Giáo án Hình học khối 11 - Quan hệ vuông góc

QUAN HỆ VUÔNG GÓC A. BẢNG TỔNG KẾT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 3 STT KHÁI NIỆM QUY TẮC,TÍNH CHẤT,CÁCH CHỨNG MINH 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Vec tơ là đoạn thẳng định hướng,một điểm là một đầu,điểm kia là điểm cuối Ba vec tơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 900 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng:Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. Hình lăng trụ đứng:Là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Hình lăng trụ đều :là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Hình hộp đứng:là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Hình hộp chữ nhật:là hình hộp đứng có đáy là hình hộp chữ nhật. Hình lập phương :Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. Hình chóp đều:Là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau Hình chóp cụt đều:Phần hình chóp đều nằm giữa đáy và thiết diện song song với đáy. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoặc một đường thẳng Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Cách xác định thiết diện của hình chóp,hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) Qui tắc ba điểm: Qui tắc hình bình hành ABCD: . I là trung điểm AB: AM là trung tuyến của tam giác ABC: G là trọng tâm tam giác ABC: G là trọng tâm tứ diện ABCD: Cho trong đó không cùng phương. đồng phẳng có bộ số (m,n) duy nhất sao cho: . Nếu không đồng phẳng thì với mỗi vec tơ ta tìm được bộ số (m,n,p) duy nhất sao cho : . . Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau,cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P). Hai mặt phẳng song song ,một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Hai đường thẳng song song ,một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Cho a//(P),đường thẳng nào vuông góc với a thì cũng vuông góc với (P). Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó)cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. Bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của chúng tại một điểm. S là diện tích đa giác (H) trong mp(P) và S/ là diện tích hình chiếu (H/) của (H) trên (P/) thì: S=S/cos,với là góc giữa (P) và (P/). Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. ,đường thẳng a qua A và vuông góc với (Q) thì a nằm trong (P). Hai mặt phẳng cắt nhau,cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng sẽ vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất mặt phẳng (Q) vuông góc với mp(P). Các mặt bên là hình chữ nhật. Các mặt bên vuông góc với đáy. Các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau Các mặt bên là hình chữ nhật Sáu mặt đều là hình chữ nhật. Sáu mặt đều là hình vuông Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy. Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Mặt bên là các tam giác cân bằng nhau. Mặt bên là các hình thang cân bằng nhau Là độ dài đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng hoặc đường thẳng. Là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ một điểm bất kỳ của đường thẳng tới mặt phẳng. Là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đó. Dựa vào mục 5,7 ở trên để xác định từng giao tuyến của mặt phẳng (P) với từng mặt bên,mặt đáy của hình chóp,hình lăng trụ. B. BÀI TẬP LÀM THEO CHỦ ĐỀ CHỦ ĐỀ 1: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A.PHƯƠNG PHÁP: Để biểu diễn một véc tơ qua các véc tơ khác ,chứng minh một đẳng thức véc tơ,chứng minh hai véc tơ vuông góc hay ba véc tơ đồng phẳng ,ta sử dụng các quy tắc :ba điểm,hình bình hành,trung tuyến,trung điểm,trọng tâm tam giác,trọng tâm tứ diện,đường chéo hình hộp. B.Ví dụ: Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Chứng minh rằng: Tìm điểm G sao cho Ví dụ 2:Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ có tâm hai đáy lần lượt là O và O/.Các véc tơ .Hãy biểu diễn các vec tơ theo . Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD,G là trọng tâm tam giác BCD,I là trung điểm AG,M là điểm bất kỳ.Chứng minh rằng: Ví dụ 4: Cho hình hộp có tâm hai đáy lần lượt là O và O/.M là trung điểm của BC,các vec tơ .Hãy biểu diễn các vec tơ theo ,rồi suy ra các bộ ba vec tơ đồng phẳng : . C.BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình hộp ..Gọi I là trung điểm B/C/,K là giao điểm của A/I và B/D/.Hãy biểu diễn các vec tơ theo . Bài 2:Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC.Kẻ các tia phân giác OM,ON,OP của các góc AOB,BOC,COA.Chứng minh rằng:Nếu trong ba tia OM,ON,OP có hai tia vuông góc thì từng cặp tia còn lại cũng vuông góc từng đôi một. Bài 3:Cho tứ diện ABCD.Chứng minh rằng: 1) 2)Nếu AB vuông góc với CD và AC vuông góc với DB thì AD vuông góc với BC. Bài 4: Cho hình hộp.Một mặt phẳng cắt bốn cạnh hình hộp AA/,BB/,CC/,DD/ theo thứ tự tại M,N,P,Q.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AC và MP.Gọi G và G/ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và MNP.Chứng minh rằng: Bài 5:Trong không gian cho ba vec tơ không đồng phẳng. a)Gọi .Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng. b)Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng. Bài 6: Cho hình hộp..Gọi G và G/ lần lượt là trọng tâm các tam giác A/BD và B/CD. a)Chứng minh A,G,G/ thẳng hàng và AG=GG/=G/C. b)Tính AC/ theo AA/=a,AB=b,AC=c, . CHỦ ĐỀ 2. TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG A.PHƯƠNG PHÁP: Để tính góc giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian ta có thể áp dụng một trong hai cách sau: Tìm một góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng a,b;đưa vào một tam giác,sử dụng các hệ thức trong tam giác (đặc biệt là định lý cosin) Lấy các vec tơ cùng phương với a,b ,biểu diễn qua các vec tơ đã biết,tính rồi suy ra góc (a,b). B.Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình hộpcó tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, .Gọi O,O/ là tâm hai đáy hình hộp.Tính: . Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD có AB =AC=AD=a;BC=CD=DB= . a)Tính b)Chứng minh rằng AB CD,AD BC. C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông cân ở đỉnh B,AB=a,tam giác ADC vuông cân ở đỉnh A,BD= .Tính . Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên AA/=a.Gọi I là tâm mặt bên AA/B/B.Tính góc giữa IC/ với AB và BC. Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a;SAB,SAC,SAD là các tam giác vuông cân ở đỉnh A. a)Tính . b)Gọi E là điểm thuộc cạnh AD sao cho AE=b (0<b<a),(P) là mặt phẳng qua E và song song với mặt phẳng (SAB).Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P). CHỦ ĐỀ 3.CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG. A.PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng một trong hai cách sau: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P). Chứng minh a//b ,b vuông góc với (P). B.VÍ DỤ: Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BC và BD,tam giác BCD vuông tại C.kẻ BE vuông góc với AC,EF vuông góc với AC (F thuộc AD).Chứng minh: a)CD(ABC). b)BE(ACD). c)EF(ABC). Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD vuông góc từng đôi một.Gọi H là trực tâm tam giác BCD,chứng minh AH (BCD). Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD,SA (ABCD).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,SC.Chứng minh: a)BD(SAC). b)MN(SAB). C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho hình chóp S.ABC có SB(BCD).Gọi H là trực tâm tam giác BCD,chứng minh rằng: a)DH(ABC). b)CH(ABD). c)CD(ABH). Bài 2:Cho tứ diện ABCD có AC=AD và BC=BD.Gọi M là trung điểm của CD,H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác AMB.Chứng minh rằng: a)CD(AMB). b)AH(BCD). Bài 3:Cho tứ diện ABCD có DA(ABC).Gọi H,K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác BCD.Chứng minh rằng: a)HK(BCD). b)BD(CHK). Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,tam giác SAB đều.Gọi H,I lần lượt là trung điểm của AB và CD,cho SC=,HKSI.Chứng minh rằng: a)SH(ABCD). b)HK(SDC). CHỦ ĐỀ 4:CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU. A.PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta có thể áp dụng một trong các cách sau: Chứng minh góc giữa a và b bằng 900. Chứng minh a vuông góc với mặt phẳng chứa b. Chứng minh a song song với c,c vuông góc với b. Sử dụng định lý ba đường vuông góc. Đưa về một mặt phẳng ,sử dụng các định lý trong hình học phẳng. B.VÍ DỤ: Ví dụ 1:Cho tứ diện đều ABCD,AH(BCD),M là trung điểm AH.Chứng minh rằng : a)Các cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi. b)Ba đường thẳng MB,MC,MD vuông góc với nhau từng đôi. Ví dụ 2:Cho hình tròn tâm O,đường kính AB nằm trong mặt phẳng (P).Trên đường vuông góc với (P) tại A lấy điểm S,trên dường tròn (O) lấy điểm C,kẻ AISC,AKAB.Chứng minh rằng: a)Các mặt tứ diện SABC là các tam giác vuông. b) AIIK,IKSB. C BÀI TẬP: Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B,AD=2AB=2BC. a)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b)Gọi I là trung điểm của AD chứng minh BISC và CISD. Bài 2:Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC),AB=AC,I là trung điểm của BC AHSI.Chứng minh: a)BCAH. b)AHSB. c)SC không vuông góc với AI. Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ,SA vuông góc với đáy .Một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC tại N,cắt SB tại M,cắt SD tại P. a)Chứng minh :AMSB;ANSC;APSD. b)Chứng minh MPSC;MCAN c)Tìm diện tích thiết diện AMNP khi SA=AB=a. CHỦ ĐỀ 5. XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. A.PHƯƠNG PHÁP: Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P),ta xác định a/ là hình chiếu của a trên (P). *Chọn điểm M trên a,tìm hình chiếu H của M trên (P). *Tìm giao điểm N của a và (P). *NH chính là a/. Để tính góc MNP ta dùng hệ thức trong tam giác vuông MHN. B.Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang vuông tại A,SA vuông góc với đáy,AD=2BC=2AB=2a,SA=.Tính góc giữa: a)các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD). b)SB,SC với mặt bên (SAD). Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ ,ABC là tam giác vuông cân,AB=BC=a;B/A=B/B=B/C=a.Tính góc giữa B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC). Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC,tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,cạnh AB=a,AD=.Tính góc giữa: a)DB và (ABC). b)CD và (ABD). c)AC và (ABD). C.BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính góc giữa: a)Các cạnh bên và mặt đáy. b)Cạnh SC và mặt bên (SAD). c)Cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC). Bài 2:Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA=SB=SC=a và cùng tạo với đáy (ABC) các góc bằng nhau,biết AB=AC=2BC=a.Tính góc giữa: a)SA và mp(ABC). SA và mp(SBC). Bài 3:Cho tam giác đều ABC cạnh a.Từ trung điểm H của AB kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC).Trên d lấy điểm S sao cho .Tính góc giữa: a)SA với mp(ABC). b)SC với mp(ABC). c)SH với mp(SBC). Bài 4:Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ có tất cả các cạnh đều bằng a,góc ABC bằng 1200;A/B=A/D=A/A.Tính góc giữa A/A và A/C/ với mặt phẳng đáy. CHỦ ĐỀ 6: XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG A.PHƯƠNG PHÁP: Cách thường dùng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là: *xác định giao tuyến của (P) và (Q). *Trên (P) tìm AI,trên (Q) tìm BI. * là góc cần tìm (còn gọi là góc phẳng của nhị diện ((P),(Q)). Cách chứng minh hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau: *Chứng minh góc giữa chúng bằng 900 *Chứng minh (P) chứa một đường thẳng vuông góc với (Q). B.Ví dụ: Ví dụ 1:Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với AC và AB,ABC là tam giác đều cạnh a,AD .Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: a)(BAD) và (CAD). b)(ABC) và (DBC). c)(ADC) và (BDC). Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,góc ABC=600,SA vuông góc với đáy ,SA.Tính góc giữa các mặt phẳng: a)(SBC) và (ABCD). b)(SBD) và (ABCD). c)(SBC) và (SCD). Ví dụ 3:Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy là tam giác đều cạnh a;B/A=B/B=B/C=a;AA/.Tính góc giữa: a)Các mặt bên và mặt đáy. b)Mặt (AA/B/B) và mặt (BB/C/C) C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC=a,góc BAC=300,SA=SB=SC=a.Tính góc giữa: a)(SAB) và mặt đáy. b)(SBC) và mặt đáy. c)(SAB) và (SAC). Bài 2:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC =a,góc BAC=1200.SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính góc: a)Giữa (SAB) và (SAC). b)Giữa (SBC) và (ABC), c)Giữa (SBC) và (SAC) Bài 3:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,các mặt bên là những tam giác đều cạnh a.Tính góc a)Giữa (SAB) và mặt đáy. b)Giữa (SCD) và (SBC). Bài 4:Cho hình hộp đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy là hình vuông cạnh a,cạnh bên .Tính góc: a)Giữa (B/AC) và (ABCD). b)Giữa (BA/C/) và (B/AC). CHỦ ĐỀ 7: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP ,HÌNH LĂNG TRỤ. A.PHƯƠNG PHÁP: Xác định thiết diện của hình chóp,hình lăng trụ dựa trên quan hệ vuông góc thường dựa trên các nguyên tắc sau: *Mặt phẳng chứa thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng thì chứa hai đường thẳng cắt nhau vuông góc với đường thẳng đó. * Mặt phẳng chứa thiết diện qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng thì chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó. Tính diện tích thiết diện: *Chứng minh thiết diện là những đa giác đặc biệt ,đưa ra công thức tính diện tích đa giác đó,tính cạnh,đường cao thiết diện bằng cách xét các tam giác,thay vào công thức diện tích. *Dùng công thức S/=S cos (với S là diện tích thiết diện;S/ là diện tích hình chiếu của thiết diện trên mặt phẳng đáy hình chóp hoặc hình lăng trụ; là góc tạo bởi mặt phẳng thiết diện và mặt phẳng đáy hình chóp,hình lăng trụ) B.Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,cạnh AB=a,AD vuông góc với AB và AC,AD=a.Xác định và tính diện tích thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng: a)Qua B và vuông góc với AC. b)Qua A và vuông góc với DC. Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,tâm O,SA vuông góc với đáy,SA=a,I là trung điểm của SA.Xác định và tính diện tích thiết diện: a)Qua I và vuông góc với SA. b)Qua O và vuông góc với AC. c)Qua A và vuông góc với SB. d)Qua A và vuông góc với SC Ví dụ 3:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B,AD=a,mặt ABB/A/ là hình vuông.xác định và tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng qua B và vuông góc với AD/.Tính góc tạo bởi mặt phẳng thiết diện và mặt phẳng đáy lăng trụ. Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/.Xác định và tính diện tích thiết diện qua AC và tạo với (ABCD) một góc 450. C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho hình chóp đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,đường cao .Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng: a)Qua AB và vuông góc với (SCD). b)Qua O và song song với (SCD). Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,AB=a,BC=2a,tam giác SAB đều,nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng: a)Qua S và vuông góc với AB. b)Qua AD và vuông góc với với SB. Bài 3:Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a,tạo với đáy góc 600. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng: a)Qua BC và vuông góc với SA. b)Qua A,vuông góc với (SBC) và song song với BC. Bài 4:Cho tam giác đều ABC cạnh a.Gọi I là trung điểm cạnh BC,H là trung điểm của AI.Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H lấy điểm S sao cho .Lấy điểm J thuộc đoạn IH sao cho IJ=m.Dựng thiết diện qua J và vuông góc với IH.Tính diện tích thiết diện theo a và m.Tìm m để diện tích đó lớn nhất. Bài 5:Cho hình hộp đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy là hình thoi cạnh a,góc BAD= 600,cạnh bên bằng 2a.Xác định và tính diện tích thiết diện qua B/ và vuông góc với BD/. CHỦ ĐỀ 8. KHOẢNG CÁCH A.PHƯƠNG PHÁP: Để tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ,giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song ,giữa hai đường thẳng chéo nhau,trước hết ta phải xác định được các đoạn thẳng thỏa mãn tính chất của các loại khoảng cách. a)Khoảng cách từ điểm M tới mp(P): -Các định đoạn MH vuông góc với (P) tại H. -Đôi khi có thể chuyển việc tính khoảng cách từ điểm M tới mp(P) sang việc tính khoảng cách từ một điểm N thuộc mp (Q) qua M và song song với (P),tới mp(P). b)Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a. xác định đoạn MH vuông góc (P) với điểm M bất kỳ thuộc a. c)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Cách 1:Tìm ra đoạn vuông góc chung của a và b (nếu đã có sẳn) Cách 2:Chọn mp(P) chứa b và song song với a (muốn vậy (P) phải chứa a/ //a)Khoảng cách giữa a và (P) chính là khoảng cách giữa a và b. Cách 3:Chọn hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau lần lượt chứa b và a. Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa a và b. Bài toán:Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b: -Chọn mp(P) chứa b và song song với a. -Chọn một điểm M thuộc a,kẻ MM/ vuông góc với (P). -Trong (P) từ M/ kẻ a/ //a,cắt b tại B. -Trong mp(a,a/),từ B kẻ đường thẳng song song với MM/ cắt a tại A,suy ra AB là đoạn vuông góc chung giữa a và b. Việc tính độ dài đoạn thẳng đã xác định được :Đưa đoạn thẳng đó vào các tam giác,dùng hệ thức lượng trong tam giác,tính chất hai tam giác đồng dạng.. B,Ví dụ: Ví dụ 1: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với AB và AC,tam giác ABC vuông ở B,SA=AC=a,góc BAC=600.Tính khoảng cách: a)Từ A tới (SBC). b)Từ B tới (SAC). Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhất ABCD tâm O,AB=2a,BC=a,SO vuông góc (ABCD).Gọi I,J là trung điểm AD,BC.Tính: a)d(BC,(SAD)). b)d(IJ,(SAB)). Ví dụ 3:Cho hình hộp thoi ABCD.A/B/C/D/ cạnh a,góc BAD=600.Tính khoảng cách : a)Giữa (ABCD) và (A/B/C/D/) b)Giữa (ABB/A/) và (DCC/D/) c)Giữa (AD/A/) và (BCC/D/). Ví dụ 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính khoảng cách giữa: a)SA và BC. b)SD và BC. c)SC và BD. d)SB và AC. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,góc ABC=600, SA vuông góc với đáy ,SA=a,Xác định và tính độ dài của đoạn vuông góc chung giữa: a)SD và BC. b)SB và AC. C.BÀI TẬP: Bài 1:Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD vuông góc từng đôi một,AD=a,DBC là tam giác cân đỉnh D,mp(DBC) tạo vớ mp(ABC) góc 450.Tính khoảng cách: a)Từ B tới (ADC),từ C tới (ADB). b)Từ A tới (DBC). Bài 2:Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,AD(ABC),AB=a và AD=h.Gọi I,J là trung điểm AB,DC. a)Tính IJ. b)Tìm mối liên hệ giữa a và h để IJ là đoạn vuông góc chung của AB,DC. Bài 3:Cho hình chữ nhật ABCD và hình vuông ADEF nằm trên hai mặt phẳng vuông góc,AB=2a,AD=a.Tính khoảng cách: a)Từ A tới (BCEF). b)Giữa AF và (DEB). c)Giữa AC và EB. Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a,SAB là tam giác đều,(SAB) (ABCD),H là trung điểm AB.Tính khoảng cách: a)Từ H tới (SCD). b)Giữa BC và (SAD). c)Giữa AB và SD,dựng đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng này. Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thoi ABCD tâm O,cạnh a,góc BAD=600,SA(ABCD),SA=a.Tính khoảng cách: a)Từ A tới (SDC). b)Từ O tới (SDC). c)Giữa SC và BD. Bài 6:Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ tâm đáy là O,O/.Xác định đoạn vuông góc chung giữa: a)OO/ và CD/. b)BD và CD/. c)BO/ và CD/. C. BÀI TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 1:Cho đường thẳng a/ nằm trong mp(P),đường thẳng a vuông góc với mp(P) tại điểm I không thuộc a/.Trên a lấy điểm A cố định không trùng với I.Hai điểm B,C di động trên a/ sao cho mp(B,a) (C,a).Vẽ các đường cao AA/,BB/,CC/ của tam giác ABC.Chứng minh: a)AB2+AC2-BC2 không đổi. b)Tích A/B.A/C không đổi. c)Trực tâm tam giác ABC cố định. d)B/C/ thuộc một đường tròn cố định. Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông ở A và B;AD=2BC=2BD=2a,SA=a,SA(ABCD). a)Chứng minh (SCD) (SAC). b)Tính góc (AB,SC). c)Tính d(A,(SBD)). d)Tính d(SD,BC). Ví dụ 3:Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a tạo với đáy góc 600. a)Tính góc giữa mặt bên với đáy. b)Tính d(SA,BC). c)Tính diện tích thiết diện qua A và SC. Ví dụ 4:Cho hình chóp đều S.ABC tâm O,cạnh bên bằng a,đường cao bằng h.Tính: a)Diện tích thiết diện qua A và vuông góc với BC. b)d(O,(SBC)). c)d(BO,SA) Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên (SAB),(SAD) vuông góc với đáy ,các mặt bên (SBC),(SCD) cùng tạo với đáy góc 600. a)Chứng minh góc SBA bằng góc SDA bằng 600. b)Chứng minh (SAC) (SBD). c)Gọi M,N là trung điểm BC,CD.Xác định thiết diện hình chóp đi qua M,N và song song với SC.Tính diện tích thiết diện. Ví dụ 6:Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,góc BAD bằng 600.Gọi M là trung điểm cạnh AA/ và N là trung điểm cạnh CC/.Chứng minh rằng bốn điểm B/,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng .Hãy tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B/MND là hình vuông. BÀI TẬP Bài 1:Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ có cạnh a.Hai điểm M,N chuyển động trên hai đoạn thẳng BD,B/A tương ứng sao cho BM=B/N=t.Gọi lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng BD và B/A. a)Tính độ dài đoạn MN theo a và y.Tìm t để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất. b)Tính khi độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất. c)Trong trường hợp tổng quát ,chứng minh hệ thức : . Bài 2:Cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến l.Trên l lấy đoạn AB=a.Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với l và nằm trong (P) lấy điểm M sao cho AM=b.Trên nửa đường thẳng Bt vuông góc với l và nằm trong mp(Q) lấy điểm N sao cho . a)Tính khoảng cách từ A đến mp(BMN) theo a,b. b)Tính MN theo a,b .Với giá trị nào của b thì MN có độ dài nhỏ nhất?Tính độ dài đó. Bài 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,SA vuông góc với (ABC),SA=h. a)Tính khoảng cách từ A đến (SBC). b)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,H là trực tâm tam giác SBC.Chứng minh OH vuông góc (SBC). Bài 4:Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB= ,SC vuông góc với (ABC),tam giác ABC vuông tại A,điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a). a)Tính độ dài đoạn MN. b)Tìm t để đoạn MN ngắn nhất. c)Khi đoạn MN ngắn nhất,chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA. Bài 5:Cho đường tròn (O) đường kính AB nằm trong mp(P).Gọi C là một điểm thuộc (O).Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với mp(P),trên lấy điểm S,nối SB,SC.Mp(Q) đi qua A và vuông góc với SD,cắt SC tại M.Tìm tập hợp điểm M khi: a)Điểm C chạy trên đường tròn (O). b)Điểm S chạy trên đường thẳng . Bài 6:Cho hình vuông ABCD,từ A dựng nửa đường thẳng Ax vuông góc với (ABCD).Từ M trên Ax,dựng đường thẳng vuông góc với (MCB),cắt (ABCD) tại R.Đường thẳng qua M vuông góc với (MCD) cắt ABCD tại S. a)Chứng minh A,B,R thẳng hàng và A,D,S thẳng hàng. b)Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn RS khi M di chuyển trên Ax. c)Gọi H là chân đường cao kẻ từ A trong tam giác AMJ.Chứng minh AH là đường cao của tứ diện ARMS và H là trực tâm MRS. Bài 7:Cho hình chữ nhất ABCD cạnh AB=a,AD=b nằm trên mp(P).Trên tia Ax,Cy cùng vuông góc với (P) và nằm cùng phía với (P) lấy các điểm M,N sao cho AM=x,CN=y. a)Tính góc tạo bởi các mp(BDM),(CDN) với (P). b)Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các mp (BDM) và (CDN) vuông góc với nhau là: . Bài 8:Cho hình vuông ABCD tâm O,tia Ax vuông góc với (ABCD).Gọi S là điểm di động trên Ax và E di động trên AD.I là trung điểm SB,tìm quỹ tích I/ là hình chiếu của I trên CE. Bài 9:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a .Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy .Gọi H là trung điểm AB,M là điểm di động trên cạnh BC. a)Chứng minh SH vuông góc với (ABCD). b)Tìm quỹ tích các hình chiếu của S lên DM. c)Đặt CM=x.Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và x. Bài 10:Cho ABC là tam giác cân đỉnh A,cạnh bên a,góc BAC=1200.Điểm S di động trong không gian ở về một phía của mp(ABC) sao cho SA=a,góc SAB=600. a)Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).Chứng minh H thuộc một đường thẳng cố định và S thuộc một đường tròn cố định.Tính bán kính đường tròn đó. b)Chứng minh rằng khi độ dài SH đạt giá trị lớn nhất thì mp(SAB) vuông góc với mp(ABC),khi đó hãy tính SC. c)Khi SBC là tam giác vuông tại S,tính .Hết