Giáo án lớp 10 môn Toán - Chuyên đề khảo sát hàm số

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ a. Hàm số bậc ba Bài 1. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 . Bài 2. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . Bài 3. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm . Bài 4. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Viết phương trình đường thẳng đi qua và tiếp xúc với đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Bài 5. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Viết phương trình đường thẳng đi qua và tiếp xúc với đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . Bài 6. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tìm m để đồ thị (C’) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . Bài 7. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc đồ thị (C) . Bài 8. Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình : . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại . Tìm tất cả những điểm sao cho ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C) . Bài 9. Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi . Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình : Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị . b. Hàm số trùng phương Bài 1. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . Bài 2. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 Bài 3. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Bài 4. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2. Bài 5. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Bài 6. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với đồ thị (C) . Bài 7. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 . Bài 8. Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình . Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình . Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại . Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị . Bài 9. Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại . Tìm m để hàm số có 1 cực trị . Bài 10. Cho hàm số (1)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . Tìm k để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Tìm m để hàm số có một điểm cực trị . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị . c. Hàm số hữu tỉ Bài 1. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến . Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm phân biệt . Bài 2. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm . Bài 3. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương . Bài 4. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên . Bài 5. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tt vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai . Viết phương trình đường thẳng qua điểm và tiếp xúc với đồ thị (C) . Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên . Bài 6. Cho hàm số (C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai . Viết phương trình đường thẳng qua điểm và tiếp xúc với đồ thị (C) . Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên . Bài 7. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với Oy Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên Bài 8/ Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu ; . Tìm quỹ tích các điểm cực đại. HDGiải: a/ Hàm số có cực trị khi m > 0 . b/ Ta có: . Vậy quĩ tích các điểm cực đại là phần đường thẳng y = 4x – 3 ứng với x < 1. Bài 9/ Cho hàm số: (C) a. Tìm m để (Dm): cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà cả hai điểm đó thuộc cùng một nhánh. b. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. HDGiải: a/ Phương trình: có một nghiệm x = 0 nên để hai giao điểm ở cùng một nhánh thì: . b/ Ta có: . Vậy quỹ tích trung điểm I của MN là nhánh bên phải của đths . Bài 10/ Cho hàm số: . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (D) có phương trình . HDGiải: Ta có: . Để hs có cực trị thì . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị thì . Do pt của đt đi qua hai điểm cực trị là . Để các điểm cực trị của đths đx nhau qua (D) thì: . Bài 11/ Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng . HDGiải: Đặt F(x,y)= 9x-7y-1. Hàm số có hai điểm cực trị là: A( -2; m – 4 ) và B( 4; m + 8 ). Để hai điểm cực trị này nằm về hai phía của đt trên thì: F(A).F(B)<0 ( - 7m – 21 )( 9 – 7m ) < 0 . Bài 12/ Cho hàm số (1) a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (D): luôn cắt đồ thị (1) tại một điểm A cố định. b) Tìm m để đường thẳng đó cắt (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. HDGiải: a/ Xét pt: . Như vậy khi m thay đổi thì (D) luôn cắt đths(1) tại điểm A( - 1; 2 ) cố định. b/ Để (D) cắt đths(1) tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác – 1; do đó m > - 9/4 và . Khi đó là hoành độ của B,C và là nghiệm của (*) . Ta có: . Để tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau thì (thỏa mãn đk). Đó chính là những gt của m cần tìm. Bài 13/ Cho hàm số (C) tìm trên đường thẳng x =1. Những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. HDGiải: Giả sử M(1;b) và pt của đt (D) đi qua M là: y = k(x – 1) + b. Để (D) là tiếp tuyến của (C) thì pt sau phải có nghiệm kép: ( vì pt không có nghiệm với x = 0 ) . Để qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau thì pt (*) phải có hai nghiệm có tích bằng -1 (TMĐK). Vậy trên đt x = 1 có 2 điểm TMYCBT là . Bài 14/ Cho hàm số: Tìm những điểm thuộc Oy mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới (C). HDGiải: Gọi và ptđt (D) qua M là y = kx + b. Để (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có nghiệm: Bài 15/ Cho hàm số: a. Tìm m để hàm số có cực trị. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu. b. Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau. HDGiải: a/ Ta có: . Để hs có cực trị thì pt y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác m (vì khi đó pt y’ = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt khác m ). Hai nghiệm của pt y’ = 0 là . Vậy pt của đt đi qua điểm CĐ và điểm CT là y = 2x + m. b/ Với thì đths luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ( vì ac = - 8 < 0 ). Gọi hoành độ của hai giao điểm này là . Để tt với đths tại hai giao điểm vuông góc với nhau thì: Bài 16/ Cho hàm số (C) Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số (C). HDGiải: Gọi ; đt (D) đi qua M có pt là: y = k(x - a). Để (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có nghiệm: . Để qua M có thể kẻ được 3 tt tới (C) thì pt sau phải có 3 nghiệm phân biệt . Do khi x = 1 và x = a nên để pt f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì: . Bài17/ Cho hàm số: a/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đths đều tạo với hai đường tiệm cận một đoạn thẳng mà tiếp điểm là trung điểm của nó. b/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. c/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. HDGiải: a/Do nên pttt với đths tại điểm là: . Tt này cắt các tiệm cận x = 1 và y = 1 tại các điểm: suy ra M là trung điểm của AB ( vì tọa độ trung điểm của AB bằng tọa độ của M ). b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận. Ta có không đổi ( đpcm ) c/ Ta có chu vi tam giác IAB: . Vậy chu vi tam giác IAB có giá trị nhỏ nhất bằng khi IA = IB tức . Như vậy trên đths có hai điểm TMYCBT là: . Bài 18/ Cho hàm số: Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M đến (D): nhỏ nhất. HDGiải: Giả sử . Vậy GTNN của k/c từ M tới (D) bằng khi ứng với hai điểm . Bài 19/ Cho hàm số: (C). Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. HDGiải: Gọi . Đặt . Dấu bằng xảy ra khi . Bài 20/ Cho hàm số: (C) và hai điểm A(0;1), B(3;7) trên (C). Tìm M thuộc cung AB của (C) sao cho diện tích ΔMAB lớn nhất. HDGiải: -Cách 1: pt đt AB là: 2x – y + 1 = 0 . Gọi Ta có nên BBT của hs như bên. Do đó: ứng với -Cách 2: Diện tích ΔMAB lớn nhất khi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) song song với AB. Gọi . Tiếp tuyến của (C) tại M song song với AB khi . --------------------------- o0o ------------------------C x 0 f’(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) 1 x 0 3 f’(x) + 0 - f(x) 0 0