Giáo án Giải tích lớp 11 - Chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân phương pháp quy nạp toán học

Chương 3 DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Tiết 47- 49 Mục đích yêu cầu: Kiến thức: Học sinh nắm vững: - Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học. Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: Giải tóan bằng phương pháp quy nạp. Lên lớp: B1. Ổn định và điểm danh: B2. Bài cũ: B3. Bài mới: Trọng tâm: Cách giải các bài tóan bằng phương pháp quy nạp. Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Hoạt động 1: Mở đầu I. Mở đầu: Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nÎ N. Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta không thể thử trực tiếp được mà dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp như sau: Hoạt động 2: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp: Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp , ta làm như sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k0 (gọi là giả thiết quy nạp). Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1. Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n. Chú ý. Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiện np thì: Trong bước 1 ta phải thử với n = p. Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = kp. Hoạt động 3: Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1, ta có: + Kiểm tra với n nào? + Cách kiểm tra? + Cách thiết lập giả thiết quy nạp? + Phải chứng minh điều gì? + Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng đầu tiên 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2, ta có: + Kiểm tra với n = 2. + Thành lập giả thiết quy nạp? + Mệnh đề phải chứng minh? + Hướng dẫn chứng minh. IV. Bài tập: Chứng minh rằng với "n ÎN*, ta có: (*) + Kiểm tra (*) với n = 1 + Thành lập giả thiết quy nạp? + Cách chứng minh? + Kết luận. B4. Củng cố: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp? Giải: + Khi n = 1, ta có: (1) đúng với n = 1 + Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k1, tức là: Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, tức phải chứng minh: Cm: Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n1 Giải: + Khi n = 2: (2) đúng với n = 2 + Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k2, tức là: Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh: Cm: Vậy (2) đúng với mọi số tự nhiên n2 Giải: + Khi n = 1, ta có: (*) đúng với n = 1 + Giả sử (*) đúng với một số tự nhiên n = k > 0, tức là: Ta chứng minh (*) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh: Cm: Hoạt động 4: Luyện tập Yêu cầu học sinh làm các bài tập 2, 3, 5, 7, 8 sgk DÃY SỐ Tiết 50 I. MỤC TIÊU * Về kiến thức: Giúp học sinh: - Có một cách nhìn nhận mới, chính xác đối với khái niệm dãy số, cách nhìn nhận theo quan điểm hàm số. - Nắm vững 3 cách cho một dãy số. Nắm vững dãy số tăng , giảm, dãy số bị chặn * Về kỹ năng: Giúp học sinh - Biết cách cho một dãy số. - Biết cách tính số hạng thứ k khi cho một dãy số bằng công thức truy hồi hay cho công thức của số hạng tổng quát. - Biết cách