tư duy – thái độ: - Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài. - Cẩn thận, chính xác và linh hoạt. II. Chuẩn bị của thầy và trò: Chuẩn bị của G\v: - Soạn giáo án. - Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu - Bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu và bài toán đố vui. Chuẩn bị của học sinh: - Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp. III. Phương pháp: Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề. IV. Tiến trình bài dạy: Ổn định tổ chức: Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh của lớp. Kiểm tra bài cũ: H: G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng? Bài mới: Tiết 1: HĐ của GV HĐ của HS Nội dung ghi bảng HĐ1: Hình thành đ\n của cấp số nhân từ một bài toán thực tế. + G\v treo bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu. H: Biểu diễn u2 theo u1, u3 theo u2,...,un theo un-1? + G\v gọi h\s phát biểu đ\n cấp số nhân. H: Vì sao dãy số (un) với un = là một CSN? H: Vì sao dãy số -2, 6,-18, 54, -162 là một CSN? tìm công bội của nó? + G\v cho h\s thực hiện hđ 1 SGK theo nhóm đã phân công. HĐ2: G\v hướng dẫn h\s lĩnh hội tính chất CSN. H: Cho CSN (un) có u1=-2 và q = . a. Viết 5 số hạng đầu tiên của nó? b. so sánh với u1.u3 và với u2.u4? Nêu nhận xét tổng quát + G\v cho h\s thực hiện hđ 2 SGK Tiết 2: HĐ3: Hình thành công thức số hạng tổng quát của CSN. H: Tìm số hạng đầu và công bội của CSN (un)? + G\v cho h\s thực hiện hđ 3 theo nhóm đã phân công H: Em có nhận xét gì về sự giống nhau của bài toán này với bài toán mở đầu? HĐ4: Hình thành công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN. H: Nêu phương pháp tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân? + G\v cho h\s thảo luận theo bài toán đó vui nhóm đã phân công. + H\s nghe và theo dõi nội dung bài toán trên bảng phụ + u2 =u1 + u1.0,004 = u1 . 1,004 u3 = u2 . 1,004 .... un = un-1 . 1,004 + H\s phát biểu đ\n cấp số nhân. + un = Nên (un) là CSN có số hạng đầu u1=2 và công bội q = 2 + vì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với -3. + H\s thảo luận nhóm hđ 1 và cử đại diện trình bày. + u1=-2, u2=1, u3=, u4 = + và + H\s đứng tai chỗ trình bày hđ 2 + u1 = 107.1,004 và q = 1,004 + H\s thảo luận hđ 3 theo nhóm và cử đại diện trình bày. + Dân số của TP A và số tiền rút được đều tăng theo cấp số nhân. + Tìm u1 và q. Nếu q = 1 thì Sn = nu1 Nếu q thì + H\s thảo luận theo nhóm và cử đại diện trình bày. 1. Định nghĩa: a. Bài toán mở đầu: (G\v treo bảng phụ) Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết bài toán ta có: un= un-1+un-1.0,004= un-1.1,004 Như vậy, ta có dãy số (un) mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với 1,004. b. Định nghĩa: SGK (un) là CSN Số q được gọi là công bội của CSN. Vd 1: a. Dãy số (un) với un = là một CSN với số hạng đầu u1=2 và công bội q=2 b. Dãy số -2, 6,-18, 54, -162 là một CSN với số hạng đầu u1 = -2 và công bội q = -3. Vd 2: SGK 2. Tính chất: Đlí 1: SGK C\m: SGK Vd 3: Cho CSN (un) với công bội q>0. Biết u1 = 1 và u3 = 3, hãy tìm u4. Giải: Ta có: (1) (2) Từ (1), do u2 > 0 (vì u1 > 0 và q > 0), suy ra . Từ (2) suy ra: 3. Số hạng tổng quát: Đlí 2: SGK với q Vd4: Trở lại bài toán mở đầu. 4. Tổng n số hạng đầu tiên của CSN Giả sử có cấp số nhân (un) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó: Sn = u1 + u2 + ... + un