Giáo án Hình học 11 - Chương V: Diện tích và thể tích

Chương V: diện tích và thể tích Đ1: hình đa diện và khối đa diện Tiết theo PPCT : 115, 116 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: Từ khái niệm miền đa giác, HS biết mở rộng thành khái niệm hình đa diện, khối đa diện; phân chia một khối đa diện thành nhiều khối đa diện thỏa mãn điều kiện nào đó. II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Giảng bài mới: 1. Miền đa giác. GV nêu các câu hỏi và gọi HS trả lời: ã Hãy nhắc lại khái niệm hình đa giác, miền đa giác, đa giác lồi? ã Thế nào là miền trong của đa giác? ã Thế nào là đa giác đơn? Cho ví dụ một đa giác không là đa giác đơn? GV chính xác hoá. * Đa giác là hình hợp bởi các đoạn gấp khúc khép kín. * Miền đa giác là hình hợp bởi đa giác và miền trong của nó. * Đa giác lồi là đa giác mà đường nối hai điểm bất kỳ thuộc miền trong không cắt cạnh của đa giác. 2. Hình đa diện: GV nêu các câu hỏi và gọi HS trả lời: ã Hãy nhắc lại khái niệm hình chóp, hình lăng trụ? GV vẽ hình và khẳng định đó là hai dạng của hình đa diện. ã Hãy so sánh để tìm ra đặc điểm chung giữa chúng? Từ đó khái quát thành khái niệm hình đa diện? HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. HS quan sát hình vẽ để suy nghĩ và trả lời. Hoạt động của GV Hoạt động của HS B' C C' A' B A A B C D S GV chính xác hóa. Định nghĩa: Hình đa diện là hình gồm một số hữu hạn các miền đa giác thoả mãn hai tính chất sau: a) Hai miền đa giác bất kỳ hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung. b) Mỗi cạnh của miền đa giác đều là cạnh chung của đúng hai miền đa giác. 3. Khối đa diện: GV yêu cầu HS đọc SGK. GV tóm tắt và giải thích những ý mà HS không hiểu rõ. (Thông qua hình vẽ minh họa để HS thấy rõ khái niệm miền trong, miền ngoài của hình đa diện và khái niệm khối đa diện). Chỉ xét những hình đa diện thoả mãn: chia không gian thành hai miền sao cho: a) Bất kỳ hai điểm nào nằm trong cùng một miền đều có thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc nằm hoàn toàn trong miền đó. b) Bất kỳ đường gấp khúc nào nối hai điểm thuộc hai miền khác nhau đều có điểm chung với hình đa diện. + Một trong hai miền đó chứa toàn bộ một đường thẳng gọi là miền ngoài. + Miền còn lại không chứa chọn vẹn một đường thẳng nào gọi là miền trong của hình đa diện. + Hình đa diện cùng với miển trong của nó gọi là góc đa diện. 4. Phân chia một khối đa diện thành nhiều khối đa diện: GV nêu ví dụ 1 và hướng dẫn HS cách giải. Ví dụ 1: Cho khối đa diện S.ABCD. Hãy chia S.ABCD thành: a) Hai khối tứ diện. b) Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác. GV nêu ví dụ 2 và hướng dẫn HS cách giải. Ví dụ 2: Hãy phân chia khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' thành 3 khối tứ diện? Có cách phân chia khác không? HS theo dõi và ghi chép. HS tự đọc SGK. HS theo dõi và ghi chép. HS vẽ hình và suy nghĩ cách giải ví dụ 2. HS vẽ hình và nêu cách giải ví dụ 1. HS vẽ hình và nêu cách giải ví dụ 2. C - Chữa bài tập: Đề bài Hình vẽ - Hướng dẫn Bài 1(124). Hãy chia một khối hộp thành năm khối tứ diện. Bài 2(124). Chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bằng hai mặt phẳng. Bài 3(124). Cho ba đường thẳng song song không đồng phẳng a, b, c. Trên a, b, c lần lượt lấy các đoạn thẳng AA', BB', CC' thoả mãn: AA' < BB' < CC". Hãy chia hình đa diện ABCA'B'C' thành một hình chóp và một hình lăng trụ. Đ2: thể tích các khối đa diện Tiết theo PPCT : 117 đ 119 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS hiểu khái niệm về thể tích từ đó nắm được định nghĩa thể tích của khối đa diện, các công thức tính thể tích các khối đa diện (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối chóp tam giác, khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt); biết cách vận dụng các công thức đó vào bài toán thể tích. II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Kiểm tra bài cũ. GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ: Với yêu cầu không thêm điểm mới có thể phân chia: + Khối lăng trụ tam giác thành bao nhiêu khối tứ diện? + Khối lăng trụ n - giác thành bao nhiêu khối lăng trụ tam giác cùng chiều cao? + Khối chóp n - giác thành bao nhiêu khối chóp tam giác có chung đỉnh? C - Giảng bài mới: 1. Khái niệm về thể tích. GV nêu và giải thích định nghĩa thể tích của khối đa diện. Định nghĩa: Thể tích của mỗi