Giáo án lớp 12 môn Đại số - Bài 1: Số phức

BÀI 1: SỐ PHỨC Khái niệm số phức 1. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = -1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi. i: đơn vị ảo. a: phần thực. b: phần ảo. Chú ý: z = a + 0i (b = 0) = a được gọi là số thực . z = 0 + bi = bi (a = 0) được gọi là số ảo(số thuần ảo) và i = 0 + 1i được gọi là đơn vị ảo. 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo. Ví dụ: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau z = 2 + , z = -i 2/z = -3 + , z = -i3. 2. Hai số phức z = a + bi , z’ = a’ + b’i () gọi là bằng nhau nếu . ta viết z = z’. Ví dụ: Tìm các số thực x và y, biết: (2x +1) + (3y - 2)i = (x + 2) + (y + 4)i II. Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) (còn viết M(a + bi) hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức) (hình vẽ) y Gốc tọa độ O biểu diễn số 0 Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn các số thực Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn các số ảo b M Ví dụ: Biểu diễn hình học các số phức A(3 + 2i), B(2 – 3i), C(-3 – 3i), D(3i) E(-2i), F(4). 0 a x III. Phép cộng và phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi , z’ = a’ + b’i (). Ta có: Cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’) + (b +b’)i Trừ hai số phức: z – z’ = z + (-z’) = (a – a’) + (b – b’)i Chú ý: Phép cộng, trừ số phức có các tính chất tương tự như phép cộng, trừ số thực (kết hợp, giao hoán). Số đối của z = a + bi là – z = - a – bi Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức: biểu diễn số phức z = a + bi, biểu diễn số phức z’ = a’ + b’i thì biểu diễn số phức z + z’. biểu diễn số phức z - z’. Ví dụ: Tính tổng và hiệu hai số phức: (3 + i) và (2 – 3i), (1 – 2i) và (2 + 2i), (2 – 2i) và (-2 + 3i). IV. Phép nhân số phức Tích của hai số phức z = a + bi , z’ = a’ + b’i () là số phức zz’ = (a + bi)( a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i Chú ý: Phép nhân số phức có các tính chất tương tự như phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán và phân phối). Ví dụ: Tính (2 - i)(1 + 2i), (2 + i)(2 - i), (2 + i)(1 + 2i), V. Số phức liên hợp và môđun của số phức: 1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi là . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau 2 + 3i, - 4 - , i, -i Chú ý: Hai số phức liên hợp các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục thực Ox. . . 2) Môđun của số phức: Môđun của số phức z = a + bi là số thực không âm và được kí hiệu là |z| (không phải trị tuyệt đối). Như vậy: Chú ý: và |z| = 0 . . Ví dụ: Tính môđun của các số phức sau 2 + 3i, -4 - , i, -i VI. Phép chia cho số phức khác 0. Để tính ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với (nhân tử và mẩu với số phức liên hợp của mẩu). Với , = và . Ví dụ: Tính Bài tập: Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau: (4 - i) + (2 + 3i) – (5 + i). (1 + i)2 – (1 - i)2. (2 + i)3 – (3 - i)3. (i + 1)2(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. (CĐ2009) . . Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi số phức sau: a/ b/ Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức đối và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: . . . . f/ Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: . . . . Tìm số phức z thỏa mãn: . Tìm số phức z thỏa mãn: và (ĐHKB – 2009) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: . . . (ĐHKD – 2009) . BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC Căn bậc hai của số phức. Định nghĩa: Cho số phức z’. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = z’ được gọi là một căn bậc hai của z’. Trường hợp z’ là số thực: Z’ = a = 0. Có đúng một căn bậc hai là 0. Z’ = a khác 0. a > 0: z’ có hai căn bậc hai là . a < 0: z’ có hai căn bậc hai là Trường hợp z’ = a + bi , b khác 0. z = x + yi là căn bậc hai của z’ khi và chỉ khi . Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z của số phức z’. Ví dụ: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau: -1, -i2, - 5 + 12i, i. , , Phương trình bậc hai. Mọi phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (1) (a,b,c là số phức cho trước, a khác 0) đều có hai nghiệm phức ( có thể trùng nhau). Việc giải phương trình được tiến hành tương tự như trong trường hợp a,b,c là những số thực. cụ thể: Xét biệt thức . Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó là một căn bậc hai của .(nếu <0 ) Nếu thì phương trình (1) có nghiệm kép . S=z1+z2=; P=z1.z2 = Khi đó z1,z2 cũng là nghiệm của pt : Z2-S.Z+P=0 VD/Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức : a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. ; g. ; h. . BT: Giải các phương trình sau: z2 – z + 1 = 0. z2 + (-2 + i)z – 2i = 0. z2 = z + 1. z2 + 2z + 5 = 0. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0. 8z2 – 4z + 1 = 0,( TNPT – 2009 ) 2z2 – iz + 1 = 0. 16/. (CĐ – 2009 phần ban NC) 17/z2 + 2z + 10 = 0 (z1 và z2 là nghiệm). Tính giá trị biểu thức (ĐHKA – 2009) 18/. 9/ 10/(2 + 3i)z = z – 1. 11/. 12/. 13/. 14/. 15/. 19/. 20/ 21/. 22/. 23/. 24. Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. 25. Tìm các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm. 26. Tìm các số thực a, b, c để phương trình z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2 làm nghiệm. ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 4 (Tham khảo) Đề 1: Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính: a/ b/ (2-5i)+ Câu 2: (3điểm) Tìm số phức z,biết và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: z4+z2-3=0 Đề 2: Câu 1:Thực hiện các phép tính : a/ (2-3i)(1+2i)+ b/ Câu 2: Giải phương trình: (1+i)z+(2-i)(1+3i)=2+3i Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3. Đề 3: Câu 1: Thực hiện các phép tính a/ b/ Câu 2: Giải các pt sau: a/ 2z2+3z+4=0 b/(z+3-i)2-6(z+3-i)+13=0 Câu 3: Không giải pt z2+(2-i)z+3+5i=0 hãy tính z12+z22 Đề 4: Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính: a/ b/ (1+2i)3 Câu 2: (3điểm) Tìm số phức z,biết Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: z4+3=0 Đề 5: Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính: a/ b/ (1+i)+ Câu 2: (3điểm) Lập pt bậc hai có hai nghiệm phức là z1=6-i ; z2=4+3i Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 2z4+3z2-5=0