Giáo án lớp 12 môn Đại số - Hệ phương trình đại số - Vô tỉ

1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ - VÔ TỈ I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 1. Hệ p h ương trình bậc nh ất h ai ẩn a. Dạng : 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + = + = (1) Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng ... b. Giải và biện luận ph ương trình : Quy trình giải và biện luận Bước 1: Tính các định thức : • 1221 22 11 baba ba ba D −== (gọi là định thức của hệ) • 1221 22 11 bcbc bc bc Dx −== (gọi là định thức của x) • 1221 22 11 caca ca ca Dy −== (gọi là định thức của y) Bước 2: Biện luận • Nếu 0≠D thì hệ có nghiệm duy nhất    = = D D y D D x y x • Nếu D = 0 và 0≠xD hoặc 0≠yD thì hệ vô nghiệm • Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm Ý ngh ĩa h ình h ọc: Giả sử (d1) va ø(d2) là hai đường thẳng lần lược có phương trình : (d1) : a1x + b1y = c1 và (d2): a2x + b2y = c2 Khi đó: 1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ (d1) và (d2) cắt nhau 2. Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) và (d2) song song với nhau 3. Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d1) và (d2) trùng nhau Áp dụng: Ví dụ1: Giải hệ phương trình:   =+ −=− 234 925 yx yx Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình :   =+ +=+ 2 1 myx mymx 2 Ví dụ 3: Cho hệ phương trình :   =+ =+ 1 32 myx ymx Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa x >1 và y > 0 ( 2 m 0)− < < Ví dụ 4: Với giá trị nguyên nào của tham số m hệ phương trình 4 2mx y m x my m + = + + = có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y là các số nguyên. (m 1 m 3= − ∨ = − ) Ví dụ 5: Cho hệ phương trình : 2 2 x m y m 1 m x y 3 m  + = + + = − Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho S x y= + đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 6: ( Dự bị 2007): II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: 1. Hệ gồm một ph ương trình bậc nhất và một p h ương trình bậc h ai h ai ẩn: Cách giải: Ph ương ph áp th ường dùng là sử dụng p h ương p h áp th ế + Rút x ( h oặc y) từ p h ương trình bậc nh ất th ế vào ph ương trình còn lại. Ví dụ : Giải các hệ: a)   =−+ =+ 522 52 22 xyyx yx b) 2 2 x 2y 1 x 14y 1 4xy − = + − = Chú ý: Kh i rút ẩn x ( h oặc y) p h ải đảm bảo được biểu th ức rút được là đơn giản nhất. 2. Hệ p h ương trình đối xứng loại I với h ai ẩn x và y: a.Định ngh ĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi. b.Cách giải: Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với 2 4S P≥ ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P. Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn 2 4S P≥ . Bước 3: Với mỗi cặp S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình : 2 0X SX P− + = ( định lý Viét đảo ). Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ do đó hệ có nghiệm duy nhất thì 0 0x y= . Ví du 1ï: Giải các hệ phương trình sau : 1)   =++ =++ 2 422 yxxy yxyx 2) 2 2 7 3 3 16 x y xy x y x y + + = − + − − = 3)   =+ =++ 30 11 22 xyyx yxxy 4)   =+++ =+ 092)(3 1322 xyyx yx 3 5)   =+ =+ 35 30 33 22 yx xyyx 6)    =+ =+ 20 6 22 xyyx xyyx 7)    =−+ =+ 4 4 xyyx yx 8)   =+ =+ 2 3444 yx yx 1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10)− − + − − + 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 4) 10 10 10 10(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )2 2 2 2− − − + − − − − − + 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) 7) (4;4) 8) (1 2;1 2), (1 2;1 2)− + + − Ví dụ2 : Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm:    −=+ =+ myyxx yx 31 1 Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: x 2 y 3 5 x y m  − + + = + = 3. Hệ phương trình đối xứng loại II với hai ẩn x và y: a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ. b. Cách giải thường dùng: • Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số. • Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ . Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x y y y x x  + = − + = − 2)   =+ =+ yxyy xxyx 32 32 2 2 3) 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 y x x x x y y y  = − + = − + 4) 2 2 1 3 1 3 x y x y x y  + = + = 5)    += += 2 2 2 2 23 23 y x x x yy 6) 3 2 3 2 x 2x 2x 1 2y y 2y 2y 1 2x  − + + = − + + = III. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: a. Dạng : 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a x b xy c y d a x b xy c y d  + + = + + = b. Cách giải : Đặt ẩn phụ x t y = hoặc y t x = . Giả sử ta chọn cách đặt x t y = . Khi đó ta có thể tiến hành hai cách giải như sau: Cách 1: Bước 1: Kiểm tra xem (x, 0) có phải là nghiệm của hệ hay không ? Bước 2: Với y≠ 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta 4 khử y để được 1 phương trình chứa t . Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x, y. Cách 2 : Khử hệ số tự do ( không chứa x hoặc y). Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2 2 2 2 3 2 11 2 5 25 x xy y x xy y  + + = + + = 2)   =−− =−− 495 5626 22 22 yxyx yxyx 3) 3 2 3 2 2 3 5 6 7 x x y y xy  + = + = IV. Các hệ phương trình khác: Ta có thể sử dụng các phương pháp sau: a. Đặt ẩn phụ: Ví dụ : Giải các hệ phương trình : 1)   =++−+ −=+− 6 3 22 xyyxyx yxxy 2)   =−− =−−+ 36)1()1( 1222 yyxx yxyx 3) 2 2 3 2 2 3 5 6 x y x y x x y xy y  − + − = − − + = 4) 2 2 x 1 y(y x) 4y (x 1)(y x 2) y  + + + = + + − = b. Sử dụng phép cộng và phép thế: Ví dụ: Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 x y 10x 0 x y 4x 2y 20 0  + − = + + − − = c. Biến đổi về tích số: Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau: 1)   +=+ +=+ )(322 22 yxyx yyxx 2)   ++=+ +=+ 2 77 22 33 yxyx yyxx 3)    += −=− 12 11 3xy y y x x . 4) 5 5 9 9 4 4 x y 1 x y x y  + =    + = + ; 5) 3 3 5 5 2 2 x y 1 x y x y  + =    + = + d) Phương pháp đánh giá Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2 2 2 2 1 1 x y 4 x y 1 1 x y 4 x y   + + + =     + + + =  2) 3 3 2 2 x y 1 x y 1  + =    + = ; 3) 4 4 6 6 x y 1 x y 1  + =    + = ; e. Sử dụng đạo hàm Kiến thức: 5 * Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). (do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì x0 đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) * Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)). Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 1) 3 2 3 2 x 1 2(x x y) y 1 2(y y x)  + = − +    + = − + ; 2) 3 2 3 2 3 2 x 3x 5x 1 4y y 3y 5y 1 4z z 3z 5z 1 4x  − + + =   − + + =    − + + =  ; 3) 3 2 x y y y 2 3 2 y z z z 2 3 2 z x x x 2  = + + −    = + + −     = + + −  4) 3 2 2x 1 y y y 3 2 2y 1 z z z 3 2 2z 1 x x x  + = + +    + = + +     + = + +  . CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Gi¶i c¸c hƯ ph−¬ng tr×nh sau : 1, + + = − − + = − 2 2 1( 99)6 x xy y MTCNx y y x 2,  + = − − + = 2 2 4 2 2 4 5 ( 98) 13 x y NT x x y y 3,  + = − + = 2 2 3 3 30( 93) 35 x y y x BK x y 4,  + = − + = + 3 3 5 5 2 2 1 ( 97)x y AN x y x y 5,  + + = − + + = 2 2 4 4 2 2 7 ( 1 2000) 21 x y xy SP x y x y 6, + + = − + + + = 2 2 11 ( 2000)3( ) 28 x y xy QGx y x y 7,  + = + − + = 7 1 ( 99) 78 x y y x xy HH x xy y xy 8,  + + = − + + = 2 2 2 2 1( )(1 ) 5 ( 99)1( )(1 ) 49 x y xy NT x y x y 9,  + + + = − + + + = 2 2 2 2 1 1 4 ( 99)1 1 4 x y x y AN x y x y 10, + + = − + + = 2 ( 2)(2 ) 9 ( 2001)4 6 x x x y ANx x y 11,  + + + + + + + + + = − + + + − + + + + − = 2 2 2 2 1 1 18( 99) 1 1 2 x x y x y x y y AN x x y x y x y y 6 12, + + = − + + − = 2 (3 2 )( 1) 12( 97)2 4 8 0 x x y x BCVTx y x 13,  + = − + = 2 2 2 2 2 6 ( 1 2000) 1 5 y xy x SP x y x 14, + = − + + = 2 2 3 3 4 ( 2001)( )( ) 280 x y HVQHQTx y x y 15,  − = − − − = − 2 2 2 2 2 3 2( 2000) 2 3 2 x x y QG y y x 16,  = − − = − 2 2 3 ( 98) 3 x x y MTCN y y x 17,  + = − + = 1 32 ( 99)1 32 x y x QG y x y 18,  = + − = + 3 3 3 8 ( 98) 3 8 x x y QG y y x 19,  + = − + = 2 2 32 ( 2001)32 x y x TL y x y 20,  + + − = − + + − = 5 2 7( 1 2000) 5 2 7 x y NN y x 21,  += − + = 2 2 2 2 23 ( 2003)23 yy x KhèiBxx y 22,  − = − − − = 2 2 2 3 2 16 ( ) 3 2 8 x xy HH TPHCM x xy x 23,  + = − + = − 3 3 3 2 2 1 19 ( 2001) 6 x y x TM y xy x 24,  − + = − − + = 2 2 2 2 2 3 9 ( ) 2 13 15 0 x xy y HVNH TPHCM x xy y 25,  − = − + = 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( § 97) ( ) 10 y x y x M C x x y y Đề dự bị năm 2007. 4 3 2 2 3 2 x x y x y 1 x y x xy 1  − + =    − + = − ; 2 23 2 23 2xy x x y x 2x 9 2xy y y x y 2y 9   + = +   − +    + = +  − + ; Bµi tËp THAM KHẢO 1. giải các hệ phương trình: a) 2 29 4 36 2 5 x y x y  + = + = ; b) 2 2 2 4 1 3 4 x xy y y xy  − + = − = ; c) 2 2 1 3 x xy y x y xy  + + = − − = d) 2 2 58 10 x y x y  + = + = ; e) 2 2 28 4 x y xy  + = = ; g) 2 2 4 2 x xy y x xy y  + + = + + = ;' h) 13 6 5 x y y x x y  + = + = l) 2 2 164 2 x y x y  + = − = ; m) 2 2 8 5 x x y y x xy y  + + + = + + = ; n) 2 2 11 (DHQG-2000) 3( ) 28 x y xy x y x y + + = + + + = 7 I) 2 2 13 2 x xy y x y  − + = + = − ; K) 2 2 2( ) 31 11 x xy y x y x xy y  − + − + = − + + = ; u) 2 2 2 1 x y x y xy x y  + − + = + − = − v) 90 9 xy x y = − = ; w) 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x x y y x x y y y  + − + = − + + − = ; p) 2 2 6 3 x xy y x y xy x y  + + − + = − + = − ; Q) 1 1 7 2 2( ) 3 xy x y x y xy  + + = + = 2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau. a) 