khối đa diện là một số dương có các tính chất sau: a) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1. (khối lập phương đơn vị) b) Thể tích của hai khối đa diện bằng nhau thì bằng nhau. c) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện thành phần. HS suy nghĩ và trả lời. HS tự đọc SGK (trang 124). HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS V = B.h V = B.h V = a.b.c V = B.h GV: Đây là các tính chất quan trọng để từ đó xây dựng công thức tính thể tích cho mọi khối đa diện. Trước hết thừa nhận: Định lý 1: Thể tích của khối chóp tam giác có diện tích đáy B và chiều cao h tính bởi công thức. trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp. GV nêu ví dụ. Ví dụ: Tính thể tích khối hộp chữ nhật bên biết thể tích mỗi hình lập phương thành phần bằng 1. ã Cách tính trên có thể khái quát thành công thức chung cho các khối hộp chữ nhật được không? Định lý 2: Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước. ã Từ đó suy ra thể tích khối lập phương cạnh a? Hệ quả: Thể tích của khối lập phương cạnh a là a3. 2. Thể tích của khối lăng trụ: GV nêu định lý. Định lý: Thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao: GV hướng dẫn HS chứng minh định lý. ã Hãy chứng minh định lý trong trường hợp lăng trụ D? ã Chứng minh trong trường hợp lăng trụ n - giác? 3. Thể tích của khối chóp. GV nêu định lý. Định lý: Thể tích của một khối chóp bất kỳ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trình bày cách giải. ĐS: S = 3.4.5 = 60 (đvtt) HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và chứng minh định lý. HS theo dõi và ghi chép. HS tự chứng minh định lý. Hoạt động của GV Hoạt động của HS V = h (B1 + B2 + ) 4. Thể tích của khối chóp cụt: GV nêu định lý. Định lý: Thể tích của khối chóp cụt có chiều cao h và có diện tích hai đáy là B1 và B2 tính bởi công thức: C - Chữa bài tập: Đề bài Hình vẽ - Hướng dẫn - Đáp số A C' C A B B' A' C' B C A' B' Bài 1 (131). Nếu 3 kích thước của khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích của nó tăng lên ? Bài 2 (131). Hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là D vuông tại A, AC = b, = 600. Đường chéo BC tạo với (ACC'A') góc 300. a) Tính AC'. b) Tính Vlăng trụ . Bài 3 (131). Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có DABC đều cạnh a và A' cách đều A, B, C. Cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy góc 600. a) Tính thể tích lăng trụ. b) Chứng minh: BCC'B' là hình chữ nhật. c) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ. Bài 4 (131). Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a. Bài 5 (131). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. a) Biết AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích. b) Trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng . Tính thể tích. k3 lần. a) AC' = 3b b) V = . a) c) . a) b) Đề bài Đáp số Bài 6 (131). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. a) Biết AB = a, SA = l. Tính thể tích. b) Biết SA = l, góc giữa mặt bên và đáy bằng . Tính thể tích. Bài 7 (132). Cho hình chóp cụt D đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ a, góc của đường cao với mặt bên bằng 300. Tính: a) Diện tích toàn phần. b) Thể tích. Bài 8 (132). Cho khối chóp cụt tứ giác đều có các cạnh đáy là a và b (a > b). Tính thể tích biết diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy. a) b) a) b) Đ3: diện tích các hình tròn xoay thể tích các khối tròn xoay Tiết theo PPCT : 120 đ 122 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS biết các khái niệm: lăng trụ đứng nội tiếp hình trụ, hình chóp nội tiếp hình nón. Từ đó ghi nhớ và biết cách áp dụng các công thức: diện tích xung quanh của hình trụ, thể tích khối trụ; diện tích xung quanh của hình nón, thể tích khối nón; diện tích xung quanh của hình nón cụt, thể tích khối nón cụt; diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu. II - Tiến hành: Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Kiểm tra bài cũ: GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ. 1. Nêu các công thức tính thể tích: khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt. 2. Nêu các công thức tính: chu vi và diện tích hình tròn. C - Giảng bài mới: 1. Lăng trụ đứng nội tiếp hình trụ: GV nêu định nghĩa, vẽ hình. Định nghĩa: Một hình lăng trụ đứng gọi là nội tiếp trong một hình lăng trụ khi hai đa giác đáy nội tiếp trong hai đáy của hình trụ. Khi đó, khối lăng trụ tương ứng gọi là nội tiếp trong khối trụ tương ứng. 2. Diện tích xung quanh của hình trụ: GV nêu định nghĩa. Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình trụ là giới hạn của diện tích xung quanh của lăng trụ n - giác đều nội tiếp trong hình trụ đó khi n tăng lên vô hạn. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV đặt câu hỏi: ã Diện tích xung quanh của hình lăng trụ n - giác đều cạnh đáy d, chiều cao h là ? ã Khi n thì Cđáy ? Từ đó có kết quả gì? GV chính xác hoá. Hình trụ có bán kính đáy R, đường sinh l có diện tích xung quanh tính bởi: GV nêu chú ý. Chú ý : Hình chữ nhật có một cạnh bằng chu vi đáy (2pR), cạnh còn lại bằng đường sinh l của hình trụ gọi là hình khai triển của mặt xung quanh của hình trụ. 3. Thể tích khối trụ: GV nêu định nghĩa. Định nghĩa: Thể tích của khối trụ là giới hạn thể tích của khối lăng trụ n - giác đều nội tiếp trong khối trụ đó khi n tăng lên vô hạn. Vậy thể tích khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao h là: 4. Hình chóp nội tiếp hình nón: GV yêu cầu HS nêu định nghĩa. GV chính xác hoá. Định nghĩa: Một hình chóp gọi là nội tiếp trong một hình nón khi hình chóp có đỉnh trùng với dỉnh của hình nón và có đa giác đáy nội tiếp trong đáy của hình nón. Khi đó khối chóp tương ứng gọi là nội tiếp trong khối nón tương ứng. 5. Diện tích xung quanh của hình nón: GV nêu định nghĩa. Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp n - giác đều nội tiếp trong hình nón đó khi n tăng lên vô hạn. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Vậy hình nón có bán kính đáy R, đường sinh l thì có diện tích xung quanh được tính bởi: GV nêu chú ý. Chú ý: Hình quạt tròn có bán kính bằng đường sinh (l) có đáy là cung tròn có độ dài bằng chu ví đáy của hình nón (2pR) gọi là hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón. 6. Thể tích khối nón: Định nghĩa: Thể tích khối nón là giới hạn của thể tích của khối chóp n - giác đều nội tiếp khối nón khi n đ Ơ. Vậy khối nón có bán kính R, đường cao h thì có thể tích được tính bởi: 7. Hình nón cụt: GV nêu công thức. Cho hình nón cụt có bán kính 2 đáy là R1, R2, đường sinh l, đường cao h thì: 8. Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu: GV nêu công thức. Hình cầu có bán kính R thì có: 9. Các ví dụ: sgk (137 - 138). HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS tự đọc SGK. HS tự đọc SGK. D - Chữa bài tập: Đề bài Hướng dẫn - Đáp số Bài 1 (138). Hình trụ có bán kính đáy R, thiết diện qua trục là hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Tính V1 (thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ). Bài 2 (139). Hình trụ có bán kính đáy R, đường cao R, A và B ẻ đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và D bằng 300 với D là trục của hình trụ. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Tính khoảng cách d (AB, D). Bài 3 (139). Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón. c) Thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy góc 600. Tính diện tích thiết diện này. Bài 4 (139). Hình nón cụt có chiều cao 2a và hai bán kính đáy lần lượt là a và 4a. a) Tính độ dài đường sinh l. b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. c) Tính thể tích của khối nón cụt. ôn tập chương V Tiết theo PPCT : 123 đ 125 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS ôn lại kỹ năng vận dụng các công thức tính thể tích của: khối lăng trụ, khối hộp chữ nhật, khối chóp, khối chóp cụt, khối trụ, khối nón, khối cầu; cùng công thức tính diện tích xung quanh của các hình tương ứng vào các bài tập cụ thể. II - Tiến hành: A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Ôn tập: HS tự lập bảng về các công thức cần nhớ trong chương V và giải các bài tập trong SGK. GV gọi HS lên bảng giải bài tập, nhận xét và chính xác hóa lời giải. Đề bài Hình vẽ - Đáp số M D' D C' C B' B A' A L N K O' O D' D C' C B' B A' A S K Bài 1 (140). Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a, = 600, OO' = 2a. a) Tính diện tích các mặt chéo. b) Tính diện tích toàn phần. c) Gọi S là trung điểm OO'. Tính diện tích xung quanh S1 của hình chóp S.ABCD. d) Tính khoảng cách d (O, (SAB)). Bài 2 (140). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi K, L lần lượt là trung điểm B'C' và C'D'. a) Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (AKL). b) Gọi K', L' lần lượt là hình chiếu của K, L trên mặt phẳng (ABCD). Tính diện tích ngũ giác AMKLN. Đề bài Hình vẽ - Đáp số Bài 3 (141). Cho hình chóp tứ giác đều có chiều cao h, cạnh đáy a. Tính thể tích hình lập phương có một mặt nằm trên đáy của hình chóp và 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh bên của hình chóp. Bài 4(141). Cho hình chóp tam giác S.ABC. Lấy A' ẻ SA, B' ẻ SB, C' ẻ SC. Chứng minh rằng: Bài 5(141). Cho tứ diện ABCD, gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, a là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng: Bài 6(141). Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC. Một mặt phẳng (a) đi qua AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. ôn tập cuối năm Tiết theo PPCT : 126 đ 128 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS tự hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học trong chương trình hình học 11, vận dụng tổng hợp các kiến thức đó để giải bài tập. II - Tiến hành: A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. B - Chữa bài tập: C B Đề bài Hướng dẫn - Đáp số M D' D C' C B' B A' A I K I J A D E F H E' Bài 1: Cho 2 hình chữ nhật ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn: AB = a, AD = AF = a, AC ^ BF. Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và BF (H ẻ AC, K ẻ BF). a) Gọi I = DF với , (a) // BF. Tính tỉ số . b) Tính độ dài đoạn HK. c) Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABKH. Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' =a, M ẻ đoạn AD, K là trung điểm B'M. a) Đặt AM = x (0 x < 2a). Tính với I là tâm hình hộp. Tìm x để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất. b) Khi M là trung điểm AD. * Thiết diện của hình hộp cắt bởi (B'CK) là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó theo a. * Chứng minh rằng đoạn thẳng B'M tiếp xúc mặt cầu đường kính AA'. Đề bài Hướng dẫn - Đáp số Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng với O qua K, I = CE (OMN). a) Chứng minh: CE ^ (OMN). b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a, các cạnh bên bằng nhau và bằng a. a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, SC, SD. CMR: SN ^ (MEF). Gọi K là điểm trên cạnh AD sao cho . Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng MN và SK. Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a. a) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng AD' và B'C. b) Gọi M là điểm ẻ AD sao cho . Tính khoảng cách từ M tới (AB'C). c) Tính thể tích tứ diện AB'D'C. Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh đáy đều bằng a, đường cao SH = h. a) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với (P) qua BC và vuông góc với SA. b) Nếu thì (P) chia thể tích hình chóp theo tỷ số nào? Bài 7: Trong (P) cho nửa đường tròn (C) đường kính AC, B là điểm ẻ (C). Trên nửa đường thẳng ax ^ (P) lấy điểm S sao cho AS = AC. Gọi H, K lần lượt là các chân đường vuông góc hạ từ A xuống SB, SC. a) Chứng minh rằng: DSBC, DAHK vuông. b) Tính HK theo AC và BC. c) Xác định B trên (C) sao cho đạt giá trị lớn nhất. a) Chứng minh cho CE ^ OM và ON. b) a) b) a) = a b) c) b) b) HK = Đề bài Hướng dẫn - Đáp số Bài 8: Cho DABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm M. Gọi H là trực tâm của DABC, K là trực tâm của DBCM. a) CMR: MC ^ (BHK), HK ^ (BMC). b) Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp K.ABC. Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc 600. Mặt phẳng (P) AB cắt SC, SD tại M, N. Biết góc giữa (P) và (ABC) bằng 300. a) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính . b) Tính theo a. Bài 10: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a . (P) đi qua AB và ^ (SCD). (P) lần lượt cắt SC, SD tại C', D'. a) Tính . b) Tính . Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và đáy là (450 < < 900) a) Tính và V của S.ABCD. b) Gọi M là trung điểm BC, MK ^ (SAD). Mặt phẳng (BCK) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a và Bài 12: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Trên AB lấy điểm M, trên CC' lấy điểm N, trên D'A' lấy điểm P sao cho AM = CN = D'P = x (0 x a). a) CMR: DMNP đều. Tính . Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất. b) Khi x = , hãy tính và bán kính mặt cầu ngoại tiếp B'MNP. b) a) b) a) b) a) S = b) V = ; R = 5