Giáo án Hình học khối 11 - Phương trình lượng giác cơ bản

Đ2 PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trỡnh sinx = a > 1 Phương trỡnh vụ nghiệm sinx = a a khụng đổi được về sin của cung đặc biệt 1: pt cú Nnghiệm a đổi được về sin của cung đặc biệt sinu = sinv 1: pt cú nghiệm a khụng đổi được về cos của cung đặc biệt > 1 Phương trỡnh vụ nghiệm cosx = a 1: pt cú nghiệm a đổi được về cos của cung đặc biệt cosu = cosv 2. Phương trỡnh cosx = a Cỏc trường hợp đặc biệt sinx = 0 x = k, k Z cosx = 0 x = , k Z sinx = 1 x = , k Z cosx = 1 x = k2, k Z sinx = -1 x = - , k Z cosx = -1 x = + k2, k Z 3. Phương trỡnh tanx = a tanx = a a khụng đổi được về tang của cung đặc biệt x = arctana + k a đổi được về tang của cung đặc biệt tanu = tanv (u = v + k1800) 4. Phương trỡnh cotx = a cotx = a a khụng đổi được về cụtang của cung đặc biệt x = arccota + k a đổi được về cụtang của cung đặc biệt cotu = cotv (u = v + k1800) *) Cỏc trường hợp đặc biệt tanx = 0 x = k, k Z cotx = 0 x = , k Z Chỳ ý: Trong một cụng thức nghiệm, khụng được dựng đồng thời hai đơn vị độ và radian. OÂN LUYỆN PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAÙC Baỷng giaự trũ lửụùng giaực cuỷa caực cung ủaởc bieọt ẹoọ Radian 00 0 300 450 600 900 sin cos 0 1800 sin 0 1 0 cos 1 0 1 tan 0 1 ẵẵ 0 cot ẵẵ 1 0 ẵẵ Chuự yự: ẵsinaẵ Ê 1 Û -1 Ê sina Ê 1, "a tana xaực ủũnh khi a ạ + kp (k ẻ Z) ẵcosaẵ Ê 1 Û -1 Ê cosa Ê 1, "a cota xaực ủũnh khi a ạ kp (k ẻ Z) sin(a + k2p) = sina cos(a + k2p) = cosa số chẵn lần VD: sin(+ 4) = sin sin[a +(2k + 1)p] = - sina cos[a +(2k + 1)p] = - cosa số lẻ lần VD: cos(- 3) = - cos tan(a + kp) = tana cot(a + kp) = cota Khụng cần chỳ ý k chẵn hay lẻ A. Công thức lượng giác cần nhớ I. Một số công thức lượng giác cần nhớ . Công thức cộng: Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x Công thức hạ bậc: Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx. Công thức biểu diễn theo tanx: . Công thức biến đổi tích thành tổng: Công thức biến đổi tổng thành tích: Caực heọ quaỷ 1) sina + cosa = sin(a + ) = cos(a - ) 2) sina – cosa = sin(a - ) = - cos(a + ) 3) cosa – sina = cos(a + ) = - sin(a - ) Caực cung lieõn keỏt Cung ủoỏi – a Cung buứ p - a Cung phuù - a Cung sai khaực p p + a sin - sina sina cosa - sina cos cosa - cosa sina - cosa tan - tana - tana cota tana cot - cota - cota tana cota Thần chỳ: “cos đối – sin bự – phụ chộo – sai khỏc tang” B. Một số dạng bài tập vê phương trình lượng giác Dạng 1. Phương trình bậc hai. Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 2cosx - = 0 2)tanx – 3 = 0 3) 3cot2x + = 0 4) sin3x – 1 = 0 5) cosx + sin2x = 0 Bài 2. Giải các phươngtrình sau: 1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0 3) 2cos2x + cosx – 2 = 0 4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4cosx + 3 7) 2sin2x – cosx + = 0 8) 2sin2x – 7sinx + 3 = 0 B. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Bài 3. Giải các phương trình: 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0 3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 5) 3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + ) = 0 6) tan2x + ( - 1)tanx – = 0 7) 8) 9) . Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx - cosx = 1 3) sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + cos4x = 5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5 Bài 2. Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) Dạng 3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin. 1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0. 3) 4sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + . 4) . 5) a) ; b) . 6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2. 8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0. 10) . Dạng 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 + 1 2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 Bài 2. Giải các phương trình: 1) (sinx + cosx) - sinxcosx = 1. 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = . 3) . 4) sin3x + cos3x = . 