Giáo án Hình học lớp 10 nâng cao - Tiết 31-32-33 Bài 3: Khoảng Cách Và Góc

Tiết 31-32-33 §3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC A . Mục tiêu Kiến thức: Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, cosin góc giữa 2 đường thẳng và công thức 2 đường phân giác Kỹ năng : Biết áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, cosin góc giữa 2 đường thẳng và viết được phương trình 2 đường phân giác Thái độ : Tích cực xây dựng bài học , tiếp thu và vận dụng kiến thức sáng tạo Tư duy : Phát triển tư duy logic toán học , suy luận và sáng tạo B . Chuẩn bị : Sách giáo khoa , bài tập C . Tiến trình bài dạy: Oån định lớp : Kiểm tra bài cũ : Dạy bài mới : TG Lưu bảng Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng có phương trình : ax + by +c = 0. Khoảng cách từ điểm M(x; y) đến : d(M;) = Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax + By + C = 0 và hai điểm M(x; y), N(x; y) không nằm trên . Khi đó: Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với khi và chỉ khi (ax+by+c)(ax+b y+c) >0 Hai điểm M, N nằm khác phía đối với khi và chỉ khi (ax+by+c)(ax+b y+c) <0 Phương trình đường phân giác Cho hai đường thẳng cắt nhau : ax + by +c = 0 và : ax +by +c = 0. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó là = =- 2. Góc giữa hai đường thẳng a) Định nghĩa Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc nhỏ nhất được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi a và b). Khi a song song hoạc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0. Nhận xét : Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau nhỏ hơn hoặc bằng 90 nên góc giữa hai đường thẳng a và b, kí hiệu là (a, b), được xác định như sau (a, b) = (,) nếu (,) 90 (a, b) = 180 - (,) nếu (,) > 90 trong đó ,lần lượt là các vectơ chỉ phương của a, b. b) Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau : ax + by +c = 0 và : ax +by +c = 0. cos(, ) = aa + bb= 0. Bài toán 1. Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng có phương trình : ax + by +c = 0. Hãy tính khoảng cách d(M ; ) từ điểm M(x; y) đến . HD : -Gọi M’ là hình chiếu của M trên . Khi đó khoảng cách từ M đến là độ dài đoạn thẳng nào ? - Có nhận xét gì phương của và vectơ pháp tuyến của ? Hệ thức vectơ tương ứng là gì ? -Từ đó suy ra d(M ; ) = ? - Nếu gọi (x’, y’) là toạ độ của M’ thì từ (1) ta có điều gì ? - Vì M’ nằm trên nên ta có hệ thức gì ? Từ đó ta suy ra k =? Thay giá trị t vào (2) ta được ? Ví dụ 1. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng trong mỗi trường hợp sau a) M(13; 14) và : 4x –3y +15 = 0 ; b) M(5; -1) và : Chú ý : Cho đường thẳng : ax + by + c = 0 và điểm M(x; y). Nếu M’ là hình chiếu của M trên thì theo lời giải của bài toán trên, ta có = k. trong đó k = Tương tự nếu N(x, y) với N’ là hình chiếu của N trên thì ta cũng có = k’. trong đó k’ = ?1 Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với khi k và k’ cùng dấu ? Khi k và k’ khác dấu ? Từ đó ta có kết quả sau : Ví dụ 2. Cho tam giác có các đỉnh là A = (1; 0), B = (2; -3), C = (-2; 4) và đường thẳng : x –2y + 1 = 0. Xét xem cắt cạnh nào của tam giác? Bài toán 2. Viết phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau : ax + by +c = 0 và : ax +by +c = 0. HD : -Điểm M thuộc một trong hai đường phân giác khi nào ? -Với điểm M(x; y), viết công thức tính khoảng cách d(M ; ) và d(M ; ) rồi cho các khoảng cách đó bằng nhau - Mỗi phương trình bên là phương trình một đường phân giác cần tìm. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC với A(; 3), B =(1 ; 2), C(-4; 3). Tìm phương trình đường phân giác trong của góc A. -Hướng dẫn học sinh xét đường phân giác ngoài và đường phân giác trong. ?2 . Trên h.74, góc giữa hai đường thẳng a, b bằng bao nhiêu ? Hãy so sánh góc đó với góc giữa hai vectơ , và góc giữa hai vectơ ’,. Ví dụ 4 Cho hai đường thẳng : (t R) ’ : (t’R). Tìm toạ độ vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và tìm góc hợp bởi hai đường thẳng đó. Bài toán 3. a) Tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng và lần lượt cho bởi các phương trình : ax + by + c = 0 và ax + by + c = 0. b) Tìm điều kiện để hai đường thẳng và vuông góc với nhau. Ví dụ 5 Tìm góc giữa hai đường thẳng trong mỗi trường hợp sau a): : (t,t’ R) b): x =5,: 2x+y –14 = 0 c) : ; : 2x + 3y –1 = 0. Giải Gọi M’ là hình chiếu của M trên . Khi đó khoảng cách từ M đến là độ dài M’M. Hiển nhiên cùng phương với VTPT =(A; B) của . Vậy có số t sao cho = k.(1) Từ đó suy ra d(M ; ) = M’M =. = . (2) Mặt khác, nếu gọi (x’, y’) là toạ độ của M’ thì từ (1) ta có Vì M’ nằm trên nên a(x- ka)+b(y-kb)+c = 0. Từ đó ta suy ra k = Thay vào (2) ta có : d(M;) = Giải : a/ d(M;) = 5 b/ : 3x + 2y – 34 = 0 d(M;) = Giải : Điểm M thuộc một trong hai đường phân giác khi nó cách đều hai đường thẳng , . Ta có = = - Giải : AB : 4x –3y +2 = 0 và AC : y –3 = 0. Các đường phân giác của góc A có phương trình : hoặc ; Hay : 4x – 8y +17 = 0 (d) 4x + 2y –13 = 0 (d) Thay toạ độ B, C lần lượt vào vế trái của dta được 4 – 16 + 17 = 5 >0 ; -16 –24 +17 = -23 < 0. Vậy phương trình đường phân giác trong của góc A là d: 4x – 8y + 17 = 0. Góc giữa hai đường thẳng a, b là 600 Góc (a, b) = góc (,) Góc (a,b) bù với góc (’,) Giải : VTCP của là: = (-2, -1) VTCP của ’ là: ’= (1, 3) Giải : a) Toạ độï hai VTCP của và của . 1 = ;2 = Hãy chứng tỏ rằng : cos (, ) =. Dựa vào định nghĩa ta có : cos(, ) = b) aa+bb= 0 Giải : a/ Góc (1, 2) = 900 b/ cos(1, 2) = c/ cos(1, 2) = D . Luyện tập và củng cố : - Biết áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, cosin góc giữa 2 đường thẳng vàviết được phương trình 2 đường phân giác E . Bài tập về nhà : 15 đến 20 trang 90.