Giáo án Dạy thêm Đại số 9

Ngày dạy: .. CĂN BẬC HAI. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A./ Kiến thức cơ bản: 1. Căn bậc hai - Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 = a - Chú ý: + Mỗi số thực a > 0, có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau: số dương: , số âm: + Số 0 có căn bậc hai là chính nó: + Số thực a < 0 không có căn bậc hai (tức không có nghĩa khi a < 0) 2. Căn bậc hai số học - Định nghĩa: Với thì số được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 - Chú ý: Việc tìm căn bậc hai số học của 1 số không âm được gọi là phép khai phương - Định lý: Với a, b > 0, ta có: + Nếu + Nếu 3. Căn thức bậc hai - Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức được gọi là căn thức bậc hai của A ; A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn - có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) 4. Hằng đẳng thức - Định lý : Với mọi số thực a, ta có : - Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có : B./ Bài tập áp dụng Dạng 1 : Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học * Phương pháp : - Viết số đã cho dưới dạng bình phương của một số - Tìm căn bậc hai số học của số đã cho - Xác định căn bậc hai của số đã cho Bài 1 : Tìm căn bậc hai của các số sau : 121 ; 144 ; 324 ; LG + Ta có CBHSH của 121 là : nên CBH của 121 là 11 và -11 + CBHSH của 144 là : nên CBH của 121 là 12 và -12 + CBHSH của 324 là : nên CBH của 324 là 18 và -18 + CBHSH của là : nên CBH của là và + Ta có : nên CBH của là và Dạng 2 : So sánh các căn bậc hai số học * Phương pháp : - Xác định bình phương của hai số - So sánh các bình phương của hai số - So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số Bài 2 : So sánh a) 2 và b) 7 và c) và 10 d) 1 và e) g) LG a) Vì 4 > 3 nên b) Vì 49 > 47 nên c) Vì 33 > 25 nên d) Vì 4 > 3 nên e) * Cách 1: Ta có: * Cách 2: giả sử Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó bất đẳng thức đầu tiên đúng g) Ta có: Dạng 3: Tìm điều kiện để căn thức xác định: xác định Bài 3: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định LG Để các căn thức trên có nghĩa thì a) b) Ta có: xác định với mọi x c) hoặc + Với + Với Vậy căn thức xác định nếu hoặc d) Dạng 4 : Rút gọn biểu thức Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: a) c) b) d) LG a) Cách 1 : Cách 2 : b) c) d) Dạng 5 : Tìm Min, Max Bài 5 : Tìm Min LG a) Ta có : vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1 b) Ta có : vậy Miny = . Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi ************************************************** Ngày dạy: .. VẬN DỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A./ Kiến thức cơ bản Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có : khi đó : B./ Bài tập áp dụng Bài 1 : Tìm x, y trong các hình vẽ sau a) + ta có : + Áp dụng định lý 1 : Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99 b) - Xét tam giác ABC vuông tại A. áp dụng định lý 1 ta có : c) * Cách 1 : AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6 Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB; AHC ta có: * Cách 2: Áp dụng định lý 1 ta có: d) Áp dụng định lý 2, ta có: Áp dụng định lý 1. ta có : e) Theo Pitago, ta có : Áp dụng định lý 3, ta có : g) Áp dụng định lý 2, ta có : Theo Pitago cho tam giác AHC vuông tại H, ta có : Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm. Từ C kẻ đường vuông góc với cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D. Tính AD và CD LG . Theo định lý 3, ta có : Theo Pitago trong tgiác ACD vuông tại A, ta có : Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD LG Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có: Theo định lý 1: Theo định lý 1, ta có: Theo định lý 2, ta có: Xét tam giác DAF, theo định lý 1: Theo Pitago: Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở F. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng: a) Tam giác DEG cân b) Tổng không đổi khi E chuyển động trên AB LG a) Ta có: (cùng phụ với ) xét ta có : cân tại D b) vì DE = DG ta có : xét tam giác DGF vuông tại D, ta có : (định lý 4) Vì không đổi khi E chuyển động trên AB, suy ra tổng không đổi khi E thay đổi trên AB ******************************************************* Ngày day: .. CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI A./ Kiến thức cơ bản : 1. khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai a) Định lý : b) Quy tắc khai phương một tích : Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau () c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : Muốn nhân các CBH của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó () d) Chú ý : - Với A > 0 ta có : - Nếu A, B là các biểu thức : - Mở rộng : 2. Khai phương một thương. Chia các căn bậc hai a) Định lý : b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương , trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai () c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a không âm cho số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó () d) Chú ý : Nếu A, B là biểu thức : B./ Bài tập áp dụng : Dạng 1 : Tính Bài 1 : Thực hiện phép tính Dạng 2 : Rút gọn các biểu thức Bài 2 : Tính giá trị các biểu thức Bài 3 : Rút gọn các biểu thức  a) b) c) d) Dạng 3 : Chứng minh Bài 4 : Chứng minh các biểu thức sau Dạng 4 : Giải phương trình Bài 5 : Giải các phương trình sau đk : Ta có thỏa mãn (4) đk : (4) thỏa mãn Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh rằng . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? LG * Cách 1 : + vì xác định + ta có : + dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b * Cách 2 : ta có ******************************************************* Ngày dạy: .. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa : Cho ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC vuông tại A như sau : Đối Kề Huyền * Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy : + tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn luôn dương + 0 < sin, cos < 1 + 2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau - Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotg góc kia. Tức : nếu thì ta có : 3. Bảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt Tỉ số lượng giác 300 450 600 Sin Cos tg 1 Cotg 1 * Nhận xét : - Dựa vào bảng trên ta thấy : với . Tức là : + góc lớn hơn thì có sin lớn hơn, nhưng lại có cosin nhỏ hơn + góc lớn hơn thì có tg lớn hơn, nhưng lại có cotg nhỏ hơn Hay ta có thể phát biểu : thì : + sin và tg đồng biến với góc + cosin và cotg nghịch biến với góc 4. Các hệ thức cơ bản B. Bài tập áp dụng Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tính cos, tg và cotg + ta có: + Bài 2: 1. Chứng minh rằng: 2. Áp dụng: tính sin, cos, cotg, biết tg = 2 LG 1. a) ta có: b) c) 2. Ta có: Bài 3: Biết tg = 4/3. Tính sin, cos, cotg LG + ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾ + mà + mặt khác: Bài 4: Dựng góc trong các trường hợp sau: LG a)* Cách dựng - dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị - trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1 - vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2, cung này cắt Ox tại A - nối A với B cần dựng * Chứng minh: - ta có: đpcm b)* Cách dựng - dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị - trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 - vẽ cung tròn tâm A, bán kính bằng 3, cung này cắt Oy tại B - nối A với B cần dựng * Chứng minh: - ta có: đpcm c) * Cách dựng - dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị - trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 3 - trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1 cần dựng * Chứng minh: - thật vậy, ta có: đpcm d) * Cách dựng - dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị - trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 4 - trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1 cần dựng * Chứng minh: - thật vậy, ta có: đpcm Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13 a) CMR tam giác ABC vuông b) Tìm tỉ số lượng giác của góc A và góc C LG a) Ta có: theo định lý Pytago đảo, suy ra tam giác