tìm số hạng tổng quát Un. II. NỘI DUNG BÀI HỌC HĐ1: Kiểm tra bài cũ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Giao nhiệm vụ + Cho ví dụ một hàm số có tập xác định là N* và tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) 1 học sinh lên bảng làm. Các em khác ở dưới lớp kiểm tra, xác định đúng hay sai, còn thiếu chỗ nào HĐ2: Bài mới: . DÃY SỐ 1. Định nghĩa dãy số: Qua ví dụ ở trên, thầy giáo giải thích Đặt: U1 = f(1) U2 = f(2) .... Un = f(n) Thì các số: U1, U2, U3, ... , Un,... lập thành một dãy số vô hạn. Chính xác hóa đối với dãy số (vô hạn) Định nghĩa (dãy số vô hạn) Ký hiệu: (Un) Định nghĩa (dãy số hữu hạn) VD: cho dãy số hữu hạn: 1, 2, 2, 4, 8, 32, 256 - Dãy số là hàm số như thế nào? - Cho VD một dãy số - Cho VD dãy số tự nhiên lẻ? - Cho VD dãy số chính phương Cho ví dụ về dãy số hữu hạn. 2. Cách cho một dãy số: Một dãy số được xác định nếu ta biết cách tính mọi số hạng của dãy số đó. Có 3 cách cho một dãy số: a. Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát Un. VD1: cho dãy số (Un) với Un = Hoạt động theo nhóm H1: Tìm số hạng thứ 33 và 333 của dãy số. Thay n = 33, n = 333 vào Un H2: Số , là số hạng thứ mấy của dãy số trên. Giải PT: =; = tìm n nguyên dương; H3: Cho ví dụ dãy số bởi công thức tổng quát củaUn. Un = ? H4: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy nghịch đảo các số tự nhiên lẻ 1, , , , , ..., b. Cho dãy số bằng công thức truy hồi VD2: Cho dãy số (Un) biết: H1: Tính U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9, U10 Làm theo nhóm U3 = 2; U4 = 3; U5= 5; U6= 8; U7 = 13; U8 = 21; U9 = 34; U10 = 55 VD3: Cho dãy số (Un) biết: H1: Tính U2, U3, U4, U5 H2: Qua 2 ví dụ trên hãy nêu cách cho dãy số bằng phương pháp truy hồi. H3: Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa U1, U2, U3, U4, U5 với 1, 2, 3, 4, 5 Un = ? H4: Có thể khẳng định Un = 2n - 1 () được không? Cần phải làm gì? Làm theo nhóm Nhóm nào xong trước lên trình bày. Cho 1 nhóm phát biểu và các nhóm khác theo dõi, bổ sung cho hoàn chỉnh. U1 = 1 = 21 - 1 U4 = 15 = 24 - 1 U2 = 3 = 22 - 1 U5 = 31 = 25 - 1 U3 = 7 = 23 - 1 Tổng quát: Un = 2n - 1 CM. Un = 2n - 1 là đúng bằng phương pháp quy nạp. Các nhóm thảo luận cách c/ minh và trình bày. c. Cho dãy số bằng phương pháp mô tả A B O VD4: Cho dãy số (Un) biết: U1 = 3,1 ;U2 = 3,14; U3 = 3,141; U4 = 3,1415,. (Chú ý số p = 3,1415....) VD5: Cho dãy số (Un) với Un là độ dài của dây AMn trên hình vẽ bên (OA = 1) H1: Tính AMn H2: Un = ? Sau 1’ học sinh không giải được thì gợi ý lấy I là trung điểm AMn. Tính AI. HĐ3: CỦNG CỐ BÀI HỌC Giao nhiệm vụ, đánh giá kết quả của học sinh làm. Bài 1: Cho dãy số (Un), biết: Tìm U4. Gọi 3 học sinh lên bảng làm, mỗi em làm 1 câu, các em khác theo dõi góp ý đúng - sai và có cách nào làm hay hơn không? Bài 2: Tìm 5 số hạng đầu của dãy số (Un) biết: un = Bài 3: Viết 5 số hạng đầu của dãy số gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 1 và viết số hạng tổng quát của Un Hoạt động 4: Bài 15/sgk. Cho dãy số (un) xđịnh bởi u1 = 3 và un+1 = un + 5 với mọi n 1. a) Hãy tính u2, u4 