Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chuyên đề Dạng lượng giác của các số phức

Equation Chapter 1 Section 1 Lê Đức Tình-Quảng Ninh. Chuyên đề: Dạng lượng giác của số phức. Tóm tắt kiến thức cơ bản : Cho số phức z=ax+b; a,bẻ R. Với mỗi số phức z, tương ứng 1-1 với một điểm M(a;b) trong mặt phẳng ,và mỗi điểm M(a;b) lại có sự tương ứng 1-1 với một vectơ OM Acgumen của số phức z: số đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một acgumen của số phức y M(z) j O x z. Nếu j là một acgumen của z, thì mọi acgumen của z có dạng j+k2p, kẻZ Kí hiệu r là môdun của z thì r = |z| =, r > 0. a=rcosj , b=rsinj. Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z = r(cosj+isinj) ã Dạng lượng giác của số đối của số phức z là -z = - r(cosj+isinj) hay –z = r[cos(p+j)+íin(p+j)]. ã Số phức liên hợp `z của số phức z có dạng lượng giác là : `z =a – bi = r(cosj - isinj) hay `z = r[cos(-j) + isin(-j)] *Các phép tính với số phức ở dạng lượng giác: Kí hiệu z1=r1(cosj1+isinj1) ; z2=r2(cosj2+isinj2) thì: ã z1.z2=r1.r2[cos(j1+j2)+isin(j1+j2) ã [cos(j1-j2)+isin(j1-j2)] Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z-1(nghịch đảo của z) là: ã z-1=[cos(-j)+isin(-j)] *Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Số phức z = r(cosj+isinj) có hai căn bậc hai là và - = , với r > 0. *Căn bậc n của số phức z có n giá trị khác nhau zk : zk = với k = 0,1,2,n-1. B. Bài tập : 1. Tìm acgumen của các số phức sau: a) -1 + i b) cosj - isinj c) -sinj -icosj Tìm một acgumen của các số phức sau: -2+2i cos-isin c)-sin -icos 1- sinj +icosj 3. Tìm dạng lượng giác của các số phức sau : a) 1 + i; b) 1-i; c) 1+i d) (1-i)(1+i) e) ; f) 2i.( -i) 4. Tìm dạng lượng giác của các số phức sau : a) sinj + i2sin2; b) cosj + i(1+sinj) 5.Viết số phức sau dưới dạng lượng giác : z = (tan1-i)4 6. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức là số thực, là số ảo ? 7. Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau : a) cosj -isinj b) sinj+icosj c) sinj -icosj Với j ẻ R cho trước. 8. Chứng minh rằng : Nếu z + z-1 = thì : z1996 + z-1996 = -1 9. Sử dụng công thức Moivre để tính : a) cos3j và sin3j theo các lũy thừa của sinj và cosj . b) cos4j và sin4j theo các lũy thừa của sinj và cosj . c) cos5j và sin5j // . 10. Dùng công thức khai triển của nhị thức Niu-tơn (1+i)19 và công thức Moivre để tính C . Hướng dẫn giải và đáp số : 1. a) Gọij là acgumen của số phức z : z = -1 + i = (-+ i) .Từ đó j = 3 +k2p b) z = cosj -isinj = cos(-j) +isin(-j). Từ đó số phức z có acgumen là: -j + k2p c) z = -sin j-icos j -sinj = sin(p+j) =cos(--j) -cosj = -sin(-j) = sin(--j) Vậy z có acgumen bằng : --j +k2p 2. a) z = -2+2 = 4(- + i) . Từ đó z có một acgumen là b) z = cos - isin = cos(-)+ isin(-) . Từ đó z có một acgumen là - c) -sin = - cos3 = cos5 = cos(-5) và -cos = -sin3 = - sin5 =sin(-5) Vậy z = cos(-5) +i sin(-5) .Từ đó z có một acgumen là -5 d) Vì 1-sin j = 1 – cos (-j) = 2sin2(-) và cos j = sin(-j) =2sin(-)cos(-) Vậy z =2sin(-)[sin(-) + icos(-)] = 2sin(-)[cos(+) + isin(+)]. Từ đó : số phức z có một acgumen là + 3. a) z = 1+i = 2( + i) = 2(cos + isin) b) đs : z =2[cos(-) +isin(-)] c) z = 1+i =(cos+isin) d) z = (1-i)(1+i) = 2[cos(-)+isin(-)] = 2[cos(-) +isin(-)] e) z = = [cos(-) + isin(-) f) z = 2i.( -i) = 2(cos+isin).2[cos(-)+isin(-)]=4(cos+isin) 4. a) z = sinj +i2sin2 = 2sin(cos+isin). (*) Từ đó : ã Nếu sin > 0 , thì hệ thức (*) chính là dạng lượng giác của só phức z. ã Nếu sin = 0, số z có dạng lượng giác không xác định. ã Nếu sin < 0, thì số z có dạng lượng giác là : z =-2sin[cos(+p)+isin(+p)] b) z = cosj +i(1+sinj) =sin(j + ) +i[1- cos(j+)] = 2sin(+).[cos(+) + isin(+)] (*) Từ đó : ã Nếu sin(+) > 0, thì hệ thức (*) là dạng lượng giác của số phức z. ã Nếu sin(+) = 0 thì số phức z có dạng lượng giác không xác định. ã Nếu sin(+) <0, thì số phức z có dạng lượng giác là : z = -2sin(+)[cos(+) +isin( + )] 5. Tìm mođun của tan1 - i : |tan1-i|= = Tìm acgumen j của tan1-i : tan1 –i = cosj+isinj ịtanj = ị j = +1 +kp với kẻ z. Vì điểm M(z) =(tan1; -1) thuộc góc vuông thứ tư của mặt phẳng tọa độ , nên : j = +1+p n2p. Vậy tan1 –i = [cos(3 +1) +isin(3+1)] Do đó : z = (tan1-i)4= (cos4 +isin4) 6. Vì nên theo công thức Moivre : z = Từ đó : ã z là số thực Û sin = 0 Û n =6k (k là số nguyên dương) ã z là số ảo Û cos=0 Û n =6k + 3 (k là số nguyên không âm) 7. a) cosj-isinj = cos(-j) +isin(-j). Vậy cosj-isinj có hai căn bậc hai là và cos+isin b) đs : cos+isin và cos+isin c) đs : cos+isin và cos+isin 8. Từ giả thiết : z+z-1 = dẫn đến phương trình : z2-z+1 = 0. Phương trình này có hai nghiệm là z1,2 = hay : z = cos30°±isin30° Sử dụng công thức Moivre : z1996 = cos(1996.30°)±isin(1996.30°) z-1996 = Suy ra z1996+z-1996 = 2cos(1996.30°) =2cos(120°+166.360°)=2cos120°=2.(-0,5)=-1 9. b) cos4j + isin4j = (cosj +isinj)4 = cos4j + 4(cos3j)(isinj) +6(cos2j)(i2sin2j) + 4(cosj)(i3sin3j) + i4sin4j = cos4j -6cos2jsin2j +sin4j +(4cos3jsinj- 4cosjsin3j)i Từ đó : cos4j = cos4j – 6cos2jsin2j +sin4j sin4j = 4cos3jsinj -4cosjsin3j đs : cos3j = 4cos3j – 3cosj sin3j = 3sinj -4sin3j 10. (1+i)19 =() +() Phần thực ở vế phải là : Mặt khác , (1+i)19 = = Vậy = - 29 =-512