5) sinx – cosx + 7sin2x = 1. 6) . 7) . 8) . 9) 1 + tgx = 2sinx. 10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2. 11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0. C. Bài tập tự luyện Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) sin3x = 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x = - 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0 3) tan(x + 60o) = - 13) sin3x = cos4x 4) cot = 14) tan3x.tanx = 1 5) sin2x = sin 15) sin(2x + 50o) = cos(x + 120o) 6) tan = tan 16) - 2sin2x = 0 7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x) 17) 2cos - = 0 8) tan = - cot 18) 3tan + = 0 9) sin(2x - 10o) = với -120o < x < 90o 19) 2sinx - sin2x = 0 10) cos(2x + 1) = với - p < x < p 20) 8cos3x - 1 = 0 Bài 2. Giải các phương trình: 1) sin2x = 11) sin2x + sin22x = sin23x 2) cos23x = 1 12) sintan2x = 0 3) sin4x + cos4x = 13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - ) = 0 4) sinx + cosx = 1 14) sinx + sin2x + sin3x = 0 5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx 8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x 9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x 10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x = Bài 3. Giải các phương trình: 1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0 3) tan + 2cot - 3 = 0 4) 5) cot2x - 4cotx + 3 = 0 6) cos22x + sin2x + 1 = 0 7) sin22x - 2cos2x + = 0 8) 4cos2x - 2( - 1)cosx + = 0 9) tan4x + 4tan2x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0 11) + 3cot2x = 5 Bài 5. Giải các phương trình sau: 1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 3) 2sin + sin = 4) 5) 2sin17x + cos5x + sin5x = 0 6) cos7x - sin5x = (cos5x - sin7x) 7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx Bài 6. Giải các phương trình: 1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos3x + sin3x = 1 5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3(sinx + cosx) + 5 = 0 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + sin(x - 45o) = 1 9) 2sin2x + |sinx + cosx| + 8 = 0 10) (sinx - cosx)2 + ( + 1)(sinx - cosx) + = 0 Bài 7. Giải các phương trình 1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0 3) cos2x - sin2x - sin2x = 1 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 - 9)cos2x = 0 5) 4sin2x + 3sin2x - 2cos2x = 4 6) 2sin2x + (3 + )sinxcosx + ( - 1)cos2x = 1 7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3 Bài 8. Giải các phương trình 1) 4cos2x - 2( + 1)cosx + = 0 2) tan2x + (1 - )tanx - 3 = 0 3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin22x - 2cos2x + = 0 5) 2cos6x + tan3x = 1 6) + 3cot2x = 5 Bài 9. Giải các phương trình 1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1 2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1 3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx 4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1 5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x 6) sin(4x + )sin6x = sin(10x + ) 7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1 8) tan( - x) + tan( - x) + tan2x = 0 Bài 10. Giải các phương trình 1) (1 - cos2x)sin2x = sin2x 2) sin4x - cos4x = cosx 3) 4) 1 - (2 + )sinx = 5) tan2x = 6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx 8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x Bài 10. Giải các phương trình 1) sinx + cosx - - 1 = 0 2) (1 + )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + ) = 0 3) tanx + tan2x = tan3x 4) D. Một số Bài thi đại học vê phương trình lượng giác Bài 1. Giải các phương trình 1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2) tan2x - tanxtan3x = 2 3) = 1 - 2cosx 4) cos3xtan5x = sin7x 5) tanx + cotx = 4 6) + 2cosx = 0 7) 2tanx + cotx = 8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = 1 10) 11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 12) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 13) sin2xcosx = + cos3xsinx 14) sin6x + cos6x = cos4x 15) sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x) 16) 