Giáo án Hình học 6 - Chương I

Hình học 6 - Chương I ĐIỂM-ĐƯỜNG THẲNG 1. Quan hệ giữa điểm - đường thẳng B . A . “ điểm A thuộc đường thẳng d ” Û điểm A nằm trên đường thẳng d Û đường thẳng d đi qua điểm A. “ điểm B không thuộc đường thẳng d ” Û điểm B không nằm trên đường thẳng d Û đường thẳng d không đi qua điểm B. 2. Ba điểm thẳng hàng C . B . A . . D Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng gọi là ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không cùng nằm trên bất kỳ một đường thẳng nào gọi là ba điểm không thẳng hàng. 3. Đoạn thẳng B . M . . N A . Phần đường thẳng nằm giữa hai điểm A, B gọi là đoạn thẳng AB. Nếu điểm M nằm trên đoạn thẳng AB thì . Ngược lại nếu thì điểm M nằm trên đoạn thẳng AB. Nếu điểm N không nằm trên đoạn thẳng AB thì Ngược lại nếu thì điểm N không nằm trên đọan thẳng AB. 4. Trung điểm của đoạn thẳng B . M . A . Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B. Trung điểm M của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi : . . Hình học 6 - Chương II GÓC Góc nhọn Góc vuông Góc tù Góc bẹt Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Gốc chung gọi là đỉnh của góc, hai tia gọi là cạnh của góc. Góc bằng 900 gọi là góc vuông, góc bằng 1800 gọi là góc bẹt. Góc nhỏ hơn 900 gọi là góc nhọn, góc lớn hơn góc vuông và nhỏ hơn góc bẹt gọi là góc tù. Hình học 7 - Chương I ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC - ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Hai góc đối đỉnh Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này sẽ là tia đối một cạnh của góc kia. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Nhưng hai góc bằng nhau chưa chắc đã đối đỉnh. 2. Hai đường thẳng vuông góc Hai đường thẳng cắt nhau và một trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với đường thẳng đã cho. Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó được là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Tập hợp những điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng. 2. Hai đường thẳng song song Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung. Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng đi qua điểm đó và song song với đường thẳng đã cho. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì : Hai góc so le trong bằng nhau; Hai góc đồng vị bằng nhau; Hai góc trong cùng phía bù nhau. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì đường thẳng ấy vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. Hình học 7 - Chương II TAM GIÁC 1. Định nghĩa : Tam giác ABC là một hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA khi ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Tam giác có một góc bằng 900 gọi là tam giác vuông. Định lý : Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800. Hệ quả : Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau. 2. Góc ngoài của tam giác Định nghĩa : Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác. Định lý : Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. Hệ quả : Tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 3600. Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có . Gọi Bx là tia phân giác của , Cy là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy. Tính . Bài giải Vì Bx là phân giác của nên . Vì Cy là phân giác ngoài của . Ta có : . Xét DACD ta có : Nên . Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC và M là một điểm trong tam giác. Chứng tỏ rằng : a) . b) . Bài giải a) Xét DABC có . Xét DMBC có . Mà và nên . b) Theo (a) và . Nên . Û . Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có , Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc B, C. Chứng minh rằng : . Bài giải a) Do BI là phân giác của nên . Tương tự . Suy ra ,(1). Û,(2). Từ (1) và (2) ta được : . Vậy : . Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC tia phân giác cắt cạnh AC tại D, tia phân giác cắt cạnh AB tại E. Chứng minh rằng : a) Nếu thì . b) Nếu thì . Bài giải a) Xét DBCD có , (1). Vì BD là phân giác của nên , (2). Từ (1) và (2) ta có : , (3). Tương tự ta có : , (4). Nếu thì Û Û . b) Xét DABD có , (5). Nếu thì từ (4) và (5) ta có : Þ . Vì nên ta có Û Û . 