và u6. b) Cmr un = 5n - 2 với mọi n 1. Hoạt động 4: Bài 15/sgk. Cho dãy số (un) xđịnh bởi u1 = 3 và un+1 = un + 5 với mọi n 1. a) Hãy tính u2, u4 và u6. b) Cmr un = 5n - 2 với mọi n 1. - Muốn tính u2, u4 và u6 ta áp dụng kiến thức nào? - Gọi HS lên bảng trình bày câu a -Gọi 1 HS nhận xét - GV nhận xét - Nêu cách hiểu của em về phương pháp quy nạp toán học ? - GV hưóng dẫn HS vận dụng vào cm câu b - Yêu cầu HS trình bày hướng giải quyết theo các bước đã học. - GV nhận xét bài giải, chính xác hoá. - Củng cố kiến thức a) Theo gt u1 = 3 và un+1 = un + 5 ta c ó u2 = u1 + 5 = 8 u4 = u3 + 5 = 18 u6 = u5 + 5 = 28 b) Cm un = 5n - 2 (1) Với n = 1, ta có u1 = 3 = 5.1- 2. Như thế (1) đúng khi n = 1. Giả sử (1) đúng khi n = k, k , ta sẽ cm nó cũng đúng khi n = k +1. Thật vậy, từ công thức xđịnh dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có uk+1 = uk + 5 = 5k-2+5= = 5(k+1) -2. Vậy (1) đúng . Hoạt động 5 Bài 16/sgk 109 - Nêu cách cm dãy số tăng? -Yêu cầu HS cm. -Nhận xét,chỉnh sửa -Tương tự bài 15, yêu cầu HS tự cm câu b a) Từ gt ta có un+1 -un = (n+1).2n > 0, . Do đó (un) là 1 dãy số tăng. Hoạt động 3 Bài 17/sgk 109 - Giới thiệu cho HS khái niệm dãy số không đổi. - Nêu câu hỏi gợi ý: Muốn cm (un) là dãy số không đổi ta cm điều gì? -Cho HS thảo luận theo nhóm -Nhận xét lời giải - Củng cố kiến thức Ta sẽ cm un = 1, , bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1, ta có u1 = 1. Với n = k, ta có u1 = u2 = . . .= uk = 1 và Ta sẽ cm n = k +1 thì thì un = 1, . Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có uk+2 = Vậy (un) là dãy không đổi 3/ Củng cố toàn bài - Kiền thức về tìm số hạng của dãy. - Vận dụng phương pháp quy nạp vào chứng minh. Bài tập củng cố: Bài 18/sgk Dặn dò: làm các bài tập tương tự trong sách bài tập. Xem trước bài Cấp số cộng CẤP SỐ CỘNG Tiết 52, 53 A. MỤC TIÊU: + Về kiến thức : Giúp học sinh : - Nắm vững khái niệm cấp số cộng ; - Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng ; - Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. + Về kĩ năng : Giúp học sinh : - Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng; - Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng - Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến cấp số cộng ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống . + Về tư duy và thái độ : Biết khái quát hoá , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi . B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY & TRÒ: - Giáo viên : SGK , Giáo án . Cần chuẩn bị trước ở nhà bảng tóm tắt nội dung của bài toán ở ví dụ 2 và các câu hỏi . - Học sinh : Học thuộc bài cũ .Xem trước bài CSC , SGK , dụng cụ học tập . C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phát hiện và giải quyết vấn đề . D. TIẾN HÀNH BÀI DẠY: 1. Ổn định lớp 2. Kiểm tra bài cũ: + Định nghĩa dãy số ? + Hãy liệt kê dãy số các số tự nhiên lẻ và công thức tổng quát của số tự nhiên lẻ thứ n ? Em có nhận xét gì về quan hệ giữa số lẻ đứng sau và số lẻ đứng ngay trước? 