Giáo án Toán học lớp 6 - Số nguyên tố – Hợp số ước và bội

BÀI 13 -> 18 : SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ ƯỚC VÀ BỘI I. Ước và bội 1. Định nghĩa Nếu a chia hết cho b ĩ a là bội của b ĩ b là ước của a Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là BỘI của b , còn b gọi là ƯỚC của a 2. Cách tìm ước và bội - Ta ký hiệu tập hợp các ước của a là Ư(a), tập hợp các bội của a là B(a). Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt cho 0, 1, 2, 3, 4, 5 … VD: Tìm các bội nhỏ hơn 30 của 7 Cách tìm: Lần lượt nhân 7 với 0, 1, 2, 3, 4, 5, … ta được các bội nhỏ hơn 30 của 7 là: 0, 14, 21, 28 ( Bội tiếp theo của 7 là 35 > 30 ) Ta có thể tìm các ước của a ( a > 1 ) bằng cách lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a. VD: Tìm tập hợp Ư(8) Cách tìm : ta lần lượt chia 8 cho 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta thấy 8 chỉ chia hết cho 1, 2, 4, 8. Do đó 1, 2, 4, 8 là ước của 8 Vậy Ư(8) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } 3. Chú ý : - Số 0 là ước của bất kỳ số nào và số 0 không có bội. Số 0 là bội của mọi số khác - Mỗi số khác 0 có một số hữu hạn ước và vô số bội VD: Ư(50) = { 1, 2, 5, 10, 25, 50 } B(50) = { 0, 50, 100, 150, …, 500, 550, … } II. Số nguyên tố – Hợp số 1. Số nguyên tố : Số nguyên tố làø số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là một và chính nó VD: Các số nguyên tố nhỏ hơn 100 là : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 . 2. Hợp số :  Hợp số là những số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước VD: 4, 6, 8, 10, …, 20, 21, 22, …, 104, 105, 106, … - Để chứng tỏ một số tự nhiên a ( a > 1 ) là một hợp số , ta chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a . VD: Ư(8) = { 1, 2, 4, 8 } . Vì 8 có 1 ước khác 1 và chính nó nên 8 là hợp số . 3. Chú ý a) Số nguyên tố nhỏ nhất là số 2 và nó cũng chính là số nguyên tố chẵn duy nhất. Các số nguyên tố khác đều là số lẻ b) Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố và cũng không phải là hợp số c) Số nguyên tố có 3 chữ số trở lên thường có số tận cùng là 1, 3, 7, 9 d) Bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000 ( sách giáo khoa / trang 128 ) e) Tập hợp các số nguyên tố được đặt là P f) Cách kiểm tra một số có phải là số nguyên tố hay không Để kết luận a là số nguyên tố ( a > 1 ), chỉ cần chứng tó rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bính phương của nó không vượt quá a. Ví dụ: - 29 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2, 3, 5 ( Bình phương của 2, 3, 5 < 29 ) - 67 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2, 3, 5, 7 ( Bình phương của 2, 3, 5, 7 < 67 ) - 127 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2, 3, 5, 7, 11 III. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố: 1. Định nghĩa Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích của các thừa số nguyên tố 2. Cách phân tích: Phân thích một số ( lớn hơn 1 ) ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích của nhiều thừa số, mỗi thừa số là một số nguyên tố hoặc là luỹ thừa của một số nguyên tố. Ví dụ : Phân tích số 200 ra thừa số nguyên tố “ theo cột dọc “ 200 2 Do đó : 200 = 2 . 2 . 2 . 5 . 5 100 2 = 23 . 52 Trong cách phân tích một số ra thứa số nguyên tố, ta thường viết các ước nguyên tố theo thứ tự từ nhỏ đến lớn 50 2 25 5 5 5 1 - Nhận xét : Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được cùng một kết quả. 3. Chú ý : - Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó VD: 13 = 1 . 13 - Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố - Đặc biệt : 1 000 … 000 = 2n . 5n n chữ số 0 VD: 10000 = 24 . 54 - Mọi hợp số đều có thể phân tích ra thừa số nguyên tố và kết quả phân tích đó là duy nhất - Cách xác định số lượng các ước của một số : Để tính số lượng các ước của một số m ( m > 1 ), ta xét dạng phân tích của một số m ra thừa số nguyên tố : + Nếu m = ax thì m có x + 1 ước + Nếu m = ax . by thì m có (x+1)(y+1) ước + Nếu m = ax . by . cz thì m có (x+1)(y+1)(z+1) ước … … … VD + Số 32 = 25 nên số 32 có 5 + 1 = 6 ( ước ) + Số 63 = 32 . 71 nên số 63 có (2+1)(1+1) = 6 ( ước ) + Số 60 = 22 . 3 . 