3. Tam giác bằng nhau Định nghĩa : Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau và ba góc tương ứng bằng nhau. Û , , và , , . Các trường hợp bằng nhau của tam giác Trường hợp 1 (c.c.c) : Nếu tam giác này có ba cạnh bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Nếu và có , , thì Hệ quả : Nếu tam giác vuông này có cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Ví dụ 1 : Vẽ DABC biết ba cạnh là a, b, c; (). Bài giải Vẽ đoạn ; Vẽ đường tròn tâm B bán kính ; Vẽ đường tròn tâm C bán kính ; Hai đường tròn này cắt nhau tại A. Ta có DABC. Ví dụ 2 : Cho DABC có , một điểm M nằm trong tam giác sao cho . Chứng minh AM là phân giác của góc . Bài giải Xét hai tam giác AMB và AMC có : MA chung; , MB=MC, (gt). Nên DAMB = DAMC, (c.c.c). Suy ra hay AM là phân giác . Ví dụ 3 : Cho DABC có AB = AC, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng : a) . b) . Bài giải Xét hai tam giác AMB và AMC có : MA chung; , MB=MC, (gt) Nên DAMB = DAMC, (c.c.c) suy ra . b) Vì DAMB = DAMC suy ra hay . Trường hợp 2 (c.g.c) : Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Nếu và có , , thì . Hệ quả : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Ví dụ 1 : Cho góc khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy hai điểm B, D khác A, (B nằm giữa A và D), trên tia Ay lấy hai điểm E, C sao cho AE = AB, AC = AD. Chứng minh rằng : a) DBEC = DEBD. b) DBDC = DECD. Bài giải a) Xét hai DABC và DAED có : AE = AB, AC = AD và chung nên Nên DABC = DAED, (c.g.c). Suy ra : và . Vì AE = AB, AC = AD suy ra hay . Xét DEBD và DBEC có : ; ; nên DBEC = DEBD, (c.g.c). b) Ta có : , ( hai góc kề bù ) Þ ,(1). Tương tự ta có : ,(2). Mặt khác , (3). Từ (1), (2) và (3) ta có : . Xét DBDC và DECD có : ; ; nên DBDC = DECD, (c.g.c). Ví dụ 2 : Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng : MN // BC và . Bài giải a) Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho . Xét DANM và DCND có : , , (đối đỉnh), , ( vì N là trung điểm của AC). Suy ra DANM = DCND, (c.g.c). Suy ra , . Vì nên AB // CD. Suy ra : , (so le trong). Xét DBMC và DDCM có : , , MC chung. Suy ra DBMC = DDCM, (c.g.c). Suy ra : , BC = DM. Ta có : suy ra MN // BC và BC = DM. Mà nên . Ví dụ 3 : Cho DABC. Gọi E, D lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB, trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho EN=EC. Chứng minh rằng : a) AM // BC. b) Ba điểm M, A, N thẳng hàng. Bài giải a) Xét hai DADM và DCDB có : AD = CD, ( vì D là trung điểm của AC). , ( đối đỉnh ). DM = DB, (gt) Nên DADM = DCDB, (c.g.c) Þ Þ . b) Xét hai DAEN và DBEC có : EA = EB, ( vì E là trung điểm của AB). , ( đối đỉnh ). EN = EC, (gt) Nên DAEN = DBEC, (c.g.c) Þ Þ. Vì và nên Þ A, M, N thẳng hàng. Trường hợp 3 (g.c.g) : Nếu một cạnh và hai góc kề với nó của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề với nó của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Nếu và có , , thì . Hệ quả : Nếu một cạnh và một góc nhọn kề với nó của tam giác vuông này bằng một cạnh và một góc nhọn kề với nó của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Ví dụ 1 : Cho DABC và tia phân giác góc cắt BC tại D. Từ D vẽ hai đường thẳng song song với AC, AB cắt AB ở E, cắt AC ở F.Chứng minh rằng : . Bài giải a) Vì AB // DF nên AE // FD, tương tự : AF // ED. Suy ra : , , (1). Do AD là phân giác của góc A nên Þ . Vì AB // DF nên , ( so le ). Tương tự : . Xét hai DAED và DAFD có : ; AD chung; nên DAED = DAFD, (g.c.g). Suy ra : , (2). Từ (1) và (2) ta có : . Ví dụ 2 : Cho DABC có góc . Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc A, C. Tia AI cắt cạnh BC ở D, tia CI cắt cạnh AB ở E. Tính số đo các góc của DDEI. Bài giải a) Trong DABC có Þ . Do AI là phân giác Þ . Tương tự ta có : . Suy ra : . Xét DAIC có : . Mà , ( đối đỉnh) nên . Trên AC lấy điểm F sao cho AF = AE. Xét hai DIAE và DIAF có : ; , ( do AI là phân giác ), cạnh AI chung nên DIAE = DIAF, (c.g.c). Suy ra : , ,(1). Suy ra : . Xét hai DDIC và DFIC có :, cạnh IC, , ( do CI là phân giác) Do đó DDIC = DFIC, (c.g.c). Suy ra : ,(2). Từ (1) và (2) suy ra : . Xét DDEI có nên . Ví dụ 3 : Cho DABC vuông ở A và AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Các đường vuông góc với CD vẽ từ A và E lần lượt cắt cạnh BC ở G và H. Chứng minh rằng : . Bài giải a) Gọi F là giao điểm của hai tia HE và BA. Ta có : , (vì cùng vuông góc với CD). Xét hai DAFE và DACD có : , , (gt), , (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc ) do đó : DAFE = DACD, (c.g.c). Suy ra : , mà , (gt) nên . Xét DBFH có và suy ra : . 4. Tam giác cân Định nghĩa : Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Tính chất : Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 5. Tam giác đều Định nghĩa : Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Tính chất : Trong một tam giác đều mỗi góc bằng 600. Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. Nếu một tam giác cân có một góc bằng 600 thì tam giác đó là tam giác đều. Hình học 7 - Chương III QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC 1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Định lý : Trong một tam giác : Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Hệ quả : Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông. 2. Đường vuông góc và đường xiên Định lý : Nếu từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta kẻ đường vuông góc và các đường xiên đến đường thẳng đó : Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên. Trong hai đường xiên, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì nó lớn hơn. Trong hai đường xiên, đường xiên nào lớn hơn thì nó có hình chiếu lớn hơn. Trong hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu của chúng bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên ấy bằng nhau. 3. Bất đẳng thức tam giác Định lý : Trong một tam giác, tổng hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại. Hiệu hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn cạnh còn lại. Hệ qủa : Trong một tam giác, mỗi cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại và nhỏ hơn tổng của chúng. 4. Ba đường trung tuyến của tam giác Định nghĩa : Trong tam giác, đoạn thẳng nối từ đỉnh tới trung điểm của cạnh đối diện gọi là đường trung tuyến. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến. Định lý : Ba đường trung tuyến một tam giác cùng đi qua một điểm, ( điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác ). Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng đường trung tuyến. Hệ qủa : Trong một tam giác cân hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau. Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân. Trong tam giác đều trọng tâm cách đều ba đỉnh. 5. Ba đường phân giác của tam giác Định lý : Tập hợp những điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. Định lý : Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác đó. ( điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác). Trong một tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. Trong một tam giác cân hai đường phân giác ở đáy bằng nhau. Nếu một tam giác có hai đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó cân. 6. Ba đường trung trực của tam giác Tập hợp những điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Định lý : Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác đó. ( điểm đó gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác). 7. Ba đường cao của tam giác Định lý : Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm ( điểm đó gọi là trực tâm của tam giác). Hệ qủa : Trong một tam giác cân đường cao xuất phát từ đỉnh vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung trực. Ghi nhớ : Ba điểm H, G, O cùng nằm trên một đường thẳng ( Gọi là đường thẳng Euler). LUYỆN TẬP Bài 01: Cho góc tuỳ ý, trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho . Gọi I là một điểm tùy ý trên tia phân giác Oz của , K là giao điểm của AB và Oz. Xác định tia phân giác của . Chứng minh rằng K là trung điểm của AB. Chứng tỏ . HƯỚNG DẪN Bài 02: Cho DABC có B là góc tù; vẽ đường cao AH của DABC, trên AH lấy một điểm D sao cho H là trung điểm của AD. Chứng minh BH là tia phân giác của . Chứng tỏ DABC = DDBC. HƯỚNG DẪN Bài 03 : Cho DABC kẻ đường cao AH; dựng lấy D sao cho I là trung điểm của HD. Nối D với AB. Chứng minh rằng AD = AH. . HƯỚNG DẪN Bài 04 : Cho DABC cân, (), kẻ trung tuyến AD. Từ D kẻ Dx // AC cắt AB tại M; Dy // AB cắt AC tại N. Chứng minh : DM = DN. AD là trung trực của đoạn MN. HƯỚNG DẪN Bài 05 : Cho DABC có , AD là đường phân giác trong của DABC tại đỉnh A. Gọi E, F là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AB và AC. Chứng minh rằng DDEF là tam giác đều và DEAD = DFAD. Qua C kẻ đường thẳng Cx // AD cắt AB tại M. Chứng minh rằng DACM là tam giác đều. HƯỚNG DẪN Bài 06 : Cho DABC vuông ở A, tia phân giác của góc cắt cạnh AC ở D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho . Chứng minh rằng : . . . HƯỚNG DẪN Bài 07 : Cho DABC vuông ở A có BM là đường trung tuyến. Trên tia đối của tia MB lấy . Chứng minh rằng : DAMB = DCEM. So sánh CE và BC. So sánh và . HƯỚNG DẪN Bài 08 : Cho DABC cân ở A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Gọi G là giao điểm của BM, CN chứng minh : DAMN cân. BM = CN. DGBC cân. Bài 09 : Cho DABC ba góc nhọn và . Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho . Tia EH cắt AC tại F. Chứng minh các tam giác BHE và CHF là tam giác cân. Chứng minh HF là đường trung tuyến của DACH. Chứng minh : . Bài 10 : Cho DABC cân đỉnh A. AH là đường cao vẽ từ đỉnh A. Đường thẳng qua H song song AB cắt AC tại K. Nối BK cắt AH tại G. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: G là trọng tâm của DABC. C, G, I thẳng hàng. KI là đường trung trực của AH. Bài 11 : Cho DABC vuông ở A. Gọi D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. E và F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh rằng: , . . Xác định vị trí của D để độ dài EF ngắn nhất. Bài 12 : Cho DABC. Hai đường phân giác BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại I và có . Tính góc . Chứng minh rằng DIDE là tam giác cân.