Nếu q=1 thì un = u1 với mọi n. Khi đó: Sn = nu1. Nếu q, ta có kết quả: Đlí 3: SGK với q C\m: SGK Vd 5: SGK (G\v treo bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán đố vui) Củng cố, dặn dò và bài tập về nhà: + G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa và tính chất của cấp số nhân. + G\v gọi h\s nêu công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. + Lập bảng so sánh sự khác nhau giữa CSC và CSN về đ\n, t\c, số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên. BTVN: Bài 2937 SGK trang 120 Rút kinh nghiệm: Tiết 56: LUYỆN TẬP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Mục tiêu: Kiến thức: Giúp cho học sinh Củng cố và tổng hợp các kiến thức cơ bản về cấp số cộng và cấp số nhân thông qua các bài tập. Kĩ năng: Vận dụng giải quyết một số bài tập liên quan. Thái độ, tư duy: Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi. Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế. Chuẩn bị của thầy và trò: Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. Học sinh: Học bài và chuẩn bị bài tập ở nhà. Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động. Tiến trình bài học: Ổn định tổ chức: Kiểm tra bài cũ: Nêu đn, tính chất, số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu của CSC và CSN. Bài mới: Hoạt động 1: Bài 38 HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Gọi HS làm tại chỗ bài 38 + a: sai b: đúng c: sai. a)Sai. Vì b) Đúng. Dễ dàng c/m được c) Sai. Vì . Hoạt động 2 : Bài 39 HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Từ giả thiết hãy rút ra quan hệ giữa các biểu thức rồi tìm x,y *2(5x+2y)=(x+6y)+(8x+y) x=3y (1) * (y+2)2=(x-1)(x-3y) (2) Giải bằng pp thế ta có: x=-6 và y=-2 x+6y; 5x+2y; 8x+y là CSC x-1; y+2; x-3y là CSN. Tìm x,y. ĐS: x=-6; y=-2. Hoạt động 3: Bài 40 và 41 HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Gọi HS nói cách làm sau đó GV hướng dẫn để các em làm ở nhà. + HS trả lời. Bài 40: +(un) là CSC với d 0. + u1.u2; u2.u3; u3.u1 lập thành CSN với q 0. Tìm q. HD: Nhận thấy u1.u2 0 vì nếu ngược lại thì hai trong ba số u1, u2, u3 bằng 0 (sẽ mâu thuẫn với gt CSC có d 0). Ta thấy q 1. Kết hợp (un) là CSC nên: 2u2=u2q+u2q2 (u2 0) q2+q-2=0 q=-2 (loại q 1). + Gọi hs lập luận để suy ra q 0,1 và u2 0 + HS trả lời. Bài 41: * u1, u2, u3 lập thành CSC với d 0; * u2, u1, u3 lập thành CSN. Tìm q. HD: Lập luận để có q 0,1 và u2 0. Ta có q2+q-2=0 q=-2 (loại q 1). Hoạt động 4: Bài 42 HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Lập các mối liên hệ giữa u1, u2, u3 Từ (1), (2) TH1: q=1 u1= u2= u3 =148/27 và d=0. TH2: q1: q=u2/u1=4/3 ( kết hợp (3)) u1=4; u2=16/3; u3= 64/9 và d=4/9. Gọi u1, u2, u3 là 3 số hạng của CSN theo thứ tự đó, q là công bội. Gọi d là công sai của CSC nói trong đề. Dễ dàng thấy u1 0. (tiếp tục phần giải của hs) Hoạt động 4: Bài 43 HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Gọi HS làm câu a. + HS lên bảng làm. Giải: un=1 và un+1=5un+8; vn=un+2. a) vn+1=un+1+2=5un+8+2=5(un+2)=5vn Vậy (vn) là CSN với v1=u1+2=1+2=3; q=5 Số hạng tổng quát: vn=v1qn-1=3.5n-1. b) un=vn-2=3.5n-1-2. Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24. Bài về nhà: Ôn lại tất cả kiến thức của chương III, lập bảng tóm tắt đối với mỗi bài trong chương. Bài tập thêm: Cho dãy số (un) với u1=m và un+1=aun+b (m, a, b là hằng số, a 0,1). a) Tìm số c sao c