Giáo án Giải tích lớp 11 - Các hàm số lượng giác của cung, bài tập

Tiết: 5+6+7+8 Tuần: 2 Bài: I/ Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: - Nắm vững định nghĩa các giá trị lượng giác của cung µ (tính bằng rad) và các hệ quả của định nghĩa. - Nắm vững định nghĩa các hàm số lượng giác của biến số thực x, tập xác định và tập giá trị của từng hàm số lượng giác. Ý nghĩa hình học của chúng trên đường tròn lượng giác. - Bảng giá trị lượng giác của cung đặc biệt từ 0 đến . Dấu của các giá trị lượng giác và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. 2. Kỹ năng : - Tính giá trị của các hàm số lượng giác hay 1 biểu thức lượng giác theo 1 biểu thức cho trước. - Rút gọn 1 biểu thức. - Chứng minh 1 đẳng thức. II/ Chuẩn bị: Giáo viên: phấn màu, bảng đường tròn lượng giác Học sinh: Thước, Compa, III/ Tiến trình bài dạy: Kiểm tra bài cũ: Cho đường tròn lượng giác tâm O và hệ trục tọa độ Oxy. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác cung AM có số đo . Xác định hoành độ và tung độ của điểm M. Qua kiểm tra, gv giới thiệu sin, cosù là 2 trong các giá trị lượng giác của cung . Bài mới: T/gian Nội dung bài ghi Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh M(x;y) y A H O K x M(x;y) y 2. Các hàm số lượng giác: I. Các giá trị lượng giác của cung µ: 1. Định nghĩa: Xét hệ trục tọa độ Oxy và đường tròn lượng giác tâm O với các điểm A(1,0) , A’(-1,0) , B(0,1) , B’(0,-1). Với mỗi số thực µ cho trước, biểu diễn trên đường tròn lượng giác cung AM có sđAM = µ. Gọi (x,y) là tọa độ của điểm M sinµ = y cosµ = x Nếu cosµ ¹ 0,tgµ= Nếu sinµ ¹ 0,cotgµ=. Các giá trị sinµ, cosµ, tgµ, cotgµ được gọi là giá trị lượng giác của cung µ. Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin. Chú ý: Các giá trị lượng giác cũng được định nghĩa cho các góc lượng giác. Nếu 0o < µ < 180o thì các giá trị lượng giác của µ cũng chính là tỉ số lượng giác của µ đã học ở lớp 10 2/ Các hệ quả của định nghĩa: "µ Ỵ R , sinµ và cosµ đều được xác định. "k Ỵ Z , sin(µ + k2p) = sinµ cos(µ + k2p) = cosµ Vì –1 < < 1 nên –1 < sinµ < 1 –1 < < 1 nên –1 < cosµ < 1 tgµ không xác định khi cosµ = 0 Û µ =+ kp (kỴZ) cotgµ không xác định khi sinµ=0Ûx=kp (kỴZ) 3/ Bảng giá trị lượng giác của 1 số cung hay góc đặc biệt: (SGK) H O A t M S T s x t’ y K II/ Các hàm số lượng giác của biến thực: Các định nghĩa về giá trị lượng giác ở trên xác định các hàm số lượng giác sau: Hàm số sin sin: R ® R x ® y = sinx Hàm số cosin cos: R ® R x ® y = cosx Hàm số tang tg: D1®R x ® y = tgx với D1 = Hàm số cotang cotg: D2 ® R x ® y = cotgx với D2 = III/ Ý nghĩa hình học của tgµ và cotgµ: 1/ Ý nghĩa hình học của tgµ: - Vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác. - Xác định trên tiếp tuyến này 1 trục, bằng cách chọn gốc tại A và vectơ đơn vị là . - Cho cung lượng giác AM. - Gọi T = OM Ç t’At. . 