Giáo án lớp 12 môn Đại số - Bài 7: Tiệm cận và khoảng cách

Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 62 BÀI 7. TIỆM CẬN VÀ KHOẢNG CÁCH A. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG I. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1. Điểm chạy ra vô tận: M(x, y) → ∞ ⇔ x y x y → ∞  → ∞  → ∞  → ∞ 2. Định nghĩa tiệm cận Cho đường cong (C): y = f (x) và đường thẳng (D). Lấy M bất kì ∈ C). Gọi H là hình của M lên đường thẳng (D). Khi đó ta nói đường thẳng (D) là tiệm cận của đường cong (C) ⇔ ( )M ,lim 0x y MH→∞ = 3. Nhận xét: Đường cong (C): y = f (x) chỉ có thể có tiệm cận ⇔ Miền xác định hoặc miền giá trị của hàm số y = f (x) phải chứa ∞ ⇔ Đường cong (C): y = f (x) phải có nhánh chạy ra vô tận. Tuy nhiên có những hàm số có nhánh chạy ra vô tận nhưng vẫn không có tiệm cận. II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIỆM CẬN Cho đường cong (C): y = f (x). Xét các dấu hiệu với các tiệm cận tương ứng 1. Tiệm cận đứng: ( )lim x a f x x a → = ∞ ⇔ = là tiệm cận đứng 2. Tiệm cận ngang: ( )lim x f x b y b →∞ = ⇔ = là tiệm cận ngang 3. Tiệm cận xiên: ( ) ( )lim 0 x f x ax b y ax b →∞  − + = ⇔ = +  là tiệm cận xiên (a ≠0) O x y M1 M 2M ... nM ... H 2 H 1H H n ... ... (D) (C): y=f(x) y xO H 11 M M H 2H nH M2 nM . . . . . . .. . .. . x0 0f(x ) a b f(x )0 0x Mn 2M M M1 1H O x y H2 HnH ... ... ... ... ... ... nH H 1 H 2H ...Mn ... M2 M 1M y xO ax +b0 x0 0f(x ) K www.VNMATH.com Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách 63 III. TIỆM CẬN CỦA HÀM PHÂN THỨC: Xét hàm số ( ) ( )( ) u xy f x v x = = 1. Tiệm cận đứng: Bước 1: Giải phương trình ( ) { }1 20 , ,..., nv x x x x x= ⇔ ∈ Bước 2: Nếu ( ) ( ) 0 0 k k u x v x  ≠  = thì ( )( )limk kx x u x x x v x→ = ∞ ⇔ = là 1 tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: Bước 1: Dấu hiệu nhận biết ( ) ( ) MXÐ: u x v x ∞  ≤ chøa BËc BËc Bước 2: Xét giới hạn ( )( )limx u x b y b v x→∞ = ⇔ = là tiệm cận ngang. 3. Tiệm cận xiên: Bước 1: Dấu hiệu nhận biết ( ) ( ) MXÐ: 1u x v x ∞  = + chøa BËc BËc Bước 2: Tìm tiệm cận: Cách 1: Phương pháp tổng quát Xét giới hạn ( ) lim x f x a x→∞ = ®Æt ; ( )lim x f x ax b →∞  − =  ®Æt . Kết luận: (C) có tiệm cận xiên là: y = ax + b Cách 2: Phương pháp chia đa thức (Sử dụng hàm phân thức hữu tỷ) Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: ( ) ( )( ) ( ) ( ) u x w xf x ax b v x v x = = + + với ( ) ( )deg degw x v x< Bước 2: ( ) ( ) ( )( )lim lim 0x x w xf x ax b v x→∞ →∞  − + = =  . Vậy (C) có tiệm cận xiên là: y = ax + b. IV. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Tìm m để ( ) ( ) 2: xC y f x x m = = − có tiệm cận. Giải.
Với m = 0 thì ( ) 2 0xf x x x x = = ∀ ≠ ⇒ (C) không có tiệm cận.