2 2 2 2 2 3 2 ( 2000) 2 3 2 x x y DHQGKB y y x  − = − − − = − ; b) 3 4 ( 1997) 3 4 y x y x DHQGKA xy x y  − = − − = c) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y y x y x  − = + − = + ; d) 2 2 2 3 2 3 x xy x y xy y  + = + = ; g) 2 2 2 1 2 1 y x y xy x  = − = − ; h) 2 2 2 2 1 1 1 1 y x y xy x  −= + − = + ; l) 2 2 2 2 2 3 15 2 8 x xy y x xy y  + + = + + = m) 2 2 2 2 2 3 9 ( , 2000) 2 2 2 x xy y DHSPTPHCMKA B x xy y  + + = − + + = ; n) 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 7 x xy y x xy y  − + = − + + = . 3. giải các hệ phương trình sau: a) 2 2 2 2 2 17 3 2 2 11 x xy y x xy y  + + = + + = ; b) 2 2 2 3 2 160 3 2 8 x xy x xy y  − = − − = ; c) 2 2 2 2 6 2 56 5 49 x xy y x xy y  − − = − − = d: 2 2 5 2 5 2 2 x xy y y x x y xy  + − = − − = − ; e) 2 22 3 0 2 x xy y x x y y  + − = + = − ; g) 2 2 13 4 13 4 x x y y y x  = + = + ; h) 1 12 2 1 12 2 yx xy  + − = + − = ; i). ( ) ( )2 2 3 3 4 ( 2000) 280 x y HVQHQT x y x y + = − + + = k) 2 2 x 1 x 3 x 5 y 1 y 3 y 5 x y x y 80  + + + + + = − + − + − + + + = 8 1) 10 10 4 4 x y xy y x ; x y 8x y  + = + = 23 23 x 1 y 6 y 1 2) ; y 1 x 6 x 1  − + + = − − + + = − 3) ( ) x y 6 4 sin x e sin y 10 x 1 3 y 2 5pi pi x; y 4 − = + = + < < Bài 4. Giải hệ bất phương trình : ( ) ( )2 3 2 3 2 6x . x 6x 5 x 2x 6 x 4 2 2 x 1 x x  − + = + − + + ≥ + Bài 5. Giải hệ phương trình : ( ) ( )( ) 2 2 2 2 y x 8 x 2 y 8 4x y 16 16x 5x 0  = + + − + + + − = Bài 6. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x 21 y 1 y y 21 x 1 x  + = − + + = − + Bài 7. Giải hệ phương trình: 13x 1 2 x y 17y 1 2 x y   + =  +     − =  +  Bài 8. Giải hệ ( )( ) ( ) 2 2 4 4 6 2 2 3 2 2x y x y y x 1 x 1 x y x 2y x 0  − = + − + + + + ≤ BỔ XUNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Bài 1: Giải các hệ phương trình sau a) x 2 y 2 y 2 x 2  + − =   + − = ; b) 4 4 x y 1 1 y x 1 1  + + =   + + = ; c) x y 1 1 x y 2 2y 2  + − =   − + = − . d) x y 7 1 y x xy x xy y y.x 78   + = +    + = ; e) 2 2 2 x 3 y 3 y 5 x x 5  + + =    + + = +  . BÀI TẬP HỆ CÓ THAM SỐ Bài 1: Tìm để các hệ phương trình sau có nghiệm a) x 1 3 y m y 1 3 x m  + + − =   + + − = ; b) 3 3 3 3 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 15m 10 x y   + + + =     + + + = −  . 9 c) 2 2 2 x 4xy y m y 3xy 4  − + =    − = ; d) 2 2 2 2 3x 2xy y 11 x 2xy 3y 17 m  + + =    + + = + ; e) 2 2 2 2 2 x y x y m x y x y m  − + + =    + + − =  . g) x 1 y 2 m y 1 x 2 m  + + − =   + + − = ; h) x 1 y 1 3 x y 1 y. x 1 y 1 x 1 m  + + + =   + + + + + + + = Bài 2: Tìm các giá trị của m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2x y 1 a) ; x y m  + =   − =  b) 2xy(x y) m m x xy y 2m 1  + = +    + + = + ; c) 2 2 xy x m(y 1) xy y m(x 1)  + = −    + = − . d) 2 3 2 2 3 2 y x 4x mx x y 4y my  = − +    = − + ; e) 2 2 (x 1) y m (y 1) x m  + = +    + = + ; g) 2x y m 0 x xy 1  − − =    + =  . h) 2 2 x y xy 1 x y 1 m( x y 1) 1  + = +    + − − + − = Bài 3: Chứng minh rằng với mọi m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất. 2 2 2 2 3x y 2y m 0 3y x 2x m 0  − − =    − − = .