Giáo án lớp 12 môn Đại số - Bài 1: Hàm số đồng biến và nghịch biến

I.HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Nhắc lại định nghĩa. f(x) đồng biến trên K nếu : f(x) nghịch biến trên K nếu : Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f’(x) > 0 đồng biến trên I b) Nếu f’(x) < 0 nghịch biến trên I c) Nếu f’(x) = 0 không đổi trên I * Chú ý: Nếu f(x) liên tục trên [a ; b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên (a ; b) thì hàm số f đồng biến trên [a ; b] * Nhận xét : Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng I. Nếu f’(x) ( hoặc f’(x) và f’(x) = 0 tại rời rạt một số điểm thuộc I thì f(x) đồng biến ( nghịch biến ) trên I. Cần nhớ : f(x) = ax2 + bx + c * . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a. . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a . Nếu thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 , ta có bảng xét dấu sau: x - x1 x2 + f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a af(f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < Đặc biệt: + + B.BÀI TẬP 1/ Xét chiều biến thiên của các hàm số: a) y = 4 + 3x – x2 b) y = 2x3 + 3x2 + 1 c) y = d) y = x3 - 2x2 + x + 1 e) y = - x3 + x2 – 5 f) y = x3 – 3x2 + 3x + 1 g) y = - x3 – 3x + 2 h) y = x4 – 2x2 + 3 k) y = - x4 + 2x2 – 1 l) y = x4 + x2 – 1 m) y = n) y = p) y = x + q) y = x - r) y = s) y = t) y = u) y = x + 2/ Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên tập xác định. y = x3 -3mx2 + (m + 2)x – 1 ĐS: y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m -1 ĐS: m = 3/ Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên tập xác định. a) y = - ĐS: b) y = ĐS: m 4/ Tìm m để các hàm số: y = x3 + 3x2 + (m – 1)x + 4m, nghịch biến trên khoảng (-1 ; 1) ĐS: m y = , nghịch biến trên khoảng (1 ; ĐS: m y = , đồng biến trên (1 ; + ĐS: m y = , nghịch biến trên từng khoảng xác định ĐS: y = , nghịch biến trên từng khoảng xác định ĐS: m y = , đồng biến trên khoảng (3 ; + ĐS: m 5/ a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = tanx – x đồng biến trên nữa khỏang b) Chứng minh rằng: II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. A.TÓM TẤT GIÁO KHOA. * Điểm cực trị : Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp và xo xo được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khỏang (a ; b) sao cho xo và f(x) < f(xo) Điểm cực tiểu của hàm số được định nghĩa tương tự. *Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị. Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm xo và hàm số f có đạo hàm tại điển xo thì f’(xo) = 0 (Hàm số f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm) * Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị. 1) Giả sử f liên tục trên khỏang (a ; b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khỏang (a ; xo) và (xo ; b). Khi đó: + Nếu f’(x) 0thì f đạt cực tiểu tại điểm xo. + Nếu f’(x) > 0 và f’(x) < 0thì f đạt cực đ ại tại điểm xo. 2) Giả sử f có đạo hàm cấp một trên khỏang (a ; b) chứa điểm xo , f’(xo) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo . Khi đó: + Nếu f’’(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo . + Nếu f’’(xo) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo. B. BÀI TẬP. 1. Tìm cực trị của các hàm só. 1) y = x2 – 3x - 4 2) y = -x2 + 4x – 3 3) y = 2x3 -3x2 + 1 4) y = 5) y = -2x3 + 3x2 + 12x – 5 6) y = x3 – 3x2 + 3x + 1 7) y = -x3 -3x + 2 8) y = 9) y = 10) y = x4 + 2x2 + 2 11) y = 12) y = 13) y = 1 - 14) y = 15) y = 16) y = 17) y = 18) y = x - 19) y = sin2x - 20) y = 2sinx + cos2x , [0 ; 2. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu. 1) Đ S: m 3 2) ĐS: 3) ĐS: 4) ĐS: 5) ĐS: m < 3 6) ĐS: m > 0 7) ĐS: m 8) ĐS: m 3. Tìm m để hàm số: 1) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị. ĐS: m > 0 2) y = x4 – (m + 1)x2 – 1 có 1 cực trị ĐS : m < - 1 3) y = mx4 + (m – 1)x2 + 1 – 2m có 3 cực trị ĐS : 0 < m < 1 4. Tìm m để hàm số: 1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1 2) đạt cực trị tại x = -1. ĐS : m = 3 3) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 3 4) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2 5) y = đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3 III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa: M = max f(x) M = minf(x) 2. Cách tìm GTLN- GTNN. a) Trên khỏang (a ; b) .Tìm TXĐ: D = (a ; b) .Tính y’ và cho y’ = 0, tìm x1, x2, (a ; b) và tính f(x1), f(x2),. .Lập BBT và kết luận. b)Trên đọan [a ; b] . Tính y’ và cho y’= 0, tìm x1, x2,..(a ; b) và tính f(x1), f(x2), .f(a), f(b). . Kết luận: M = maxf(x) = max { f(x1), f(x2), .f(a), f(b) } m = minf(x) = min { f(x1), f(x2),f(a), f(b) } * Chú ý: - Nếu f(x) tăng trên đọan [a ; b] thì Max f(x) = f(b) và minf(x) = f(a) - Nếu f(x) giảm trên đọan [a ; b] thì Maxf(x) = f(a) và minf(x) = f(b) B.BÀI TẬP. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 1) y = x2 – 2x + 2 2) y = -x2 + 4x + 1 3) y = x3 – 3x2 + 1 4) y = x2 + 2x – 5 trên đọan [-2 ; 3] 5) y = x2 – 2x + 3 trên đọan [2 ; 5] 6) y = x3 – 3x2 + 5 trên đọan [-1 ; 1] 7) y = trên đọan [-4 ; 0] 8) y = x4 – 2x2 + 3 trên đọan [-3 ; 2] 9) y = -x4 + 2x2 + 2 trên đọan [0 ; 3] 10) y = x4 – 2x2 + 1 trên đọan [1 ; 4] 11) y = trên đọan [2 ; 5] 12) y = x + trên khỏang (0 ; +) 13) y = x - trên nữa khỏang (0 ; 2] 14) y = trên đọan [1 ; 4] 15) y = trên đọan [-3 ; 3] 16) y = trên đọan [-8 ; 6] 17) y = 18) y = (x + 2) 19) y = trên đọan [1 ; 2] 20) y = x + 21) y = 2sinx + sin2x trên đọan [0 ; ] 22) y = cos2x + 4sinx trên [0 ; 23) y = 2sinx - sin2x trên [0 ; 24) y = 2cosx + x trên [0 ; 25) y = sin2x + 2sinx – 1 26) y = cos22x – sinxcosx + 4 27) y = sin3x – cos2x + sinx + 1 28) y = | x3 – 3x + 1| trên [0 ; 3] 29) y = | -x3 + 3x2 – 3| trên [1 ; 3] 30) y = 31) y = IV. TIẾP TUYẾN A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0) y = y’(x0)(x – x0) + y0 2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k. Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là: y = y’(x0)(x – x0) + y0 Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 và y0 . 3.Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua A(xA ; yA) Gọi là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k Phương trình của : y = k(x – xA) + yA. tiếp xúc (C) có nghiệm, nghiệm của hệ là hòanh độ tiếp điểm. B. BÀI TẬP. 1. Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : Tại điểm uốn của (C). Tại điểm có tung độ bằng -1 Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5. Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0. 2. Cho (C) : y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C): Tại giao điểm của (C ) với trục Ox. Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5. Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x. Tại giao điểm của hai tiệm cận. 3.Cho (C ) : y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): Tại điểm có hòanh độ x = 2. Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0. Vuông góc với tiệm cận xiên. 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C). a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0) b) y = đi qua điểm A(0 ; . c) y = đi qua điểm A(-6 ; 5) d) y = đi qua điểm A(2 ; 1). V. MỘT SỐ BÀI TÓAN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ. A. TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Giao điểm của hai đồ thị. Hòanh độ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) Do đó, số nghiệm phân biệt của (1) bằng số giao điểm của hai đường cong. 2. Sự tiếp xúc của hai đường cong. a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M(x0 ; y0 ) nếu chúng có tiếp chung tại M. Khi đó, M gọi là tiếp điểm. b) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm Nghiệm của hê trên là hòanh độ tiếp điểm. B.BÀI TẬP. 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị: a) y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và y = x + 1 b) y = x3 + 3x2 + 1 và y = 2x + 5 c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – 3 và y = x2 + 1 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x2 + mx + m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt 3) Tìm m để đồ thị hàm số y = cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt. 4) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 không cắt trục hòanh. 5) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hòanh tại 4 điểm phân biệt. 6) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y = a) Tại hai điểm phân biệt. b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.. 7) Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y = a) Tại hai điểm phân biệt . b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị. 8) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số y = a) Tại hai điểm phân biệt. b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh. 9) Chứng minh rằng (P) : y = x2 -3x – 1 tiếp xúc với (C) : . 10) Tìm m sao cho (Cm) : y = tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7. 11) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hòanh. 12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3. VI.KHỎANG CÁCH A TÓM TẮT GIÁO KHOA 1. Khỏang cách giữa hai điểm A(xA ; yA), B(xB ; yB) AB = 2. Khỏang cách từ một điểm Mo(xo ; yo) đến đường thẳng (: ax + by + c = 0 d(Mo , ( = Đặc biệt : + Nếu + Nếu ( + Trục Ox : y = 0 + Trục Oy : x = 0 B.BÀI TẬP. 1) Cho (C): y = . Tìm điểm M trên (C) cách đều hai trục tọa độ. 2) Cho (C) : y = . Tìm điểm M trên (C) sao cho khỏang cách từ M đến Ox bằng hai lần khỏang cách từ M đến Oy. 3) Cho (C) : y = . Chứng minh rằng tích các khỏang cách từ một điểm tùy ý trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là không đổi. 4) Cho (C) : y = . Tìm điểm M trên (C) sao cho tổng khỏang cách từ đó đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. 5) Cho (C) : y = . Tìm điểm M trên (C) sao cho khỏang cách từ đó đến giao điểm hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. 6) Cho (C) : y = . Tìm điểm M trên nhánh phải của (C) sao cho khỏang cách từ M đến Ox lớn hơn khỏang cách từ M đến Oy. 7) Cho (C) : y = . Tìm điểm M trên (C) để khỏang cách từ M đến đường thẳng (: 3x + y + 6 = 0 nhỏ nhất. 8) Cho (H) : y = . Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh của (H) sao cho khỏang cách giữa A và B nhỏ nhất. 9) Cho hàm số y = mx + có đồ thị là (Cm). Tìm m để hàm số có cực trị và khỏang cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 10) Cho hàm số y = có đồ thị là (Cm). Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu và khỏang cách giữa hai điểm đó bằng . 11) Cho (C) : y = . Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm A và B sao cho AB = 1