Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ PHẦN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Phương pháp 1: Phương pháp thế 1) 2 2 4 2 1 log 2log2 log 1 2 2 x y x xy  + = + +     − = +     ðK: 2; 0x y> − ≠ Phương trình thứ hai của hệ tương ñương : log log4 log 1 4 2 2 xy y x − = + ⇔ = +    thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: 23 2x x= + Giải ñược 1 5 2 x y= ⇒ = 2) 2 2 1 2 2 3 1 0 2 2 5x y x y xy y + +  − − − − =  + = - Coi phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn x, y là tham số giải ñược x=-y-1 hoặc x=2y+1 -Nếu x=-y-1 thế vào phương trình thứ hai ta ñược: 22 2 5y y− ++ = . Giải ñược ( ) ( ) ( ); 1;0 ; 1; 2x y = − − -Nếu x=2y+1 thế vào phương trình thứ hai ta ñược 2 2 22 2 5y y+ ++ = . Giải ñược ( ) ( ) ( )( )2 2; 2log 6 1 1;log 6 1 1x y = − − − − 3) 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y +  = −   + = + (ðH_Khối D 2002) Từ phương trình thứ hai của hệ rút ñược 2xy = thế vào phương trình thứ nhất ta ñược 3 25 4 0y y y− + = Từ ñó giải ñược ( ); (0;1);(2;4)x y = 4) ( )1 44 2 2 1log log 1 25 y x y x y  − − =   + = (ðH_Khối A 2004) ðK: y>0;y>x Từ phương trình thứ nhất của hệ rút ñược 4 3 y x= Từ ñó giải ñược (x;y)=(3;4). 5) ( )2 39 3 1 2 1 3log 9 log 3 x y x y  − + − =  − = (ðH_Khối B 2005) Từ phương trình thứ hai rút ñược x=y thế vào phương trình thứ nhất ta ñược 1 2 1x x− + − = Giải ñược ( ) ( ) ( ); 1;1 ; 2;2x y = Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ 6) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2log 1 log 3 81x xy y x y xy − +  + = +  = (ðH_Khối A 2009) ðS: (2;2), (−2;−2) 7) 2 2 1 1 22 2 2 3log log log .log 3 3 4x y x y x y − =    + = ðK: x,y>0 Biến ñổi phương trình thứ nhất ta có: 2 22 2 2 2 2 2 3 2 2 log log 3log 2log .log log 0 3log log 0 1 x yx y x x y y x y x y ==  − + = ⇔ ⇔  + = =  -Nếu x y= thế vào phương trình thứ hai ta ñược 33 3 4 3 2 log 2x x x x+ = ⇔ = ⇔ = -Nếu 3 1x y = thế vào phương trình thứ hai của hệ ta ñược 3 1 3 3 4x x+ = (*) Với 1x ≥ ta có 3 1 1 03 3 3 3 4x x+ > + = Với 0 1x< < ta có 3 1 0 13 3 3 3 4x x+ > + = Vậy (*) vô nghiệm KL: ( ) ( )2 2; log 3;log 3x y = 8) 22 32 23 7. 6 0 3 3 log(3 ) log( ) 4log2 0 x y x y x y x y − −     + − =         − + + − = ðK: 3 0; 0x y x y− > + > Từ phương trình thứ nhất thu ñược 2x-y=2 2 2y x⇒ = − thế vào phương trình thứ hai ta có 23 4 20 0x x+ − = ðS: ( ) ( ); 2;2x y = Phương pháp 2: ðặt ẩn phụ 1) 2 3 2 2 3 2 log log 4log 7log log log 4log 7log y x x x x y y y  = − +  = − + ðK: 0; 0x y> > ðặt log ; logu x v y= = ta có hệ phương trình (I) ( ) 2 3 22 3 2 2 22 3 2 4 74 7 ( 3) 3 7 04 7 u v v vu v v v v u u v u v vv u u u  = − + = − +  ⇔    − − − + − + == − +    Xét phương trình 2 2( 3) 3 7 0u v u v v− − + − + = (*) ta có 23 12 19 0;u v v v∆ = − + − < ∀ nên phương trình (*) vô nghiệm ñối với biến u. Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ Do ñó hệ (I) tương ñương 2 3 2 04 7 u v u v u v v v = ⇔ = = = − + Từ ñó giải ñược ( ) ( ); 1;1x y = 2) 2 2log log 5 3log 2 log 2 2x y x y+ =   + = ðK: 1; 1x y> > ðặt 2 2log ; log ;( , 0)u x v y u v= = > hệ ñã cho trở thành: ( )22 2 5 2 5 1 1 3 3 2 2 u v u v uv u v u v uv  + = + − =   ⇔  ++ = =    Giải ñược ( ) ( ) ( ); 1;2 ; 2;1u v = Từ ñó thu ñược ( ) ( ) ( ); 2;16 ; 16;2x y = 3) 3 5 5 3 3 5 log 5 log 3 log 1 log 1 y x x y  − = −  − = − ðK: 50 3 ; 5y x< ≤ ≥ ðặt 2 3 3 2 55 5 log log 5 log 1log 1 u y y u x vv x  = −  = −  ⇒  = += −   thay vào hệ phương trình ta ñược 2 2 3 4 3 4 u v v u  = −  = − Giải hệ này thu ñược ( ); (1;1) ( ; ) (25;81)u v x y= ⇒ = 4) 1 1 2 3 2 5 2 3 2 5 x y y x + +  + − =  + − = ðK: 2 3;2 3x y≤ ≤ ðặt 2 2 3 2 2 3 ;( , 0) 2 33 2 x x yy u u u v vv  = − = − ≥ ⇒  = −= −  thay vào hệ ñã cho ta ñược 2 2 2 1 0 2 1 0 u v v u  − − =  − − = Giải hệ này ta có ( ) ( ) ( ) ( ); 1;1 ; 1;1u v x y= ⇒ = Phương pháp 3: Lôgarit hóa hoặc mũ hóa 1) 1 1 1 1 3 .4 24 3 .4 24 y x y x y x + − + −  =   = ðK: 0xy ≠ Hệ phương trình tương ñương với 1 1 3 .4 18 3 .4 18 x y y x  =   = Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ Lôgarit hai vế của phương trình thứ nhất ta có 3 3 3 3 2 log 2 2 log 2 (2 log 2) 2log 2 0x xy y y + = + ⇔ − + + = Tương tự phương trình thứ hai tương ñương với 3 3(2 log 2) 2log 2 0xy x− + + = Trừ vế với vế của hai phương trình ta có ( ) ( )32 log 2 0x y x y+ − = ⇔ = Từ ñó giải ñược ( ) ( ) ( )3 3; 2;2 ; log 2;log 2x y = 2) ( ) ( ) 2 12 2 2 12 2 log 2 log log 2 log y x y x y x  = + −   = + −  ðK: 2 20; 0; 0; 0x y x y y x> > − > − > Hệ tương ñương với ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 22 2 2 log log 2 4 4log log 2 y x y x y y y x xx y x  + − =  − =  ⇔  − =+ − =  Trừ vế của hai phương trình ta có ( )( ) 0 ;( 0)x y xy x y x y xy x y− + + = ⇔ = + + > Thay vào ta có phương trình ( ) ( )3 2 24 0 2 2 0 2x x x x x x− − = ⇔ − + + = ⇔ = 3) 2 2 2 3 3 3 3log 3 log log 2 2log 12 log log 3 x x y y y x x y  + = +   + = +  ðK: 0; 0x y> > Phương trình thứ nhất tương ñương ( )2 2 3 3log .3 log 2 . .3 2 . 2 .3 3 .22 2x y x y x y x xy y y x = ⇔ = ⇔ =    Phương trình thứ hai của hệ tương ñương với 3 3 2 2log ( .12 ) log .3 .12 .3 2 .3 3 .12 3 3 x y x y y xy yx x y x = ⇔ = ⇔ =    Chia vế với vế của hai phương trình này ta có 3 2 36 6 2 3 12 x y x y y x y x= ⇔ = ⇔ = Từ ñó giải ñược nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ); 1;2x y = 4) 5 27( ).3 5 3log ( ) y xx y x y x y − + =  + = − ðK: 0x y+ > Phương trình thứ hai của hệ tương ñương 35log ( ) 53 x yx y x y x y + − + = ⇔ + = thế vào phương trình thứ nhất ta có 3 3 5 527.5 .3 5 3 27 27 x y x y y x x y − − −   = ⇔ = ⇔ − =    Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ Từ ñó giải ñược ( ) ( ); 4;1x y = 5) ( )( ) ( ) 2 2log 1 log13 log log 3log2 x y x y x y  + − =  + = − + ðK: 0; 0x y x y+ > − > Phương trình thứ hai cho ta 98( ) 7 x x y x y y+ = − ⇔ = thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có 2 2 281log log13 1 49 7 49 x x x x   + = + ⇔ = ⇔ = ±    Từ ñó giải ñược ( ) ( ); 7;9x y = Phương pháp 4: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm sô 1) 2 2 1 3 1 3 y x x x y y  + + =  + + = Xét hàm số 2( ) 1; ( ) 3tf t t t g t= + + = trên ℝ Ta có 2 '( ) 1 0; ; '( ) 3 ln3 0; 1 ttf