17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x 18) 2sin3x - = 2cos3x + 19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 20) (tanx + cotx) 21) 1 + tanx = 2sinx 22) cosx - sinx = cos3x 23) 24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1 26) 2sin(3x + ) = Bài 2. Giải các phương trình 1) sin4 + cos4 = 2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 4) 5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 6) cos6x + sin6x = Bài 3. Giải các phương trình 1) 2) 3) 4) sin4x = tanx 5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + 3sin2x = 8cosx Bài 4. Giải phương trình lượng giác 1) cosx + sinx = 3 - 2) 3sin3x - cos9x = 1 + 4sin33x 3) cos7xcos5x - sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 5) 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 2 6) 4sin3x - 1 = 3sinx - cos3x 7) sin2x + cos2x = 8) 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 9) cos2x - sin2x = 1 + sin2x Bài 5. Giải các phương trình (biến đổi đưa về dạng tích) 1) sin3x - sin2x = 2sinxcos2x 2) sin22x + cos28x = cos10x 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x 4) cosxcoscos - sinxsinsin = 5) tanx + tan2x - tan3x = 0 6) cos3x + sin3x = sinx - cosx 7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x 8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x 9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0 10) sin3x - sinx = sin2x 11) 12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0 13) cos4 - sin4 = sin2x 14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1) 15) 2sin3x + cos2x = sinx 16) sin2x + sin22x + sin23x = 17) cos3x + sin3x = sinx - cosx 18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 19) sin2x = cos22x + cos23x 20) sin23x - sin22x - sin2x = 0 21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0 22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0 24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 25) 2cos2x = (cosx - sinx) 26) 4cos3x + 3sin2x = 8cosx 27) sin3x + sin2x = 5sinx Bài 6. Giải các phương trình 1) = cos2x + sin2x với 0 < x < 2p 2) sin(2x + ) - 3cos(x - ) = 1 + 2sinx với < x < 3p 3) cos7x - sin7x = - với Bài 7. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: 1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x 2) y = trong khoảng ( -p ; p) 3) y = 4sin2x + 4) y = sinx - cos2x + Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới). 1) A_02. Giải phương trình: 5 = cos2x + 3 2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 3) A_03. Giải phương trình: cotx - 1 = + sin2x - sin2x 4) D_03. Giải phương trình: sin2( - )tan2x - cos2 = 0 5) D_04. Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx 6) A_05. Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = 0 7) D_05. Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - )sin(3x - ) - = 0 8) A_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; p) của phương trình: 4sin2 - cos2x = 1 + 2cos2(x - ) 9) A_05_dự bị 2. Giải pt: 2cos3( x - ) - 3cosx - sinx = 0 10) D_05_dự bị 1. Giải pt: tan( - x) + = 2 11) D_05_dự bị 2. Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 12) A_06_dự bị 1. Giải pt: cos3xcos3x - sin3xsin3x = 13) A_06_dự bị 2. Giải pt: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 14) B_06_dự bị 1. Giải pt: (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0 15) B_06_dự bị 2. Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 16) D_06_dự bị 1. Giải pt: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 17) D_06. Giải pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 18) A_07. Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 19) B_07. Giải phương trình: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx 21) D_07. Giải phương trình: (sin2 + cos2)2 + cosx = 2 22) CĐ_07. Giải phương trình: 2sin2( - 2x) + cos4x = 4cos2x - 1 23) A_08. Giải phương trình: 24) B_08. Giải phương trình: sin3x - cos3x = sinxcos2x - sin2xcosx 25) D_08. Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 26) CĐ_08. Giải pt: sin3x - cos3x = 2sin2x