3. Bài mới Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Thầy nhắc lại quan hệ của số tự nhiên lẻ đứng sau và số đứng ngay trước. Xong kết luận dãy STN lẻ dược gọi là một CSC có công sai d=2. H1: Vậy, tổng quát CSC là một dãy số như thế nào? + Một h/s phát biểu hình thành định nghĩa CSC. 1.Định nghĩa : SGK Ví dụ 1: SGK Tr 110 H2: Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số cộng ? Vì sao? a) -5 ; -2 ; 1 ; 4 ; 7 ; 10. b) 3,5 ; 5 ; 6,5 ; 9 ; 10,5 ; 12 . 2.Tính chất : Từ VD1 cho học sinh nhận xét kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đ/v CSN hữu hạn) có quan hệ thế nào với hai số hạng kề nó trong dãy ? Hãy phát biểu tính chất nêu trên ? Định lý 1: SGK Tr 110 . Chứng minh : SGK H3: Cho CSC (u n) mà u1= -5 và u 3 = 3. Hãy tìm u2 và u4 ? 3. Số hạng tổng quát: * Từ công thức tổng quát số tự nhiên lẻ thứ n là u n = 2n – 1 hãy biểu diễn theo số hạng đầu u 1 = 1 và công sai d=2 ? * H4: Tổng quát CSC (u n) có số hạng đầu u1 và công sai d, thì có số hạng tổng quát u n = ? Định lý 2 : SGK TR 111 . H5 : Cho CSC (u n ) có u1 = 25 và d = - 5. Hãy tính u 21 ? Ví dụ 2: SGK trang 111. 4.Tổng n số hạng đầu tiên của một CSC * Cho CSC (u n) có số hạng đầu u1 và công sai d . Xét n số hạng đầu tiên của CSC đó . Thầy vẻ lên bảng như SGK. Định lý 3: SGK trang 112. Ví dụ 3: SGK trang 113. CHÚ Ý: Từ định lý 2 và định lí 3 , dễ dàng suy ra: S n = n.[2u1 + (n – 1)d]: 2 H6: Cho CSC (u n) có số hạng đầu u1= -2 và công sai d = 2. Hãy tính S17 ? H7: ( H5 SGK ) a) Dãy số là cấp số cộng ; vì kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 3 . b) không là cấp số cộng + Hs nhận ra t/c số hạng đứng giữa là trung bình cộng của 2 số hạng liền kề. u 2 = (-5 + 3) /2 = -1 u 4 = u 3 + d = 3 + 4 = 7 u n = u 1 + (n -1).d u n = 1+ (n -1).2 u21 = 25 + 20.(-5) = -75 * Cho hs quan sát bảng như trong SGK để thấy tổng 2 số trong cùng một cột luôn bằng nhau và bằng (u1 + u n ). S17 =17.(-2 + 16.1) = 238 + Nếu làm trong3 năm trở lại thì theo ph / án 1 ; nếu làm hơn 3 năm thì nên theo ph / án 2 HĐ của GV Ghi Bảng + Gọi học sinh nêu PP và giải bài 19. + Gọi học sinh nêu PP và giải bài 20. + Gọi HS trả lời TN. + Gọi HS làm tại chỗ và đọc kết quả. + Bài 23: HDHS đưa u20 và u51 về u1 và d rồi tính u1 và d sau đó viết công thức un. + Biểu diễn um, uk qua u1 và d. + DH hs c/m bằng quy nạp. + Có thể tính u1 và d (AD bài 24) rồi tính S13. Bài19: un+1-un= 19, n 1 (un) là CSC. un+1-un= a, n 1 (un) là CSC. Bài 20: Ta có: , n 1 (un) là CSC Chú ý: Để CM (un) là CSC ta cần CM un+1-un không đổi, n 1 . Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm. Bài 22: 28=u1+u3=2u2 u2=14 40=u3+u5=2u4 u4=20 u3=(u2+u4)/2=17 u1=28-u3=11 và u5=40-u3=23. Bài 23: ĐS: un=-3n+8 Bài 24: um=u1+(m-1)d và uk=u1+(k-1)d um-uk=(m-k)d um=uk+(m-k)d. Áp dụng: ĐS: d=5. Bài 25: ĐS: un=5-3n. Bài 26:CM bằng quy nạp: HD: Bài 27: HS tự làm. HD: Bài 28:là ví dụ 3 trong phần bài học. Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24. Bài về nhà: Hết tiết 45: Bài tập SGK trang114, 115. Hết tiết 46: Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) un=3n-7 b) un=(3n+2)/5. Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (un) biết: (ĐS: u1=3, -17; d=2). Bài 3: Bốn số lập thành CSC. Tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương thì bằng 166. Tìm 4 số đó. (ĐS: 1, 4, 7, 10). §4: CẤP SỐ NHÂN PPCT: Tiết 54- 56. . Mục tiêu bài học: Về kiến thức: Giúp học sinh - Nắm vững khái niệm và tính chất về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. - Nắng vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. Về kỹ năng: - Biết vận dụng định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân. - Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. - Biết vận dụng các kiến thức cấp số nhân vào giải các bài toán liên quan đến cấp số nhân ở các môn học khác, cũng như trong thực tế. Tư duy – thái độ: - Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài. - Cẩn thận, chính xác và linh hoạt. II. Chuẩn bị của thầy và trò: Chuẩn bị của G\v: - Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu - Bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu và bài toán đố vui. Chuẩn bị của học sinh: - Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp. III. Phương pháp: Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề. IV. Tiến trình bài dạy: Ổn định tổ chức: Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh của lớp. Kiểm tra bài cũ: H: G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng? Bài mới: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Hoạt động 1: Định nghĩa: HĐ1: Hình thành đ\n của cấp số nhân từ một bài toán thực tế. a. Bài toán mở đầu: + G\v treo bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu. H: Biểu diễn u2 theo u1, u3 theo u2,...,un theo un-1? Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết bài toán ta có: un= un-1+un-1.0,004= un-1.1,004 Như vậy, ta có dãy số (un) mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với 1,004 + G\v gọi h\s phát biểu đ\n cấp số nhân. H: Vì sao dãy số (un) với un = là một CSN? H: Vì sao dãy số -2, 6,-18, 54, -162 là một CSN? tìm công bội của nó? + G\v cho h\s thực hiện hđ 1 SGK theo nhóm đã phân công. 1. Định nghĩa: . b. Định nghĩa: SGK (un) là CSN Số q được gọi là công bội của CSN. Vd 1: a. Dãy số (un) với un = là một CSN với số hạng đầu u1=2 và công bội q=2 b. Dãy số -2, 6,-18, 54, -162 là một CSN với số hạng đầu u1 = -2 và công bội q= -3 Vd 2: SGK Hoạt động 2: Tính chất: HĐ2: G\v hướng dẫn h\s lĩnh hội tính chất CSN. H: Cho CSN (un) có u1=-2 và q = . a. Viết 5 số hạng đầu tiên của nó? b. so sánh với u1.u3 và với u2.u4? Nêu nhận xét tổng quát + G\v cho h\s thực hiện hđ 2 SGK 2. Tính chất: Đlí 1: SGK Vd 3: Cho CSN (un) với công bội q>0. Biết u1 = 1 và u3 = 3, hãy tìm u4. Giải: Ta có: (1) (2) Từ (1), do u2 > 0 (vì u1 > 0 và q > 0), suy ra . Từ (2) suy ra: Hoạt động 3: Số hạng tổng quát HĐ3: Hình thành công thức số hạng tổng quát của CSN. H: Tìm số hạng đầu và công bội của CSN (un)? + G\v cho h\s thực hiện hđ 3 theo nhóm đã phân công H: Em có nhận xét gì về sự giống nhau của bài toán này với bài toán mở đầu? 3. Số hạng tổng quát: Đlí 2: SGK với q Vd4: Trở lại bài toán mở đầu. Hoạt