5 nên số 60 có (2+1)(1+1)(1+1) = 12 ( ước ) - Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn + Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22 + Số chính phương chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24 + Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 32 + Số chính phương chia hết cho 32 thì phải chia hết cho 34 + Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52 - Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p Nếu an chia hết cho p thì a chia hết cho p IV. Ước chung và bội chung 1. Ước chung Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó VD: Viết tập hợp các ước của 8 và tâp hợp các ước của 10, ta có : Ư(8) = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 } Ư(10) = { 1 ; 2 ; 5 ; 10 } Các số 1 và 2 vừa là ước của 8, vừa là ước của 10. Ta nói chúng là ước chung của 8 và 10 Ký hiệu: Tập hợp các ước chung của 8 và 10 là ƯC(8 ; 10). ƯC(8 ;10) = { 1 ; 2 } x 0 ƯC (a,b,c ) nếu a!x, b!x, c!x x 0 ƯC (a,b) nếu a!x và b!x 2. Bội chung Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó VD: Viết tập hợp A các bội của 2 và tập hợp B các bội của 3, ta có : A = { 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20 …} B = { 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24 … } Các số 0 ; 6 ; 12 ; 18 … vừa là bội của 2, vừa là bội của 3. Ta nói chúng là các bội chung của 2 và 3 Ký hiệu: Tập hợp các bội chung của 2 và 3 là BC ( 2 ; 3) x 0 BC (a,b,c ) nếu x!a, x!b, x!c x 0 BC (a,b) nếu x!a, x!b 3. Chú ý : Tập hợp ƯC(8, 10) = { 1 ; 2 }, tạo thành bởi các phần tử chung của hai tập hợp Ư(8) và Ư(10), gọi là giao của hai tập hợp Ư(8) và Ư(10) ( phần tọ đen trên hình ) Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó Ta ký hiệu giao của hai tập hợp A và B : A 1 B Ư(8) ƯC(8, 10) Ư(10) V. Ước chung lớn nhất [ 1. Định nghĩa Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó VD. Tìm tập hợp các ước chung của 12 và 30 Ta có : Ư(12) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 } Ư(30) = { 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 } ƯC(12, 30) = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 } Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 12 và 30 là 6 . Ta nói 6 là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 12 và 30. Ký hiệu ƯCLN(12, 30) = 6 2. Cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau: Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ NHỎ NHẤT của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm VD: Hãy tìm ƯCLN(36, 84, 168) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố 36 = 22 . 32 84 = 22 . 3 . 7 168 = 23 . 3 . 7 Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung, đó là 2 và 3 Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1. Lập tích : 22 . 3 Như vậy: ƯCLN(36, 84, 168) = 22 . 3 = 12 3. Cách tìm ƯC thông qua tìm ƯCLN Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó VD: ƯCLN(12, 30) = 6 Ma:ø Ư(6) = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 } Vậy: ƯC(12, 30) = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 } 4. Chú ý - Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có : ƯCLN( a, 1) = 1 ƯCLN( a, b, 1) = 1 VD: ƯCLN(5, 1) = 1 - Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1. Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau VD: 8 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau 8, 12, 15 là ba số nguyên tố cùng nhau - Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy VD: ƯCLN(24, 16, 8) = 8 - Tính chất liên quan đến ƯCLN Cho (a,b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau Nếu ab ! m mà (a,m) = 1 thì b! m VI. Bội chung nhỏ nhất 1. Định nghĩa Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó VD: B(4) = { 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; … } B(6) = { 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; … } Vậy BC(4,6) = { 0 ; 12 ; 24 ; 36 ; … } Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của 4 và 6 là 12. Ta nói 12 là bội chung nhỏ nhất ( BCNN) của 4 và 6 . Ký hiệu: BCNN(4, 6) = 12 2. Cách tìm BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riềng Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ LỚN NHẤT của nó. Tích đó là BCNN phải tìm VD: 8 = 23 18 = 2 . 32 30 = 2 . 3 .5 Vậy BCNN(, 18, 30) = 23 . 32 . 5 = 360 3. Cách tìm BC thông qua tìm BCNN Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó. VD: BCNN(8, 18, 30) = 360 . Vì bội chung của 8, 18, 30 là bội của 360. Lần lượt nhân 360 với 0, 1, 2, 3… ta được 0, 360, 720, 1080. Vậy BC(8, 18, 30) = { 0, 360, 720, 1080, …} 4. Chú ý : - Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó, với mọi số tự nhiên a và b ( khác 0 ), ta có : BCNN(a,1) = a BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b) - Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó VD: BCNN(5, 7, 8) = 5 . 7 . 8 = 280 - Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy. VD: BCNN(12, 16, 48) = 48 - Tích của hai số bằng tích của BCNN và ƯCLN của chúng: ab = BCNN(a, b) . ƯCLN(a, b) - Nếu lấy BCNN(a, b) chia cho từng số a và b thì các thương là những số nguyên tố cùng nhau - Nếu a! m và a! n thì a chia hết cho BCNN (m,n) => Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng => Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết cho tích của chúng