ABC vuông tại B b) - vì là 2 góc phụ nhau - do đó: ********************************************************* Ngày dạy: . BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI A. Kiến thức cơ bản 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn : 4. Trục căn thức ở mẫu a) b) c) * Chú ý: - các căn bậc hai đồng dạng là các căn bậc hai có cùng biểu thức dưới dấu căn - biểu thức liên hợp: 2 biểu thức chứa căn thức được gọi là liên hợp với nhau nếu tích của chúng không chứa căn thức - quy tắc trục căn thức ở mẫu: muốn trục căn thức ở mẫu của 1 biểu thức ta nhân tử và mẫu của biểu thức đó với biểu thức liên hợp của mẫu B. Bài tập áp dụng Dạng 1: Đưa nhân tử ra ngoài, vào trong dấu căn Bài 1: Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sánh a) ta có: b) ta có: c) ta có: d) ta có: Bài 3: Đưa nhân tử vào trong dấu căn và rút gọn Dạng 2: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức Bài 4: Thực hiện phép tính Bài 5: Rút gọn biểu thức với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa - nếu - nếu Dạng 3: Trục căn thức ở mẫu Bài 6: Trục căn thức ở mẫu a) b) c) d) e) Bài 7: Trục căn thức ở mẫu và thực hiện phép tính *********************************************************** Ngày dạy: .. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI. ÔN TẬP ĐẠI SỐ - CHƯƠNG I A. Kiến thức cơ bản Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã biết B. Bài tập áp dụng Bài 1: Tính a) Bài 2: Thực hiện phép tính, rút gọn kết quả a) b) Bài 3: Chứng minh đẳng thức Biến đổi vế trái ta được: Biến đổi vế trái ta được: Bài 4: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a LG a) đk: a > 0; b > 0; a khác b b) ta có: Bài 5: Cho biểu thức a) Tìm đk xác định b) Rút gọn biểu thức B LG a) đk: b) Ta có: Bài 6: Cho biểu thức a) Tìm đk để C có nghĩa b) Rút gọn C c) Tìm x để C = 4 LG a) đk: b) Ta có: c) C = 4 Bài 7: Cho biểu thức a) Tìm đk b) Rút gọn c) Tìm x sao cho D < -1 LG a) đk: x > 0; x khác 9 b) Ta có: c) ******************************************************** Ngày dạy: .. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. Kiến thức cơ bản 1. Các hệ thức * Định lý: Trong 1 tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: - Cạnh huyền nhân Sin góc đối hoặc Cosin góc kề - Cạnh góc vuông kia nhân Tang góc đối hoặc Cotg góc kề (trong tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c; AC = b, ta có: 2. Áp dụng giải tam giác vuông * Giải tam giác vuông: là tìm tất cả các yếu tố của một tam giác vuông (các cạnh, các góc) nếu biết trước 2 yếu tố trong đó có ít nhất 1 yếu tố về cạnh và không kể góc vuông * Một số trường hợp giải tam giác vuông thường gặp a) Biết 2 cạnh góc vuông - Tính cạnh huyền (theo Pi-ta-go) - Tính một góc nhọn (tg hoặc cotg) - Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau) b) Biết cạnh huyền và 1 góc nhọn - Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau) - Tính các cạnh góc vuông (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1)) c) Biết cạnh góc vuông và góc nhọn kề - Tính góc nhọn còn lại - Tính cạnh góc vuông còn lại và cạnh huyền (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1); (2)) B. Bài tập áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết và BC = 10. Tính AB; AC - - theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = 17; BC = 16. Tính đường cao AH và góc A, góc B của tam giác ABC + tam giác ABC cân, có + xét tam giác AHC, vuông tại H - ta có: - mặt khác: + xét tam giác AHB vuông tại H, ta có: Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, . Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Tính AN; AC - xét tam giác ANB vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có: - xét tam giác ANC vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có: Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9; HC = 16. Tính góc B, góc C? - xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông , ta có: - xét tam giác AHB, vuông tại H, ta có: - mà Bài 5: Cho tam giác ABC có , các hình chiếu vuông góc của AB và AC lên BC theo thứ tự bằng 12 và 18. Tính các góc và đường cao của tam giác ABC - xét tam giác AHB vuông tại H - xét tam giác AHC, theo hệ thức lượng - theo hệ thức về cạnh và góc, ta có: Bài 6: Cho hình thang ABCD, có , đáy nhỏ AB = 4, đáy lớn CD = 8, AD = 3. Tính BC, ? - kẻ BH vuông góc với CD, suy ra AD = BH = 3; AB = DH = 4, do đó: CH = 8 – 4 = 4 - xét tam giác BHC vuông tại H, ta có: - vì ABCD là hình thang nên: Bài 7: Giải các tam giác vuông sau, tam giác ABC vuông tại A biết: a) a = 18; b = 8 b) b = 20; c) a) a = 18; b= 8 b) b = 20; c) ********************************************************* Ngày dạy: ÔN TẬP HÌNH HỌC – CHƯƠNG I A. Kiến thức cơ bản 1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có : khi đó : 2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn Cho ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC vuông tại A như sau : Đối Kề Huyền 3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác - Nếu thì ta có : - Cho . Khi đó + 0 < sin, cos < 1 + + 4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông - Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c; AC = b, ta có: B. Bài tập áp dụng Bài 1 : Chứng minh rằng : với là góc nhọn tương ứng trong tam giác ABC, thì: LG Bài 2 : Cho tam giác ABC, biết AB = 21 ; AC = 28 ; BC = 35 a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông b) Tính sinB, sinC, góc B, góc C và đường cao AH vủa tam giác ABC LG a) ta có: do đó theo định lý đảo của định lý Pi-ta-go tam giác ABC vuông tại A b) Xét tam giác AHB vuông tại H, áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có: (hoặc AH.BC = AB.AC) Bài 3: Giải tam giác vuông tại A, biết a) a = 12; b) b = 13; c = 20 LG - ta có: - ta có: Bài 4: Cho tam giác ABC có các hình chiếu vuông góc của AB, AC lên BC theo thứ tự bằng 12; 18. Tính các cạnh, các góc và đường cao của tam giác ABC LG + ta có: BC = BH + CH = 12 + 18 = 30 + xét tam giác AHB vuông tại H - ta có : - mặt khác : + xét tam giác AHC vuông tại H, ta có : + xétABC, tcó: *********************************************************** Ngày dạy: .. HÀM SỐ BẬC NHẤT. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức , trong đó a, b là các số cho trước 2. Tính chất của hàm số bậc nhất : Hàm số bậc nhất xác định với mọi x thuộc R và có tính chất sau : a) Đồng biến trên R, khi a > 0 b) Nghịch biến trên R, khi a < 0 3. Đồ thị của hàm số - Đồ thị của hàm số là 1 đường thẳng đi qua gốc tọa độ O - Cách vẽ + Cho + Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và A(0 ; a) là đồ thị hàm số y = ax 4. Đồ thị của hàm số - Đồ thị của hàm số là 1 đường thẳng + Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b + Song song với đường thẳng y = ax nếu b khác 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0 - Chú ý : Đồ thị của hàm số còn được gọi là đường thẳng b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng * Cách vẽ : 2 bước - Bước 1 : Tìm giao của đồ thị với 2 trục tọa độ + Giao của đồ thị với trục tung : cho + Giao của đồ thị với trục hoành : cho - Bước 2 : Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm A ; B ta được đồ thị hàm số B. Bài tập áp dụng Bài 1 : Cho hàm số . Tính f(0) ; f(1) ; f(-1) ; f(2) ; f(-2) ; f(8)  LG - Lập bảng giá trị tương ứng của x và f(x) x -2 -1 0 1 2 8 -4 3 2 -1 Bài 2: Biểu diễn các điểm sau trên mặt phẳng tọa độ? A(-3; 2), B(1; 4), C(-5; 0), D(0; 3), E(-1; -4) LG Bài 3: Tìm m để hàm số sau là hàm số bậc nhất? LG Bài 4: Cho hàm số y = (m – 5)x + 2010. Tìm m để hàm số trên là a) hàm số bậc nhất b) hàm số đồng biến, nghịch biến LG b) hàm số đồng biến ó m – 5 > 0 ó m > 5 - hàm số nghịch biến ó m – 5 < 0 ó m < 5 Bài 5 : Cho hàm số . Tìm m để a) hàm số trên là hàm số bậc nhất b) hàm số đồng biến, nghịch biến c) đồ thị hàm số đi qua điểm A(1 ; 4) LG a) hàm số đã cho là hàm số bậc nhất b) hàm số đồng biến *) hàm số ngh.biến c) vì đồ thị hàm số đi qua A(1 ; 4) nên : Bài 6 : Vẽ tam giác ABO trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Biết O(0 ; 0) , A(2 ; 3), B(5 ; 3) a) Tính diện tích tam giác ABO b) Tính chu