2/ Ý nghĩa hình học của cotgµ: - Vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác. - Xác định trên tiếp tuyến này 1 trục, bằng cách sin2µ + cos2µ = 1 1 + tg2µ = 1 + cotg2µ = tgµ . cotgµ = 1 chọn gốc tại B và vectơ đơn vị là . - Gọi S = OM Ç s’Bs. 3/ Ghi chú: "k Ỵ Z, tg(µ + kp) = tgµ. cotg(µ + k p) = cotgµ. IV/ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: (µ ¹ ) (µ ¹ kp) (µ ¹ ) Ví dụ 1: Cho µ ¹ + kp , k Ỵ Z. Chứng minh: Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào µ A = V/ Dấu của các giá trị lượng giác: Bảng tóm tắt dấu của các giá trị lượng giác khi điểm ngọn của cung µ thuộc các cung phần tư tương ứng. (SGK) Ví dụ 3: Cho sinµ = với < µ < p. Tính cosµ, tgµ, cotgµ. Ví dụ 4: Cho tgµ = với p < µ < . Tính các giá trị lượng giác còn lại. VI/ Giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt: 1/ Cung đối nhau: Cung µ và cung -µ là 2 cung đối nhau. cos(-µ) = cosµ sin(-µ) = - sinµ tg(-µ) = - tgµ cotg(-µ) = - cotgµ 2/ Cung bù nhau: Cung µ và cung p - µ là 2 cung bù nhau. sin(p - µ) = sinµ cos(p - µ) = - cosµ tg(p - µ) = - tgµ cotg(p - µ) = - cotgµ Ví dụ 1: Tính sin495o , cos 3/ Cung hơn kém p: Cung µ và cung µ + p là 2 cung hơn kém p. sin(µ + p) = - sinµ cos(µ + p) = - cosµ. tg(µ + p) = tgµ cotg(µ + p) = cotgµ 4/ Cung phụ nhau: Cung µ và cung - µ là 2 cung phụ nhau sin( - µ) = cosµ cos( - µ) = sinµ tg( - µ) = cotgµ cotg( - µ) = tgµ Ví dụ 1: Biểu thị theo hàm số lượng giác tương ứng của cung µ sin( + µ), cos( + µ), tg( + µ), cotg( + µ) Bài tập : 1,2,4,5,7,8,9/23 SGK 3/23 SGK Hướng dẫn: 0 < µ < Þ < µ < Þ sinµ > 0 6/23 SGK Hướng dẫn: Đặt t = sin2x Þ cos2x = 1 – t M(x;y) y gọi là sin của µ x gọi là cosin của µ gọi là tang của µ gọi là cotang của µ Muốn xác định sinµ , cosµ nhờ đường tròn lượng giác? Vì sao sin(µ + k2p) = sinµ? Vị trí các điểm K trên trục y’Oy? Vị trí các điểm H trên trục x’Ox? cosµ = 0 Þ µ? sinµ = 0 Þ µ? - Dựa vào đn,gọi hs đọc giá trị lượng giác sinµ, cosµ với µ=0 ,µ = , µ = p - Gọi hs nêu cách ký hiệu hàm số. tgx xác đinh? cotgx xác định? DAOT ~ DHOM Þ = 1, = = sinµ, =cosµ Muốn xác định tgµ, nhờ đường tròn lượng giác? Muốn xác định cotgµ, nhờ đường tròn lượng giác? Gọi hs. Gọi hs nhắc lại định nghĩa sinµ, cosµ. Dấu của sinµ? Dấu của cosµ? Gọi hs. - Gọi hs biểu diễn 2 cung đối nhau trên đường tròn lượng giác. - So sánh các giá trị lượng giác của 2 cung đó. - Hs giải thích: Các cung có số đo µ hoặc µ + k2p có cùng điểm ngọn. - Hs nêu f: D ® R x ® y = f(x) Hs giải thích Hs chứng minh. Hs thực hiện VD Hs thực hiện VD. Hs nêu dấu của sinµ, cosµ ứng với cung µ tương ứng. Hs thực hiện VD Hs xây dựng công thức Hs biểu diễn cung bù nhau trên đường tròn lượng giác và xây dựng công thức. Hs biểu diễn 2 cung hơn kém p trên đường tròn lượng giác và xây dựng công thức. Hs xây dựng công thức. Hs thực hiện ví dụ. sin( + µ) = sin(p - - µ)=sin( - µ)