Giáo án lớp 12 môn Đại số - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức

§6: KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA MOÄT HAØM SOÁ ÑA THÖÙC Tieát: 13 – 14 I/ Mục tiêu: +Về kiến thức : - Giúp học sinh biết các bước khảo sát các hàm đa thức và cách vẽ đồ thị của các hàm số đó +Về kỹ năng : -Giúp học sinh thành thạo các kỹ năng : - Thực hiện các bước khảo sát hàm số - Vẽ nhanh và đúng đồ thị + Tư duy thái độ Nhanh chóng,chính xác, cẩn thận Nghiêm túc; tích cực hoạt động Phát huy tính tích cực và hợp tác của học sinh trong học tập II/ CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH : + Giáo viên : - Sách GK, phiếu học tập, bảng phụ + Học sinh : - Kiến thức cũ, bảng phụ III/ PHƯƠNG PHÁP : Tiếp cận, gợi mở, nêu vấn đề, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm IV/ TIẾN TRÌNH BÀI HỌC : 1. Ổn dịnh lớp: Sĩ số, sách giáo khoa 2. Kiểm tra bài cũ: (5 phút) Câu hỏi : Xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số: y = x3 - 2x2 +3x -5 3. Bài mới : Họat động1: Hình thành các bước khảo sát hàm số TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 5 phút H1: Từ lớp dưới các em đã biết KSHS,vậy hãy nêu lại các bước chính để KSHS ? Giới thiệu : Khác với trước đây bây giờ ta xét sự biến thiên của hàm số nhờ vào đạo hàm, nên ta có lược đồ sau TL 1: Gồm 3 bước chính : - Tìm tập xác định - Xét sự biến thiên - Vẽ đồ thị . I / Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : (SGK) Hoạt động 2 : Khảo sát hàm số bậc ba TG Hoạt động của giáo viên Hoạt độngcủa học sinh Ghi bảng 15 phút Dựa vào lược đồ KSHS các em hãy KSHS : y = ( x3 -3x2 -9x -5 ) Phát vấn, học sinh trả lời GV ghi bài giải lên bảng Hãy tìm giới hạn của hàm số khi Yêu cầu học sinh lập bảng biến thiên của hàm số Điểm đặc biệt đối với trường hợp hàm số có 2 cực trị Giao điểm với các trục tọa độ GV nêu từng bước vẽ đồ thị Học sinh trả lời theo trình tự các bước KSHS - Biểu diễn điểm uốn - Biểu diễn 2 cực trị , nối lại - biểu diễn 2 điểm đặc biệt, nối lại - Vẽ đồ thị II. Hàm số : y = ax3 +bx2 + cx +d(a0) Ví dụ 1 : KSsự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hs y = ( x3 -3x2 -9x -5 ) Lời giải: 1.Tập xác định của hàm số :R 2.Sự biến thiên a/ giới hạn : y’=(3x2-6x-9) y’=0x =-1 hoặc x =3 a/ Bảng biến thiên : x - -1 3 + y/ + 0 - 0 + y 0 + - -4 - Hàm số đồng biến trên (-;-1) và ( 3; +); nghịch biến trên ( -1; 3). - Điểm cực đại của đồ thị hàm số : ( -1 ; 0); - Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số : ( 3 ; -4); 3. Đồ thị: -Giao điểm của đồ thị với trục Oy : (0 ; - ) -Giao điểm của đồ thị với trục Ox : (-1; 0) & (5 ; 0) Hoạt động 3 : Hình thành khái niệm điểm uốn TG Hoạt động của giáo viên Hoạt độngcủa học sinh Ghi bảng 7phút Giáo viên dẫn dắt để đưa ra khái niệm điểm uốn -Để xác định điểm uốn, ta sử dụng khẳng định : “ Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm cấphai trên một khoảng chứa điểm x0,f”(x0)=0 và f”(x) đổi dấu khi x qua x0 thì U(x0;f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số” - H/s về nhà chứng minh khẳng định sau : Đồ thị của hàm số bậc ba f(x)=a x3+bx2+cx+d (a0) luôn luôn có một điểm uốn & điểm đó là tâm đối xứng của đồ thị Học sinh tiếp thu - H/s ghi vào vở để về nhà chứng