động 4: Tổng n số hạng đầu tiên của CSN HĐ4: Hình thành công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN. H: Nêu phương pháp tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân? + G\v cho h\s thảo luận theo bài toán đó vui nhóm đã phân công. 4. Tổng n số hạng đầu tiên của CSN Giả sử có cấp số nhân (un) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó: Sn = u1 + u2 + ... + un Nếu q=1 thì un = u1 với mọi n. Khi đó: Sn = nu1. Nếu q, ta có kết quả: Đlí 3: SGK với q Vd 5: SGK(G\v treo bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán đố vui) Hoạt động 5: luyện tập HĐ của GV + Gọi HS làm tại chỗ bài 38 a)Sai. Vì b) Đúng. Dễ dàng c/m được c) Sai. Vì . + Từ giả thiết hãy rút ra quan hệ giữa các biểu thức rồi tìm x,y x+6y; 5x+2y; 8x+y là CSC x-1; y+2; x-3y là CSN. *2(5x+2y) =( x+6y)+(8x+y) x = 3y (1) * (y+2)2=(x-1)(x-3y) (2) Giải bằng pp thế ta có: x = -6 và y = -2 Tìm x,y. ĐS: x=-6; y=-2. Hoạt động : Bài 40 và 41 + Gọi HS nói cách làm sau đó GV hướng dẫn để các em làm ở nhà. Bài 40: +(un) là CSC với d 0. + u1.u2; u2.u3; u3.u1 lập thành CSN với q 0. Tìm q. HD: Nhận thấy u1.u2 0 vì nếu ngược lại thì hai trong ba số u1, u2, u3 bằng 0 (sẽ mâu thuẫn với gt CSC có d 0). Ta thấy q 1. Kết hợp (un) là CSC nên: 2u2=u2q+u2q2 (u2 0) q2+q-2=0 q=-2 (loại q 1). + Gọi hs lập luận để suy ra q 0,1 và u2 0 Bài 41: * u1, u2, u3 lập thành CSC với d 0; * u2, u1, u3 lập thành CSN. Tìm q. HD: Lập luận để có q 0,1 và u2 0. Ta có q2+q-2=0 q=-2 (loại q 1). Hoạt động 4: Bài 42 + Lập các mối liên hệ giữa u1, u2, u3 Từ (1), (2) TH1: q=1 u1= u2= u3 =148/27 và d=0. TH2: q1: q=u2/u1=4/3 ( kết hợp (3)) u1=4; u2=16/3; u3= 64/9 và d=4/9. Gọi u1, u2, u3 là 3 số hạng của CSN theo thứ tự đó, q là công bội. Gọi d là công sai của CSC nói trong đề. Dễ dàng thấy u1 0. (tiếp tục phần giải của hs) Hoạt động 4: Bài 43 + Gọi HS làm câu a. + HS lên bảng làm. Giải: un=1 và un+1=5un+8; vn=un+2. a) vn+1=un+1+2=5un+8+2=5(un+2)=5vn Vậy (vn) là CSN với v1=u1+2=1+2=3; q=5 Số hạng tổng quát: vn=v1qn-1=3.5n-1. b) un=vn-2=3.5n-1-2. Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24. Bài về nhà: Ôn lại tất cả kiến thức của chương III, lập bảng tóm tắt đối với mỗi bài trong chương. Bài tập thêm: Cho dãy số (un) với u1=m và un+1=aun+b (m, a, b là hằng số, a 0,1). a) Tìm số c sao cho dãy số (vn) với vn=un+c là CSN với q=a. b) Tìm số hạng tổng quát của dãy (un). c) Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) với : u1=1 và un+1=9un+8. HD: a)vn+1=a.vn=a(un+c). Mặt khác vn+1=un+1+c =(aun+b)+c. a(un+c)=(aun+b)+c ac=b+c b) c) m=1, a=9, b=8 un=2.9n-1-1. (Hãy kiểm tra lại kết quả Bài 43) ÔN TẬP CHƯƠNG III Tiết: 57, 58 A. MỤC TIÊU: Về kiến thức: Nắm được các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và mạch kiến thức của cả chương. Hiểu và vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý và công thức trong chương. Về kỹ năng: Biết cách chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp. Biết các cách cho một dãy số; xác định tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số. Biết cách xác định các yếu tố còn lại của cấp số cộng (cấp số nhân) khi biết một số yếu tố xác định cấp số đó, như: u1, d (q), un, n, Sn. Về tư duy và thái độ: Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự. Biết quy lạ thành quen. Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: GV: Bài tập và câu hỏi trắc nghiệm, các slide, computer và projecter. HS: Ôn tập và làm bài tập trước ở nhà (ôn tập lại các kiến thức của chương và làm các bài tập phần ôn tập chương). C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Sử dụng PP gợi mở vấn đề, vấn đáp, đan xem hoạt động nhóm. D. TIẾT TRÌNH BÀI HỌC: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Hoạt động 1: ôn tạp phương pháp quy nạp - Cho HS nhắc lại PPQNTH Yêu cầu học sinh làm bài tập 44, 45 Bài 44: CMR 1.22+2.32++(n-1).n2 = , (1) -Tổ chức cho các nhóm trao đổi hai bài tập 44 và 45 bằng các câu hỏi: +Mệnh đề A(n) và số p trong từng bài tập là gì? +Giả thiết quy nạp ở mỗi bài là gì? Bài 45: Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=2, un=, CMR: un=, (2) Học sinh cm bằng quy nạp Giải: Bước 1: Với n=2, ta có: VT(1)=1.22=4; VP(1)=4 suy ra (1) đúng Bước 2: Giả sử (1)đúng với n = k (k2), tức là ta có: 1.22+2.32++(k-1).k2 = Ta cần CM (1) cũng đúng n = k+1, tức là: 1.22+2.32++(k-1).k2 +k.(k+1)2 = (1’) Thật vậy: VT(1’) = VP(1’)= Hoạt động 2: ôn tập về dãy số H1: Hãy nêu ba cách cho dãy số? H2: Nêu tính tăng giảm của dãy số . H3: : Nêu tính bị chặn của dãy số Yêu cầu học sinh làm bài tập 46 Hoạt động 3: ôn tập về cấp số H1: Nêu định nghĩa, tính chất , công thức tinh số hạng tổng quát, tính tổng n số hạng của cấp số cộng. H2: Nêu định nghĩa, tính chất , công thức tinh số hạng tổng quát, tính tổng n số hạng của cấp số nhân. Cho học sinh làm các bài tập 47, 48, 49,50 BT 50: Tính u2, u3,.. ta cm un = 3 CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 1. ĐN: Dãy số (un) là CSC nếu: un+1=un+d; d: Công sai 2. Số hạng tổng quát: un=u1+(n-1)d; n2 3. Tính chất CSC: 4. Tổng của n số hạng đầu tiên: Sn=u1+u2+.+un 1. ĐN: Dãy số (un) là CSN nếu: un+1=un.q; q: Công bội 2. Số hạng tổng quát: un=u1.qn-1; n2 3. Tính chất CSN: 4. Tổng của n số hạng đầu tiên: Sn=u1+u2+.+un Bài tập 50: ta có u1 = 3, u2 = 3 , u3 = 3 Giả sử Uk = 3 Ta có uk+1 = vậy công thức đúng với n = k+1 Do đó un = 3 ," n. Vậy un là cấp số cộng có công sai d = 0 và là cấp số nhân có công bội q = 1 HOẠT ĐỘNG 4: Củng cố kiến thức và bài tập về nhà: Củng cố kiến thức: Qua bài học các em cần nắm được Về kiến thức: Hiểu được mạch kiến thức trong chương Về kỹ năng: Biết CM mệnh đề lien quan đến sô tự nhiên băng PPQN. Biết cách cho DS; biết xác định tính tăng, giảm, bị chặn của DS. Biết cách tìm các yếu tố còn lại khi cho biết một số yếu tố xác định của một CSC, CSN. Về thái độ và tư duy: Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tượng tự hoá và biết quy là về quen. Tích cực hoạt động trong học tập. 2. Bài tập về nhà: Làm các bài tập tù 52 đến 57 trong SGK. KIỂM TRA 45 phút Tiết 59 Chương 4: GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 MỤC TIÊU. Kiến