Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Mặt cầu

1 Mặt cầu A. Tóm tắt lý thuyết I. Định nghĩa mặt cầu Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi được gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R . Ký hiệu:  ;S O R . II. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu  ;S O R và mặt phẳng  P , gọi d là khoảng cách từ O tới  P và H là hình chiếu của O lên  P . Khi, đó ta có các trường hợp sau  d R :  P cắt mặt cầu  ;S O R theo giao tuyến là một đường tròn nằm trong  P có tâm là H và bán kính 2 2r R d  .  d R :  P cắt mặt cầu  ;S O R tại một điểm duy nhất H .  d R :  P không cắt mặt cấu  ;S O R . III. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu  ;S O R và đường thẳng  , gọi d là khoảng cách từ O tới  và H là hình chiếu của O lên  . Khi đó:  Nếu d R thì  cắt mặt cấu  ;S O R tại hai điểm A , B phân biệt. Đoạn thẳng AB nhận H là trung điểm và 2 22AB R d  .  Nếu d R thì  cắt mặt cấu  ;S O R tại một điểm duy nhất H .  Nếu d R thì  không cắt mặt cấu  ;S O R . Định lý. Qua điểm A nằm ngoài mặt cấu  ;S O R có vô số tiếp với mặt cầu. Hơn nữa  Độ dài các đọan thẳng nối A với các tiếp điểm bẳng nhau;  Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu. IV. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu Mặt cầu bán kính R có thể tích là 24 R . Khối cầu bán kính R có thể tích là 34 3 R . B. Một số ví dụ 2 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh góc vuông có độ dài bằng a . Trên đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  ABC tại A lấy điểm S khác A . Mặt phẳng  Q đi qua A và vuông góc với SC , cắt SB và SC lần lượt tại H và K . 1) Xác định tâm và bán kính mặt cầu  1S đi qua 4 điểm S , A , H , K . Xác định vị trí tương đối của mặt cầu này với mặt phẳng  ABC . 2) Chứng minh rằng khi S chuyển động trên đường thẳng  thì 5 điểm A , B , C , K , H luôn nằm trên một mặt cầu cố định, còn mặt phẳng  Q luôn quay quanh một đường thẳng cố định. Giải. 1) * Ta có BC AB BC SA      BC SAB   1AH BC . Giả thiết   2AH SB .  1 ,  2   AH SBC   3AH SB . Cũng từ giả thiết   4AK SC .  3 ,  4    90AHS AKS    S , A , H , K cùng thuộc mặt cầu tâm O ( O là trung điểm của SA ), bán kính 2SAR      1 ;S O R . * Ta thấy OA chính là khoảng cách từ O đến  ABC   1S tiếp xúc với  ABC . I R O K H S CA B 2) *  4  AH HC . Do đó    90ABC AHC AKC     A , B , C , A , H , K cùng thuộc mặt cầu tâm I ( I là trung điểm của AC ), bán kính 22 2' aACR   (mặt cầu này cố định). *  AHK SC       5AHK SAC . Lại có  ABC SA       6ABC SAC ,      7AR AHK ABC  .  5 ,  6 ,  7   AR SAC  AR là đường thẳng cố định. Vậy  Q luôn quay quanh một đường thẳng AR cố định. Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  ABCD tại A lấy điểm S khác A . Mặt phẳng  Q đi qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB , SC , SD tại 1B , 1C , 1D . 1) Chứng minh rằng 7 điểm A , B , C , D , 1B , 1C , 1D cùng nằm trên một mặt cầu. Tính diện tích của mặt cầu này và thể tích của khối cầu tương ứng. 3 2) Xác định vị trí của S trên  sao cho thể tích khối đa diện 1ABCDC đạt giá trị lớn nhất. Khi đó hãy xác định thể tích khối đa diện nói trên. Giải. 1) * Ta có CD SA CD AD      CD SDA   1 1AD CD . Giả thiết   1 2AD SC . Từ  1 ,  2   1AD SCD  1 1AD CD . Một cách tương tự ta cũng chứng minh được 1 1AB CB . Do đó    1 1 90ABC ADC AB C AD C      7 điểm A , B , C , D , 1B , 1C , 1D cùng nằm trên mặt cầu tâm O ( O AC BD  ), bán kính 22aR  . * Diện tích măt cầu 2 24 2S R a   . Thể tích mặt cầu 33 24 3 3 aV R   . H O D1C1 B1 D CB A S 2) Hạ 1C H AC   1C H ABCD . 32 2 2 1 2 21 1 1 13 3 3 3 2 6. . . . a aa a a ABCDC ABCDV S C H C H C O      3 1 2 6 a ABCDCV  . Đẳng thức xảy ra  H O  1C AC vuông cân tại 1C  SAC vuông cân tại A  2SA AC a  . Vậy 1ABCDC V đạt giá trị lớn nhất  2SA a . Khi đó 3 1 2 6 a ABCDCV  . Ví dụ 3. Cho tam giác vuông cân ABC vuông tại A , có các cạnh góc vuông bằng a . Từ B , C dựng các đoạn thẳng BD , CE vuông góc với mặt phẳng  ABC ở về cùng một phía của mặt phẳng  ABC sao cho BD CE a  . Chứng minh 5 điểm A , B , C , D , E cùng nằm trên một mặt cầu. Tính diện tích của mặt cầu này và tính thể tích khối cầu tương ứng. Giải. 4 * Ta có AB AC AB CE      AB ACE  AB AE . Từ    90BAE BCE BDE     A , B , C , D , E cùng nằm trên mặt cầu đường kính BE . Mặt cầu này có bán kính 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 BC CE AB AC CE aBER       . * Diện tích măt cầu 2 24 3S R a   . Thể tích mặt cầu 33 34 3 2 aV R   . O aa a ED CB A a Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có các cạnh đáy bằng a , tất cả các mặt bên đều tạo với đáy góc  . Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. Chú ý. (Cách xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp-mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình chóp) Hình chóp 1 2. ... nS A A A có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi 1 2... nA A A là đa giác nội tiếp một đường tròn. Khi đó để xác định mặt cầu ngoại tiếp  ;S O R của hình chóp, ta làm như sau:  xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của đáy;  dựng đường thẳng  vuông góc với đáy tại I ;  dựng mặt phẳng trung trực  P của đoạn thẳng 1SA (có thể thay 1SA bằng 2SA , , nSA ); O P S Δ I An A2 A1  ta có  O P  , 1 2 nR OA OA OA    . Trường hợp hay gặp. 1SA và  đồng phẳng. Ta làm như sau:  trong mặt phẳng  1 ,SA  dựng đường trung trực d của 1SA ;  ta có O d  , 1 2 nR OA OA OA    . 5 An Δ O S I A2 A1 (  1 1 ...n nSA A A A ) I O S Δ An A2 A1 ( 1SA cắt  ) C. Bài tập Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các cạnh đáy bằng a , tất cả các cạnh bên đều tạo với đáy góc  . Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. Bài 2. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác cân có AB AC a  ,  120BAC   , cạnh bên 2SA a vuông góc với đáy. Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB a , 3BC a . Cạnh bên 5SA a , vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 4. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB BC CD a   , 2AD a . Cạnh bên 2 3SA a vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a , Gọi H là trung điểm của AB . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD tại H lấy điểm S sao cho 32aSH  . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . Bài 6. Cho tứ diện SABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc, 2SA a , 2SB a , 3SC a . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.