vi tam giác ABO LG a) trong đó OD = 3; AB = 3 b) xét tam giác AOD và tam giác BOD. Theo Pi-ta-go ta có: Chu vi: Bài 7: Cho hàm số y = (m-1).x + m a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 b) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3 c) Vẽ đồ thị của 2 hàm số ứng với giá trị của m vừa tìm được ở câu a) và b) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy LG a) hàm số y = (m-1).x + m có tung độ gốc b = m - vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, nên m = 2 - hàm số có dạng : y = x + 2 b) vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3, nên tung độ của điểm này bằng 0, ta có : - hàm số có dạng : c) x 0 -2 y = x + 2 2 0 x 0 -3 0 Bài 8 : Cho các hàm số : y = x + 4 ; y = -2x + 4 a) Vẽ 2 đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ b) 2 đường thẳng y = x + 4 ; y = -2x + 4 cắt nhau tại C và cắt trục hoành theo thứ tự tại A và B. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC LG a) Vẽ 2 đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ * Bảng các giá trị của x và y là : +) hàm số y = x + 4 x 0 -4 y = x + 4 4 0 +) hàm số y = -2x + 4 x 0 2 y = -2x + 4 4 0 b) trong đó AB = 6; CO = 4 xét tam giác vuông AOC và tam giác vuông BCO. Theo Pi-ta-go, ta có: Chu vi: ***************************************************** Ngày dạy: . SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN A. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa của đường tròn: Đường tròn tâm O, bán kính R, ký hiệu: (O; R) là tập hợp các điểm cách O một khoảng bằng R 2. Vị trí tương đối của 1 điểm đối với đường tròn: Cho (O; R) và 1 điểm M trong cùng 1 mặt phẳng - điểm M nằm trên (O) OM = R - điểm M nằm bên trong (O) OM < R - điểm M nằm bên ngoài (O) OM > R 3. Sự xác định đường tròn - Định lý: Qua 3 điểm không thẳng hàng ta vẽ được 1 và chỉ 1 đường tròn - Chú ý: + tâm của đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC. Đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ay tam giác ABC nội tiếp đường tròn + không vẽ được đường tròn nào đi qua 3 điểm thẳng hàng + để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ta chứng minh các điểm ấy cùng cách đều 1 điểm cố định. Điểm cố định ấy là tâm của đường tròn, khảng cách đều ấy là bán kính của đường tròn B. Bài tập áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E. Goik M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của DE, EB, BC, CD. CMR: 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn LG + Xét tam giác EDB, ta có: MN là đường trung bình của EDB, suy ra MN // = ½ B (1) hay MN//AB + Xét tam giác BCD, ta có : PQ là đường trung bình của tam giác BCD, suy ra PQ // = ½ BD (2) + Từ (1) và (2) => MN // = PQ => tứ giác MNPQ là hình bình hành (*) + Xét tam giác CDE, ta có : MQ là đường trung bình của CDE, suy ra MQ // CE => MQ // AC + Ta có : (**) + Từ (*) và (**) => tứ giác MNPQ là hình chữ nhật, gọi O là giao điểm của MP và NQ => OM = ON = OP = OQ => 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn Bài 2 : Chứng minh định lý sau : a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền b) Nếu 1 tam giác có 1 cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông LG Xét tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC => OA = OB = OC (vì AO là trung tuyến của tam giác) => O là tâm của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC nọi tiếp đường tròn tâm O có đường kính BC => OA = OB = OC => OA = ½ BC => tam giác ABC vuông tại A Bài 3 : Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O ; ½ BC) cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E a) Chứng minh rằng : CD vuông góc với AB ; BE vuông góc với AC b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng : AK vuông góc với BC LG a) Theo bài 2, tam giác BCD và tam giác BCE có cạnh BC là đường kính => tam giác BCD vuông tại D (=> CD vuông góc với AB) và tam giác BCE vuông tại E (=> BE vuông góc với AC) b) Xét tam giác ABC, ta có : K là trực tâm của tam giác ABC => AK vuông góc với BC Bài 4 : Cho tam giác ABC, góc A > 900. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C. Chứng minh rằng: a) Các điểm A, D, B, E cùng nằm trên 1 đường tròn b) Các điểm A, D, C, F cùng nằm trên 1 đường tròn c) Các điểm B, C, E, F cùng nằm trên 1 đường tròn LG a) gọi M là trung điểm của AB xét tam giác ADB, (1) xét tam giác AEB, (2) từ (1) và (2) => MA = MB = MD = ME => các điểm A, D, B, E cùng nằm trên 1 đường tròn b) gọi N là trung điểm của AC xét tam giác ADC vuông tại D và tam giác AFC vuông tại F, ta có: DN, FN lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC => NA = ND = NC = NF => A, D, C, F cùng nằm trên 1 đường tròn c) gọi I là trung điểm của BC (chứng minh tương tự) Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = AC nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao AH của tam giác cắt đường tròn (O) tại D a) Chứng minh rằng AD là đường kính của đường tròn tâm O b) Tính góc ACD c) Cho BC = 12cm, AC = 10cm. Tính AH và bán kính của đường tròn tâm O LG a) + vì AB = AC => tam giác ABC cân tại A, mà AH vuông góc với BC => AH là đường trung trực của BC => AD cũng là trung trực của BC (1) + do tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O => O thuộc đường trung trực của BC (2) + từ (1) và (2) => O thuộc AD => AD là đường kính của đường tròn (O) b) theo bài 2 tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O) có AD là đường kính => góc ACD = 900 c) + vì cm + xét tam giác AHC vuông tại H, ta có: cm + xét tam giác ACD vuông tại C, áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: => bán kính của đường tròn (O) là ******************************************************* Ngày dạy: HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU A. Kiến thức cơn bản 1. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương Trường hợp a > 0 Trường hợp a < 0 - với a > 0 , a càng lớn thì càng lớn - với a < 0 , a càng lớn thì càng lớn 2. y = ax + b (a khác 0) thì a được gọi là hệ số góc của đường thẳng 3. Với 2 đường thẳng , ta có: - Chú ý: khi a khác a’ và b = b’ thì 2 đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ là b B. Bài tập áp dụng Bài 1: Xác định hệ số góc k của đường thẳng y = kx + 3 – k trong mỗi trường hợp sau: a) Đường thẳng song song với đồ thị hàm số b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 c) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 LG a) Vì đt y = kx + 3 – k song song với đths ptđt có dạng: b) Vì đths y = kx + 3 – k cắt trục tung tại điểm có tung độ là b = 3 – k, mà theo giả thiết đths cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên ptđt có dạng: y = x+2 c) Vì đt y = kx + 3 – k cắt trục hoành tại đểm có hoành độ bằng 3, nên tung độ tại điểm này bằng 0 ta có : ptđt có dạng : Bài 2 : Cho hs bậc nhất : y = ax – 4 (1). Xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau a) đths (1) cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 b) đths (1) cắt đường thẳng y = -3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5 LG a) Gọi M là giao điểm của đths (1) và đt y = 2x – 1 => tọa độ điểm M thỏa mãn đồng thời cả 2 đt trên - tung độ của điểm M là y = 2.2 – 1 = 3 => M(2 ; 3) - vid đths (1) đi qua điểm M(2 ; 3), nên ta có : 3 = 2.a – 4 => a = 7/2 b) Gọi N là giao điểm của đths (1) và đt y = -3x + 2 => tọa độ điểm N thỏa mãn đồng thời cả 2 đt trên - hoành độ của diểm N là 5 = -3x + 2 => x = -1 => N(-1 ; 5) - vì đths (1) đi qua N(-1 ; 5), nên ta có : 5 = a.(-1) – 4 => a = - 9 Bài 3 : Cho hs : y = -2x + 3 a) Vẽ đths trên b) Xác định hs có đthị là đt đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đt y = -2x + 3 c) Tìm tọa độ giao điểm A của đt y = -2x + 3 và đt tìm được ở câu b) d) Gọi P là giao điểm của đt y = -2x + 3 với trục tung. Tìm diện tích tam giác OAP LG a) Vẽ đths y = -2x + 3 x 0 3/2 y = -2x + 3 3 0 => đths y = -2x + 3 đi qua 2 điểm P(0 ; 3), Q(3/2 ; 0) b) đt qua gốc tọa độ O có dạng y = ax (a khác 0) - vì y = -2x + 3 và y = ax vuông góc với nhau nên : -2a = 1 => a = -1/2 => hs có dạng : c) tìm tọa độ giao điểm của y = -2x + 3 và - gọi A là giao điểm của 2 đt trên