Với m ≠ 0 thì ( ) 2lim x m xf x x m→ = = ∞ − ⇒ Tiệm cận đứng x = m. Vậy với m ≠ 0 thì hàm số luôn có tiệm cận. Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của (C): ( ) 2 1 xy f x x mx = = − + Giải. ( ) 2lim lim 01x x xf x x mx→∞ →∞ = = − + ⇒ (C) có tiệm cận ngang y = 0. www.VNMATH.com Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 64 Xét phương trình ( ) 2 1g x x mx= − + = 0 (1). Ta có: 2 4g m∆ = − . • Nếu 2 2m− 0 ∀x ⇒ (C) không có tiệm cận đứng. • Nếu 2m = − thì (1) có 1 nghiệm x = −1 ⇒ ( ) 1 lim x f x →− = −∞ ⇒ TCĐ: x = −1 • Nếu 2m = thì (1) có 1 nghiệm x = 1 ⇒ ( ) 1 lim x f x → = +∞ ⇒ TCĐ: x = 1 • Nếu 2 2m m> ∨ < − thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 1,2 4 0 2 m m x ± − = ≠ ⇒ ( ) ( ) 1 2 lim ; lim x x x x f x f x → → = ∞ = ∞ ⇒ (C) có 2 tiệm cận đứng 1 2 và x x x x= = Bài 3. Tìm m để ( ) ( ) 22 3: x x mC y f x x m − + = = − không có tiệm cận đứng. Giải. Hàm số không có tiệm cận đứng ⇔ ( ) 22 3 0u x x x m= − + = có nghiệm x = m ⇔ ( ) ( )22 3 0 2 1 0 0 1u m m m m m m m m= − + = ⇔ − = ⇔ = ∨ = Bài 4. Tìm tiệm cận của ( ) ( ) 2 6 2: 2 mx xC y f x x + − = = + Giải. • Xét m = 0 thì 6 22 xy x − = + , khi đó: 2 6 2lim 2x x x→− − = ∞ + ⇒ Tiệm cận đứng x = −2. ( )6 2 14lim lim 6 62 2x xxx x→∞ →∞− = − =+ + ⇒ Tiệm cận ngang y = 6. • Xét m ≠ 0: Ta có: ( ) 2 6 2 4 146 22 2 mx x mf x mx m x x + − − = = + − + + + Nếu 74 14 0 2m m− = ⇔ = thì ( ) 7 1 22f x x x= − ∀ ≠ − nên không có tiệm cận Nếu 72m ≠ thì 4 14 0m − ≠ ⇒ ( ) 2 lim x f x → − = ∞ ⇒ Tiệm cận đứng x = −2. ( ) ( ) 4 14lim 6 2 lim 02x x mf x mx m x→∞ →∞ − − + − = =  + ⇒ TCX: 6 2y mx m= + − . Kết luận: Nếu m = 0 thì (C) có TCĐ: x = −2 ; TCN: y = 6. Nếu 72m = thì (C) không có tiệm cận. Nếu 70; 2m m≠ ≠ thì (C) có TCĐ: x = −2 ; TCX: 6 2y mx m= + − www.VNMATH.com Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách 65 B. KHOẢNG CÁCH I. TÓM TẮT CÔNG THỨC 1. Khoảng cách giữa 2 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 M , N , x y MN x x y y x y  ⇒ = − + −  2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ( ) ( ) ( )0 0 0 0 2 2 M , M, : 0 x y Ax By C d A BAx By C  + + ⇒ ∆ = +∆ + + = §iÓm Các trường hợp đặc biệt: Nếu (∆): x = a thì d(M, ∆) = |x0 − a| Nếu (∆): y = b thì d(M, ∆) = |y0 − b| Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là: ( ) 0 0Md x y= + 3. Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong
Định nghĩa: Cho đồ thị (C) và đường thẳng (∆). Lấy bất kỳ M∈(C) và N∈(∆), khi đó d(∆, C) = Min MN
Bài toán: Cho (C): y = ƒ(x) và (∆): Ax + By + C = 0. Tìm d(∆, C)
Phương pháp: Cách 1: Lấy bất kì M(x0, y0)∈(C) ⇒ y0 = ƒ(x0) Tính d(M, ∆) = 0 0 2 2 Ax By C A B + + + . Khi đó ( ) ( ), Min M,d C d∆ = ∆ Cách 2: Bước 1: Viết PT tiếp tuyến (t) của (C) // (∆) ⇒ Tiếp điểm A(x0, y0) Bước 2: ( ) ( ), ,d C d A∆ = ∆ 4. Diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa độ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 21 1 2 2 Diên tích tam giác OAB 1 1det , 2 2O 0, 0 ; A , ; B , x y S OA OB x yx y x y  ⇒ = =  i    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 1 3 11 1 2 2 3 3 Diên tích tam giác ABC 1 1det , 2 2A , ; B , ;C , x x y y S AB AC x x y yx y x y x y  − − ⇒ = = − − i    II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. a. Cho A(3, 0). Tìm điểm M ∈ (P): 2y x= để AM nhỏ nhất. b. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AM ⊥ tiếp tuyến của (P) tại M. Giải a. Gọi ( )2M ,m m ∈(P) ⇒ 2 4 2 6 9AM m m m= + − + Cách 1: Đặt ( ) 4 2 6 9g m m m m= + − + . Ta có: ( ) 34 2 6 0g m m m′ = + − = www.VNMATH.com Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 66 ⇔ ( ) ( )21 2 2 3 0 1m m m m− + + = ⇔ = . Lập BBT suy ra Min g(m) = g(1) = 5 ⇒ Min 5AM = xảy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1) Cách 2: ( ) ( )2 22 4 2 26 9 1 3 1 5 5AM m m m m m= + − + = − + − + ≥ ⇒ Min 5AM = ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1) Cách 3: 2 4 2 1 1 1 1 6 5AM m m m= + + + + + − + 6 4 26 . .1.1.1.1 6 5m m m≥ ⋅ − + 6 6 5 5m m= − + ≥ ⇒ Min 5AM = xảy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1) b) Tiếp tuyến của (P) tại M có hệ số góc là: ( )1 2k y m m′= = Đường thẳng AM có hệ số góc là: 2M 2 M 0 3 3 y mk x m − = = − − ⇒ 3 1 2 2 . 3 mk k m = − Khi AM min thì m = 1 ⇒ 1 2 2.1 . 1 1 3k k = = −− ⇒ AM ⊥ tiếp tuyến tại M của (P) Bài 2. Cho (P): ( ) 22 3 1y f x x x= = − + và (∆): y = x − 5. Tìm điểm M∈(P), N∈(∆) sao cho MN nhỏ nhất. Giải: Lấy ( )2M , 2 3 1m m m− + ∈ (P) và ( )N , 5n n − ∈ (∆). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 22 2 2M N 2 3 1 5 2 2 3m n m m n m n m n m m ⇒ = − + − + − + = − + − + − +  ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 22 2 3 2 2 3 2 1 2 8 M N 2 2m n m m m m m  = − + − + + − + ≥ − + ≥ ⇒ ≥   Dấu bằng xảy ra ⇔ 1, 3m n= = . Suy ra ( ) ( )M 1,0 và N 3, 2− Bình luận: Có thể giải bằng phương pháp hình học theo các bước sau đây: − Vẽ đồ thị và nhận xét (∆) và (P) không cắt nhau. − Viết phương trình tiếp tuyến (t) của (P) // (∆), tiếp xúc nhau tại M − Gọi N là hình chiếu của M lên (∆), chứng minh MN là khoảng cách ngắn nhất bằng lý luận hình học. Bài 3. Tìm điểm M ∈ (H): ( ) 3 5 2 xy f x x − = = − để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (H) là nhỏ nhất. Giải: y = ( ) 3 5 13 2 2 xf x x x − = = + − − ⇒ TCĐ: x = 2 ; TCN: y = 3. Lấy ( )1M ,3 2m m+ − ∈(H), khi đó tổng k/c từ M đến 2 tiệm cận của (H) là: ( ) M M 1M 2 3 2 22d x y m m= − + − = − + ≥− ; Dấu bằng ⇔ ( ) ( ) M 1, 2 2 1 M 3, 4 m  − = ⇔   3 9 1-1 1 0 O y x A B M H M www.VNMATH.com Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách 67 Bài 4. Tìm điểm M ∈ (H): ( ) 1 1 xy f x x − = = + để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ Ox, Oy là nhỏ nhất. Giải: Lấy ( )1M , 1mm m −+ ∈(H), tổng k/c từ M đến Ox, Oy là: ( ) M M 1M 1 md x y m m − = + = + + . Để ý rằng với M(1, 0) thì d(M) = 1, do đó để tìm Min d(M) ta chỉ cần xét khi 1 1 1 0 11 1 1 11 m m mm m mm  < − < <  ⇔ ⇔ < < − < − < + + ( ) ( ) ( )1 2 2M 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 md m m m m m m − = + = + + − ≥ + ⋅ − = − + + + Suy ra ( ) ( )Min M 2 2 1d = − xảy ra ⇔ ( )2 1 M 2 1,1 2m = − ⇔ − − Bài 5. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C): ( ) 4 93 xy f x x − = = − các điểm M1, M2 để độ dài M1M2 là nhỏ nhất. Giải: ( ) 4 9 343 3 xy f x x x − = = = + − − ⇒ TCĐ: x = 3 ; TCN: y = 4 Gọi ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 M , nhánh trái (C) M , nhánh (C) x y x y  ∈  ∈ cña ph¶i cña . Do 1 23x x< < nên đặt 1 2 3 ; 0 3 ; 0 x x = − α α >  = + β β > ⇒ 1 2 3 34 ; 4y y= − = + α β ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 2 1M M x x y y= − + − ( ) ( ) ( )2 2 22 23 3 3 61 2 24    = α + β + + = α + β + ≥ αβ ⋅ =    α β αβ αβ     1 2Min M M 2 6= ⇔ 3α = β = ⇒ ( ) ( )1 2M 3 3, 4 3 ; M 3 3, 4 3− − + + Bài 6. Cho đồ thị (C): ( ) 2 5 153 x xy f x x + + = = + . Tìm M∈(C) để khoảng cách từ M đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M đến Oy Giải: Khoảng cách từ M(x, y) đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M(x, y) đến Oy ⇔ 2 2y x y x= ⇔ = ± . Xét 2 khả năng sau:
2 2 2 2 9 92 3 2 0 3 11 15 03 3 y x y x y x y x x x x x x = − = −  = −   ⇔ ⇔   = + + + + = + + =  + +  ⇔ x ∈ ∅ y O x -1 1-1 1 M H K www.VNMATH.com Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 68 • 2 1 612 2 2 29 92 2 0 15 03 3 1 61 y x y x y x x y x x x x x x y  − ±= =  = =    ⇔ ⇔ ⇔    = + + − − = + − =  + +  = − ± Bài 7. Tìm điểm M ∈ (C): ( ) 2 63 x xy f x x + − = = − để khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ Ox, Oy là nhỏ nhất. Giải: Lấy ( )( )M ,m f m ∈(C) ⇒ ( ) ( ) 2 6 6M 43 3 m md m f m m m m m m + − = + = + = + + + − − Do M0(2, 0) thì d(M0) = 2 nên để tìm Min d(M) ta chỉ cần xét khi 2m ≤ . Xét 2 khả năng sau: • Nếu −2 ≤ m ≤ 0 thì ( ) ( ) ( )6 6M 4 43 3d g m m m m m= = − + + + = +− − ( ) ( )2 6 0 3 g m m − ′ = < − ⇒ ( ) ( ) ( )Min M Min 0 2d g m g= = = • Nếu 0 ≤ m ≤ 2 thì ( ) ( ) ( )6 6M 4 2 43 3d h m m m mm m= = + + + = + +− − ( ) ( )2 62 0 3 3 3 h m m m ′ = − = ⇔ = ± − Nhìn bảng biến thiên suy ra: ( ) ( ) ( ) ( )Min M Min 0 2 2d h m h h= = = = ⇔ 0 2m m= ∨ = ⇔ M(0, 2), M(2, 0) Bài 8. Tìm M ∈ (C): 2 2 21 x xy x + − = − để khoảng cách từ M đến giao 2 đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. Giải: ( ) 13 1 y f x x x = = + + − ⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = x + 3 ⇒ I(1, 4) Lấy M(a + 1, b)∈(C) với a ≠ 0 ⇒ 14b a a = + + ; ( ) ( )2 21 1 4IM a b= + − + − ⇒ ( ) ( )22 2 2 22 21 1 12 2 2 2 2 2 1 2IM a a a aa a a= + + = + + ≥ ⋅ + = + ⇒ ( )Min 2 1 2IM = + xảy ra ⇔ 2 22 41 1 12 2 2 2a a aa ± = = ⇔ = ⇔ = 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1M 1 , 4 2 M 1 , 4 2 2 2 2 2    ⇔ − − − + + +        hoÆc x 0 3 3− 2 f ′ + 0 − f 2 10 4 3− 2 www.VNMATH.com Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách 69 Bài 9. Tìm M ∈ (C): 2 3 32 x xy x + + = + để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. Giải: ( ) 2 3 3 112 2 x xy f x x x x + + = = = + + + + ⇒ TCĐ: x + 2 = 0 ; TCX: x − y + 1 = 0 Lấy M(x0, y0)∈(C), khi đó tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) là: ( ) 0 0 40 0 0 0 0 1 1 1M 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 x y d x x x x x − + = + + = + + ≥ + ⋅ = + + ⇒ ( ) 4Min M 8d = xảy ra ⇔ 4 0 04 4 0 81 1 12 222 2 2 2 x x x + = = = ⇔ = − ± + 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1M 2 , 1 2 M 2 , 1 2 2 2 2 2    ⇔ − − − − − − + − + +        hoÆc Bài 10. Tìm trên mỗi nhánh của (C): ( ) 2 2 51 x xy f x x − + − = = − các điểm M1, M2 để độ dài M1M2 là nhỏ nhất. Giải: ( ) 41 1f x x x= − + − − ⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = −x + 1 Gọi ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 M , nhánh trái (C) M , nhánh (C) x y x y  ∈  ∈ cña ph¶i cña . Do 1 21x x< < nên đặt 1 2 1 ; 0 1 ; 0 x x = − α α >  = + β β > ⇒ 1 2 4 4;y y= α + = −β − α β ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 2 1M M x x y y= − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 84 4 4 41 1 2 1      = α +β + −β − − α − = α +β + + = α +β + +      β α αβ αβ     αβ  ( ) ( ) ( )1 22 2 88 4 42 4 2 8 32 2 1 M M 4 2 1 2  ≥ ⋅ αβ + = αβ + = + ⇒ ≥ +  αβ αβ αβ αβ   Suy ra ( )1 2Min M M 4 2 1 2= + xảy ra ⇔ ( )2 40 và 8 8α = β > αβ = ⇔ α = β = ⇒ ( ) ( )4 44 4 4 41 2M 1 8, 8 2. 2 ;M 1 8, 8 2. 2− + + − − Bài 11. Cho (Cα): ( ) 23 cos 4 sin 7 1 x xy f x x α + α + = = − (cosα ≠ 0). Tìm α để khoảng cách từ O(0, 0) đến tiệm cận xiên của (Cα) là lớn nhất. Giải: ( ) 23 cos 4 sin 7 4sin 3cos 73 cos 4sin 3cos1 1 x xf x x x x α + α + α + α + = = α + α + α + − − www.VNMATH.com Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 70 ⇒ TCX (∆): 3 cos 4sin 3cosy x= α + α + α ⇔ 3 cos 4sin 3cos 0x yα − + α + α = ( ) 2 2 2 4 10.sin 3. 10 cos4sin 3cosO, 9cos 1 10 sin 10cos d α + αα + α∆ = = α + α + α ( ) ( )2 2 2 2BCS 2 2 4 10 3 sin 10cos 13 1010 sin 10 cos  + α + α ≤ = α + α ⇒ ( ) 13Min O, 10 d ∆ = Dấu bằng xảy ra ⇔ ( )4 10sin 40 40tg arctg3 3 310 cos k k α = ⇔ α = ⇔ α = + pi ∈ α  Bài 12. Cho đồ thị (C): ( ) 22 11 x xy f x x − + = = − . Tìm ( )1 1M ,x y ∈(C) với 1 1x > để khoảng cách từ M đến giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất. Giải: ( ) 22 1 22 1 1 1 x xf x x x x − + = = + + − − ⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = 2x + 1 ⇒ I(1, 3) Lấy M(1 + a, b)∈(C) với a > 0 ⇒ 23 2b a a = + + . Khoảng cách từ M đến I(1, 3) là: ( ) ( )2 21 1 3IM a b= + − + − ⇒ ( ) ( )22 2 2 22 22 4 42 5 8 2 5 8 4 2 5IM a a a aa a a= + + = + + ≥ ⋅ + = + Suy ra Min 2 2 5IM = + xảy ra ⇔ 2 22 4 4 2 25 2 5 5 20 a a a a = = ⇔ = ⇔ = 4 4 4 202 4M 1 ,3 220 20   ⇔ + + +    Bài 13. (Đề thi TSĐH khối A năm 2005) Tìm m để hàm số 1y mx x = + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 1 2 . Giải. Hàm số có cực trị 2 1 0y m x ′⇔ = − = có 2 nghiệm phân biệt 0m⇔ > . Khi đó đồ thị có điểm cực tiểu là 1 ; 2M m m       và khoảng cách đến tiệm cận xiên y mx= hay 0mx y− = là ( ) 2 2 2 2 1 , 2 1 0 1 21 1 m m md M d m m m m m − = = = ⇔ − + = ⇔ = + + www.VNMATH.com