minh Điểm uốn của đồ thị : -Khái niệm : -”Điểm U(x0; f(x0 )) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y= f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a;x0) và (x0;b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị, còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị . Người ta nói rằng tiếp tuyến tại điểm uốn xuyên qua đồ thị. Hoạt động 4 : Rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số bậc ba TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 10 phút 3phút -GV hướng dẫn học sinh khảo sát, chú ý điểm uốn . -Gọi hs khác nhận xét -GV sửa và hoàn chỉnh bài khảo sát. Nhận xét : Khi khảo sát hàm số bậc ba, tùy theo số nghiệm của phương trình y’ = 0 và dấu của hệ số a, ta có 6 dạng đồ thị như sau( Treo bảng phụ) Học sinh lên bảng khảo sát - Học sinh chú ý điều kiện xảy ra của từng dạng đồ thị Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = -x3 +3x2 - 4x +2 Tiết 2: Hoạt động 5: Cho học sinh tiếp cận với bài toán Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trùng phương. Tg HĐ của GV HĐ của Học sinh Ghi bảng 13p Từ bài toán KS hàm số bậc 3, cho HS khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: . - Cho hs xung phong lên bảng khảo sát. - Gọi hs khác nhận xét. - GV nhận xét, sửa và hoàn chỉnh bài khảo sát. - Hs lên bảng khảo sát. - Các hs khác theo dõi để nhận xét. 3/Hàm số trùng phương: Y=ax4 +bx2 +c (a0) VD3:Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . Lời giải: 1/ Tập xác định của hàm số là: R 2/ Sự biến thiên của hàm số: a/ Giới hạn: ; b/ Bảng biến thiên: x -1 0 1 - 0 + 0 - 0 + y -3 -4 -4 - Hàm số nghịch biến trên và , đồng biến trên và - Điểm cực đại của đồ thị hàm số: (0;-3) - Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số: (-1;-4) và (1;-4). 3/ Đồ thị: -Điểm uốn: và đổi dấu khi x qua x1 và x2 nên: và là hai điểm uốn của đồ thị. - Giao điểm của đồ thị với trục Oy (0;-3). - Giao điểm của đồ thị với trục Ox là và . Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Hoạt động 6: Rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số trùng phương; viết phương trình tiếp tuyến; dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình. Tg HĐ của Giáo viên HĐ của Học sinh Ghi bảng 20p - Chia hs ra thành các nhóm để hoạt động. - Cho hs khảo sát hàm số trùng phương trong trường hợp có một cực trị (VD4) - Cho hs lên khảo sát, rồi cho hs khác nhận xét và kết luận. - Cho học sinh nhắc lại pttt của đồ thị hàm số tại điểm x0. - Muốn bluận số nghiệm của phương trình (1) theo m thì ta phải dựa vào cái gì ? - Cho đại diện của ba nhóm lên trình bày lần lượt 3 câu a, b, c. - Cho các nhóm còn lại nhận xét, trình bày quan điểm của nhóm mình. - GV nhận xét toàn bài. - Từ VD3 và VD4, GV tổng quát về số điểm uốn của hàm trùng phương và nêu chú ý trong SGK cho hs. - Hs lên bảng khảo sát - Pttt của đồ thị hàm số tại điểm x0: - Dựa vào đồ thị - Các nhóm thảo luận, sau đó cử một đại diện của nhóm lên trình bày. a/ KSV. b/ Pttt dạng: - Tại là: - Tại là: c/ +) thì (1) VN +) m = 4 thì (1) có 2 nghiệm kép. +) thì (1) có 4 nghiệm. +) m = 3 thì (1) có 1 nghiệm kép. +) thì (1) có 2 nghiệm. VD4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . VD5: Cho hàm số: a/ KSV đồ thị hàm số trên. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm uốn. c/ Tuỳ theo các giá trị của m, biện luận số nghiệm của phương trình (1) *) Chú ý: (SGK trang 43) V/ Củng cố toàn bài: (10p) - Cho hs nêu lại các bước khảo sát hàm số đa thức. - Cho hs thực hiện các hoạt động sau thông qua các PHT. PHT1: a/ Khảo sát hàm số b/ Viết pttt của đồ thị tại điểm uốn. PHT2: Đồ thị các hàm số sau có bao nhiêu điểm uốn, tìm các điểm uốn đó ? a) b) c) PHT3: Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có một nghiệm với mọi giá trị của m. VI/ Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà: (3p) - Yêu cầu hs làm các bài tập tương tự từ 41 đến 44 trong SGK trang 44. - Hướng dẫn các bài tập 46, 47 trong SGK trang 44 và 45. Và yêu cầu hs làm các bài tập. VII/ Phụ lục: Bảng phụ 1: 6 dạng của đồ thị hàm số bậc 3 Bảng phụ 2: Lời giải cho PHT 1 Bảng phụ 3: Lời giải cho PHT 2 Bảng phụ 4: Lời giải cho PHT 3 LUYEÄN TAÄP Tieát: 15 I . Mục tiêu : 1/ Kiến thức :Giúp học sinh -Củng cố các kiến thức đã học trong bài số 6 về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3, trùng phương. -Củng cố một số kiến thức đã học về đồ thị . 2/ Về kỹ năng: -Rèn luyện thêm cho kỹ năng khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm đa thức thuộc 2 dạng bậc 3 và trùng phương -Biết vận dụng đồ thị để giải một số bài tập đơn giản có liên quan. 3/ Tư duy thái độ : -Có tinh thần phấn đấu ,tích cực thi đua học tập . - Rèn luyện tính cẩn thận chính xác - Hứng thú trong học tập vì có nhiều phần mềm liên quan đến hàm số và đồ thị . II . Chuẩn bị của giáo viên và học sinh : 1/ Giáo viên : Bài soạn ,phấn màu ,bảng phụ,phiếu học tập . Tại lớp giải bài 46,47.Hướng dẫn bài tập về nhà các câu còn lại 2/ Học sinh: - Học bài và làm bài tập ở nhà . III. Phương pháp :- Thuyết trình ,gợi mở, phát vấn . - Điều khiển tư duy đan xen hoạt động nhóm IV. Tiến hành dạy : 1/ Ổn định tổ chức : Điểm danh 2/ KTBC: (2’) Câu hỏi 1: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (học sinh đứng tại chỗ trả lời ) 3/ Bài mới : HĐ1: Giải bài 46b/44(cá nhân) TG HĐGV HĐHS Ghi bảng 10’ -Ghi đọc đề bài -Gọi HSBY,TB lên bảng -Có thể gợi mở nếu học sinh lúng túng bằng các câu hỏi H1:HS đã cho có dạng ? - Học sinh giải trên bảng xong -Gọi học sinh khác nhận xét bổ sung -Chỉnh sửa ,hoàn thiện ----- Đánh giá cho điểm - Học sinh lên bảng thực hiện TL1:Dạng bậc 3 - HS khác nhận xét b/ Khi m=-1 hàm số trở thành y=(x+1)(x-2x +1) 1/ TXĐ: D=R 2/ Sự biến thiên : a/ Giới hạn của hàm số tại vô cực : lim y=-¥, lim y=+ ¥ x®-¥ x®+¥ b/BBT: Ta có : y’=3x2-2x-1 y’=0Û x=1 Þ f(1)=0 x=- Þ f(-)= BBT x - ¥ -1/3 1 +¥ y/ + 0 - 0 + y +¥ - ¥ 0 HS đồng biến trên (-¥ ; - ) và (1;+¥) HS nghịch biến trên (- ;1) _Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (- ; ) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1;0) 3/ Đồ thị : Điểm uốn : ta có y’’=6x-2 y’’=0 Û x= , y( ) = Vì y” đổi dấu khi x đi qua điểm x= nên điểm U( (; ) là điểm uốn của đồ thị -Giao điểm với trục tung là điểm (0;1) -Giao điểm với trục hoành (-1;0);(1;0) - x=2 Suy ra y=3 HĐ2 :Giải bài 46a/44 cá nhân TG HĐGV HĐHS Ghi bảng 7’ -Đọc ghi đề lên bảng - Gọi HSTBK, Klên bảng - Gợi mở H1: Trục hoành có phương trình ? H2 :PT cho hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành ? H3 : Phương trình (1) có dạng gì ? khi nào (1) có 3 nghiệm ? -Gọi học sinh khác nhận xét ,bổ sung -Chỉnh sửa ,hoàn thiện -Đánh giá cho điểm -TL các câu hỏi TL1: y=0 TL2: pt(1) TL3: tích của ptb1 và ptb2 PT (1) có 3nghiệm khi và chỉ khi ptb(2) có 2nghiệm p/bkhác nghiêm pt(1) -Học sinh khác nhận xét bổ sung PT cho hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành có dạng : (x+1)(x2+2mx+m+2)=0 (1) x+1=0Û x=-1 Û f(x)=x2+2mx+m+2=0 (2) - PT(1) có 3nghiệm khi và chỉ khi --- - PT(2)có 2nghiệm phân biệt khác-1 -.Điều này tương đương với : D’>0 m2-m-2>0 f(-1) # 0 Û -m-+3#0 Û m 3 HĐ3 -Giải bài 47a/45 (Cá nhân) KSHS y=x4-(m+1) x2 +m khi m=2 TG HĐGV HĐHS Ghi bảng 10’ -Đọc ghi đề bài lên bảng -Gọi HSTBY,TB -H: hàm số đã cho có dạng ? -Gọi học sinh khác nhận xét ,bổ sung -Chỉnh sửa ,hoàn thiện - Đánh giá cho điểm -Thực hiện trên bảng -HS khác nhận xét bổ sung -L: Hàm trùng phương A/ khi m=2 suy ra hàm số có dạng ......................................... -Ghi lại phần trình bày của học sinh ở trên bảng sau khi đã chỉnh sửa hoàn thiện . HĐ4: Giải bài 47b/45 (cá nhân ) TG HĐGV HĐHS Ghi bảng 5’ - Đọc ghi đề bài lên bảng -Gọi HSTBK lên bảng - Gợi mở đi từ bài 46a - H: Tìm điểm mà đồ thị luôn luôn đi qua không phụ thuộc vào m - Nhấn mạnh điểm (-1;0) gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số -Học sinh lên bảng -Trả lời câu hỏi -Thực hiện bài làm TL: (-1;0) HS khác nhận xét bổ sung Sau khi đã hoàn chỉnh bài giải của hàm số HĐ5: Hướng dẫn bài tập về nhà bài 45,48 TG HĐGV HĐHS Ghi bảng 5’ Bài 45 a/ b/ Từ ví dụ 5c đã học em hãy tìm hướng giải quyết ? Dựa vào đồ thị trong câu a để biện luận Bài 48 a/ H1: HS có dạng? bậc của y’? H2:YCĐB Þta phải có điều gì ? H3: bài toán giống dạng nào đã học ? -Nêu đáp số b/ Khảo sát hàm số khi m=1/2 .Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn a/ Học sinh tự làm b/Trả lời : Bđổi vế trái của pt : x3-3x2+m+2=0 về dạng x3-3x2+1+m+1=0 Ûx3-3x2+1= -m-1 TL1: Dạng trùng phương Þy’ có bậc 3 TL2: Để hàm số có 3 cực trị Ûy’=0 có 3 nghiệm phân biệt TL3: Bài 46a Học sinh tự giải Học sinh tự giải giống ví dụ 5b 4 / Củng cố thông qua HĐ6 TG HĐGV HĐHS Ghi bảng 5’ -Chia lớp thành 2 nhóm -Phát PHT cho từng nhóm học sinh -Điều khiển tư duy -Chỉnh sửa ,hoàn thiện -Đánh giá ,cho điểm -Nghe,hiểu ,thực hiện nhiệm vụ -Thảo luận nhóm -Cử đại diện lên bảng trình bày -Học sinh các nhóm khác nhân xét bổ sung Giải PHT1 a/ m=1,n=3,p=-1/3 b/KSHS: treo bảng phụ PHT2: treo bảng phụ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần của (C ) nằm phía dưới trục hoành ta được đồ thị của hàm số y=÷ -x4+2x2+2½ V/ Phụ lục 1/ PHT1: Cho HS y=f(x)=-x3+ mx2 + nx + p ( C ) a/ Tìm các hệ số m,n,p sao cho HS cực đại tại điểm x=3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc với đồ thị của hàm y=3x-1/3 tại giao điểm của (C) với trục tung b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với các giá trị vừa tìm được 2/ PHT2: a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y=-x4+2x2+2 b/ Từ đồ thị (C) của hàm số đã cho suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y=½-x4+2x2+2½ 3/Bảng phụ : BP1 : Vẽ đồ thị hàm số y=-1/3x3+x2+3x-1/3 BP2: Vẽ đồ thị hàn số y=½-x4+2x2+2½