Giáo án Hình học lớp 9 - Tam giác đều

TAM GIÁC ĐỀU 1/ Cho D ABC cóùù góc B = 450 , góc A = 150 . Kéo dài BC về phía C rồi lấy D trên đường kéo dài sao cho DC = 2 CB . Tính góc ADB . HƯỚNG DẪND B C I H A Cách 1 : Hạ DH ^ CA . Ta có : CDH = 300 . Gọi I là trung điểm của DC ; D CHI là tam giác đều CH = CB D BCH cân tại C CBH = CHB = ½ C = 300 D BHA cân tại H HB = HA D HAD vuông cân HAD = 450 ADB = 750 Cách 2 : Hạ DH ^ AC D HCD là nửa tam giác đều Þ CH = ½ CD Þ CH = BC . 2/ Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. Trên HC kéo dài lấy HE = HA . Tứùø E kẻ đường thẳng tạo với EB một góc bằng 150 cắt AB kéo dài tại F . Chứng minh D BHF cân . HƯỚNG DẪN B H C E A D F Cách 1 : Lấy D đối xứng với E qua H . Þ DAF = ACE = 150 ( Vì DAH = D = 450 ) D DAE vuông cân tại A . DH = HA = HE A và E cùng nhìn DF dưới một góc 150 nên tứ giác ADFE nội tiếp được trong một đường tròn , đường kính DE . Þ DFE = 900 ; BHF = 2E = 300 AFH = 300 D BHF cân tại B . Cách 2 : Vẽ tia Ax trong D ABC sao cho BAx = 150 cắt EF tại D . D ADE là tam giác đều vì có mỗi góc bằng 600 . Do đó ta có : AD = AE . Þ D ABD = D ACE Þ ABD = ACE = 1200 Þ FBD = 600 D ADH = D EDH Þ AHD = EHD = ½ ( 3600 – 900 ) = 1350 Þ BHD = 450 . Mà BFD = 450  Þ D BFD = D BHD Þ BF = BH . 3/ Cho tam giác đều ABC và một điểm D trên đoạn BC . Đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F , DE // AC cắt AB tại E . Gọi P là trung điểm của BF , Q là trung điểm của CE . Chứng minh tam giác PQD là tam giác đều . HƯỚNG DẪN Q P A F P E D B C Cách 1 : BD = ED ; DF = DC ; BDF = CDE = 600 D BDF = D EDC Þ BF = EC Þ BQ = PF = CQ = QE ; Và DP = DQ ( Hai trung tuyến tương ứng của 2 tam giác bằng nhau thì bằng nhau ) ; PDQ = 600 D BDP = D EDQ Þ BDP = EDQ 600 + EDP = 600 + FDQ EDP = FDQ PDQ = 600 D PDQ là tam giác đều . Cách 2 : ( Dùng phép quay ) Quay D EDC quanh tâm D , góc quay 600 , khi đó : C º F ; E º B Þ CF = BF ; Q º P . Do góc quay bằng 600 nên PDQ = 600 . Do đó D PQD là tam giác đều . 4/ Cho góc xPy = 1200 và điểm A nằm trên tia Px . Dựng tam giác đều ABC sao cho B thuộc tia Py và C thuộc tia phân giác của góc xPy . Gọi Q là giao điểm của AB và PC . Chứng minh rằng . HƯỚNG DẪN C y Q B 2 3 1 x A P D Lấy D trên tia đối của tia Py sao cho PD = PA . Do APD = P1 = 600 nên tam giác APD là tam giác đều Þ PD = PA = AD (1 ) . Ta có : P1 = P2 = P3 = 600 . Trong D ABD có PQ // DA nên theo ĐL Ta lét ta có : Þ Từ (1) và (2) ta suy ra : 5/ Cho tam giác đều ABC , M là điểm nằm trong tam giác đó sao cho MA2 = MB2 + MC2 . Hãy Tính góc BMC . A B C HƯỚNG DẪN M’ M Sắp xếp bộ ba các đoạn thẳng MA , MB , MC về vị trí các cạnh của tam giác vuông như sau : Thực hiện phép quay Q , tâm C , góc quay 600 theo chiều kim đồng hồ . Qua phép quay , ảnh của các điểm B và M lần lượt là A và M’ . khi đó D CMM’ đều , MB = M’A . Từ đó MA2 = MB2 + MC2 . Hay MA2 = MM’2 + M’A2 . Như vậy AM’M = 900 , suy ra AM’C = 900 + 600 = 1500 . Phép quay trên biến D CBM thành D CAM’ , từ đó D CBM = G CAM’ , suy ra : BMC = AM’C = 1500 . A B C 6/ Cho tam giác đều ABC , cạnh a , tâm O . Đường thẳng qua O cắt cắt các cạnh AB , AC , BC lần lượt tại các điểm M , N , P . Chứng minh rằng : HƯỚNG DẪN D E F O I Ta có : D IDO là tam giác đều . D BDO = D AIO và chúng là các tam giác cân Þ OD = OE = OF = m = 1/3 a . Aùp dụng định lý Talet ta có : hay . Ta lại có : BP2 = x2 + y2 + xy với BM = x ; BP = y . Do đó ta có : Þ ; Từ các hệ thức trên ta suy ra :