t t g t t t = + > ∀ ∈ = > ∀ ∈ + ℝ ℝ nên ( ); ( )f t g t là các HS ðB trên ℝ . Hệ pt có dạng ( ) ( ) 9 ) ( ) f x g y f y g x =  = -Nếu ( ) ( ) ( ) ( )x y f x f y g y g x y x< ⇒ < ⇒ < ⇒ < mâu thuẫn -Nếu ( ) ( ) ( ) ( )x y f x f y g y g x y x> ⇒ > ⇒ > ⇒ > mâu thuẫn Do ñó x=y thay vào một pt của hệ ta có 2 21 3 3 ( 1 1) 1x xx x x+ + = ⇔ + − = (*) Dễ thấy x=0 là một nghiệm của pt (*) Xét ( )2( ) 3 1 1xq x x= + − ta có ( )2 21'( ) 3 1 1 ln3 0;1xq x x xx = + − − > ∀ ∈ +  ℝ nên q(x) là HS ðB trên ℝ . Do ñó x=0 là nghiệm duy nhất của (*) KL : ( ) ( ); 0;0x y = 2) 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 − −  + − + = +  + − + = + y x x x x y y x ðặt a = x – 1 ; b = y – 1 Ta ñược hệ 2 2 1 3 1 3 b a a a b b  + + =  + + = ðưa về hệ 1) Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ 3) 2 2 12 2x y x x y y x x y+ −  + = +  − = − Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có ( )( )1 0 1 y x x y x y y x = − + − = ⇔  = − -Với y x= ta thế vào phương trình thứ hai thu ñược 2 12 2 0 1x x x−− = ⇔ = − -Với 1y x= − thế vào phương trình thứ hai ta có 1 12 2 2 1 2 2 3 0x xx x− −− = − ⇔ + − = (*) -Xét hàm số 1( ) 2 2 3xf x x−= + − trến ℝ 1 '( ) 2 ln2 2 0xf x −= + > hàm số ðB trên ℝ mà f(1)=0 nên x=1 là nghiệm duy nhất của pt (*) KL : (x ;y)=(1 ;0) 4) 2log 2 log ( ) 5 x y x e e x y xy  − = −  + = ðK : 0 1; 0x y PT thứ nhất của hệ x ye x e y− = − (*) Xét hàm số ( ) tf t e t= − trên ( )0;+∞ Ta có ( )'( ) 1 0; 0;tf t e t= − > ∀ ∈ +∞ nên HS f(t) ðB trên ( )0;+∞ Pt (*) ( ) ( )f x f y x y= ⇔ = Thế vào pt thứ hai của hệ ta có 2 22log 2 log 5 log 2 4log 5x xx x+ = ⇔ + = Giải pt này thu ñược 42; 2x x= = KL : ( ) ( ) ( )4 4; 2;2 ; 2; 2x y = 5) 3 3 2 2 2 log ( 4) log ( 2) 5 x y y x x y − + = − − −  − = ðK : 2; 4x y> > Pt thứ nhất của hệ tương ñương ( ) ( )3 32 log 2 ( 4) log ( 4)x x y y− + − = − + − (*) Xét 3( ) logf t t t= + trên ( )0;+∞ HS f(t) ðB trên ( )0;+∞ nên (*) : ( 2) ( 4) 2 4 2f x f y x y x y− = − ⇔ − = − ⇔ = − thế vào pt thứ hai của hệ ta có 1 4 y = − (loại) KL : Vậy hệ ñã cho vô nghiệm. 6) 1 1 x y e y e x  = +  = + Trừ vế với vế của hai pt thu ñược x y x ye e y x e x e y− = − ⇔ + = + Xét hàm số ( ) tf t e t= + trên ℝ Chuyên ñề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Phạm Thị Thu Hiền – Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ Cm ñược hàm số ñó ðB trên ℝ Từ (*) ta có x=y thế vào một trong hai pt của hệ ta có 1 0xe x− − = Xét ( ) 1xg x e x= − − trên ℝ '( ) 1; ''( ) 0x xg x e g x e= − = > nên g’(x) có tối ña một nghiệm ; g’(0)=0 BBT x −∞ 0 + ∞ g’(x) - 0 + g(x) 0 g(x) ñạt GTNN là 0 khi x=0 KL : ( ) ( ); 0;0x y = 7) 4 2 4 3 3 4 2 5 (1) 2 2 (2) xy x x y y x x y − + − + =  + = + Giải: Xét hàm số 3( ) 2tf t t= + trên ℝ -Ta có 2'( ) 2 ln 2 3 0,tf t t t= + > ∀ ∈ℝ nên ( )f t ñồng biến trên ℝ ( )2 ( ) ( )f x f y x y⇔ = ⇔ = Thay vào (1) ta có 2 24 2 4 4 2 44 2 5 5 4 2x x x xx x x x− + − +− + = ⇔ − + = Mặt khác ( ) ( )2 22 4 4 4 22 8 5 4 8 4 3 0 1 2 3 0 1x x x x x x x x x x− + ≥ ⇒ − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ = Vậy hệ ñã cho có nghiệm ( ) ( ); 1;1x y =