thức: Giúp học sinh: Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn 0; Ghi nhớ một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp Kỹ năng: Giúp học sinh biết vận dụng các kết quả đã học để CM một dãy số có giới hạn 0. Tư duy, thái độ: Tự giác, tích cực trong học tập, có tinh thần hợp tác. Rèn luyện tư duy logic, Biết vận dụng định lý để chứng minh các giới hạn 0. CHUẨN BỊ CỦA GV& HS. Chuẩn bị của GV: Soạn giáo án. Chuẩn bị bảng phụ: n 1 2 3 410 11 20 un Bảng 1 n 1 2 3 410 11 23 24 25 ... 50 51 52 |un| 1 Bảng 2 Chuẩn bị của HS: Ôn lại khái niệm dãy số PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC. Gợi mở nêu vấn đề TIẾN TRÌNH BÀI DẠY. HOẠT ĐỘNG 1: ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh HD1.1. Xét dãy số (un) với un= Treo bảng phụ: (Bảng 1) n 1 2 3 410 11 20 un Yêu cầu: Điền các giá trị của un vào bảng ? Biểu diễn các số un vừa tìm lên trục số (có sự hỗ trợ của thầy) Nhận xét gì về các điểm biểu diễn un? Thầy giáo bổ sung: Khi n càng lớn, |un| càng gần 0. Vì vậy có thể nói: ”Khoảng cách |un| từ điểm un đến điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ lớn.” HS điền các giá trị vào bảng phụ. Học sinh biểu diễn: Các điểm biểu diễn ngày càng gần với điểm 0 ở hai phía. 1 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh HD1.2. Treo bảng phụ: (Bảng 2) Dựa vào bảng này em có nhận xét gì về giá trị tuyệt đối của nó kể từ số hạng thứ 11 trở đi? Thầy giáo bổ sung: Tức là: |un| =≤ với mọi n >10 H1: Kể từ số hạng thứ mấy trở đi, mọi số hạng của dãy số đã cho có có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn ; ; ? Như vậy mọi số hạng của dãy đã cho kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước. Ta nói rằng dãy số có giới hạn 0. Tổng quát ta có định nghĩa sau: Kể từ số hạng thứ 11 trở đi mọi số hạng của dãy đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn . Học sinh trả lời đúng theo yêu cầu. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ĐN: (sách giáo khoa) Ta viết: lim un=0 hoặc un=0 hoặc Nhận xét: a) lim un=0 Û lim |un|=0 b) Dãy số không đổi (un) với un = 0 có giới hạn 0. Từ giới hạn của dãy số: có giới hạn 0, có nhận xét gì về giới hạn của dãy số ? Một cách tổng quát, dãy số (un) có giới hạn 0 thì dãy số (|un|) cũng có giới hạn 0. điều ngược lại vẫn đúng nên ta có nhận xét a) Nếu (un) là dãy số không đổi với un = 0 thì dễ dàng chứng minh được nó có giới hạn 0 – Ghi nhận định nghĩa Dãy số cũng có giới hạn 0 HOẠT ĐỘNG 2: MỘT SỐ DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 2. Một số dãy số có giới hạn 0 a) lim=0; b) lim=0. HS ghi nhớ ĐL1: Cho hai dãy số (un), (vn). Nếu |un|≤vn, "n và lim vn = 0 thì limun= 0. Chứng minh: Cho trước số dương nhỏ tùy ý. Do lim vn=0 Þ kể từ số hạng thứ N nào đó mọi số hạng của dãy số (vn) đều nhỏ hơn số dương đó. Þ kể từ sô hạng thứ N trở đi, mọi số hạng của dãy số (un) đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đã cho trước. Vậy limun=0 Vì |un|≤vn nên vn ≥ 0 Điều này chứng tỏ điều gì? HS ghi nhận limun=0 Ví dụ: CMR lim=0 Áp dụng giải ví dụ. H2: CMR: