Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Nguyên hàm - Tích phân và các ứng dụng

Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng Nguyên hàm - tích phân và các ứng dụng a.tính tích phân bằng định nghĩa Ph−ơng pháp: 1. Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), Chúng ta cần chỉ ra đ−ợc hàm số F(x) sao cho: F’(x) = f(x). • áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các hàm số sơ cấp . • Neỏu gaởp daùng caờn thửực ủửa veà daùng soỏ muừ phaõn theo coõng thửực: , ( 0) n m n mx x m= ≠ • Neỏu gaởp daùng ( )nP xx thửùc hieọn pheựp chia theo coõng thửực: 1, ( ); , ( ) m m m n n n n m x xx m n m n x x x − −= > = < . • Coõng thửực ủoồi bieỏn soỏ (loaùi 2): Tớch phaõn daùng: ( )( ) . '( )f g x g x dx∫ ẹaởt g(x) = u => g’(x)dx = du ( ( )) '( ) ( )f g x g x dx f u du=∫ ∫ . 2. Một số dạng cơ bản: 1. Sử dụng công thức cơ bản: 1. Daùng : ủaởt u = ax + b ⇒du = adx dx=( ) ( 1, 0)ax b dx aα α+ ≠ ≠∫ ⇒ 1 dua ( ) ( ) 1!1( ) 1 ( 1) ax buax b dx u du C C a a a αα α α α α ++ ++ = = + = ++ +∫ ∫ 2. Daùng : ủaởt ( ) 1 , ( 0, 1)n nax b x dx aα α−+ ≠∫ ≠ 1 1 1 1 1 1. . 1 (( ) ( 1) ( 1) nu=ax n n n n n b du a n x dx x dx du an u ax bax b x dx u du C C an na na α α α α α α − − + + − + ⇒ = ⇒ = ++ = = + =+ +∫ ∫ ) + 3. Daùng: ). cos sin ( 1) a xdxα α ≠ −∫ ( ẹaởt 11cos sin ) cos sin cos ( 1) u x du xdx x xdx u du x Cα α αα +−= ⇒ = − ⇒ = − = ++∫ ∫ ). cos ( 1) sin xb xdxα α ≠ −∫ (ẹaởt 11sin cos sin 1 du=cos xdx sin xu x xdx u du xα α αα += ⇒ ⇒ = = ++∫ ∫ C 4. Daùng: 1 ln ( 0)dx ax b C a ax b a = + + ≠+∫ Neỏu gaởp : ( )P x ax b+ vụựi baọc : laứm baứi toaựn chia. ( ) 1P x ≥ GV: Nguyễn Thanh Sơn 1 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 5. Daùng: 2cos ( ) dx x a btgx+∫ ẹaởt 2 2 1 1 1; l cos cos ( )2 dx co s bdx dx duu a btgx du du a btgx C x x b x a btgx b u b = + ⇒ = ⇒ = = = + ++∫ ∫ n 2. Coõng thửực: ( ) '( ) ln u u x u aa u x dx a du C a = = +∫ ∫ 3. Coõng thửực ủoồi bieỏn soỏ (loaùi 1): Tớch phaõn daùng: ( )( ) . '( )f g x g x dx∫ ẹaởt g(x) = u => g’(x)dx = du ( ( )) '( ) ( )f g x g x dx f u du=∫ ∫ 4. Coõng thửực : 2 2 2 1). ln .( 0) 2 ). ln du u aa C a u a a u a dub u u k C u k α −= + ≠− + = + + ++ ∫ ∫ 5. Coõng thửực : 2 2 2ln 2 2 x x k kx kdx x x k C++ = + + + +∫ 3. Một số dạng th−ờng gặp: 1. Tớch phaõn daùng: 2 2 2 21). (mx+n)dx dx (mx+n)dx 2). 3). 4). dx ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c+ + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ + Tuyứ vaứo moói daùng aựp duùng caực coõng thửực tớnh tớch phaõn chổ trong baỷng sau: Tửỷ soỏ baọc nhaỏt Tửỷ soỏ haống soỏ Maóu soỏ khoõng caờn lndu u C u = +∫ 2 2 1 ln2 −= +− +∫ du u a Cu a a u a Maóu soỏ coự caờn 2du u C u = +∫ 22 ln= + + ++∫ du u u k C u k Sửỷ duùng haống ủaỳng thửực: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 a ax ax x b bax bx a x a a + = + − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ GV: Nguyễn Thanh Sơn 2 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 4. Tích phân của các phân thức hữu tỉ: 3 2 ax b A B C cx dx ex x x m x n + = + ++ + − − Giaỷi daùng naứy ta coự hai caựch: − Caựch 1: ẹoàng nhaỏt hai veỏ: Cho taỏt caỷ caực heọ soỏ chửựa x cuứng baọc baống nhau. − Caựch 2: Gaựn cho x nhửừng giaự trũ baỏt kyứ. Thửụứng thỡ ta choùn giaự trũ ủoự laứ nghieọm cuỷa maóu soỏ 5. Tích phân của các hàm số l−ợng giác: 1. Daùng: cos , , 1). sin , cosn n1 1 sin cosaxdx= sinaxdx=- , 2). co s a a nxdx xdx ax C ax C xdx+ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Phửụng phaựp: ™ n = chaỹn : haù baởc 2 2 1 cos 2cos 2 1 cos2sin 2 1sin cos sin 2 2 xx xx x x x +⎧ =⎪⎪ −⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩ ™ n leừ: Vieỏt: 2 1 2 2cos cos cos (1 sin ) cosp p pxdx x xdx x dx+ = = − ẹaởt sin cosu x du x= ⇒ = dx 2. Daùng: sin cosm nu ud∫ u u a. m,n cung chaỹn: haù baọc. b. m,n leỷ (moọt trong hai soỏ leỷ hay caỷ hai cuứng leỷ). ™ Neỏu m leỷ: Ta vieỏt: thay 1sin sin sinm mu u−= 1 2 2 2 2sin 1 cos (1 cos ) sinm va sin m u u u u − = − = − u ™ Neỏu m, n leỷ: laứm nhử treõn cho soỏ muừ naứo beự 3. Daùng: hay ntg xdx∫ cot ng xdx∫ Chuự yự: 2 22( ) (1 ) (1 )cos 2 dx co s dxd tgx tg x dx tg x dx tgx C x x = = + ⇒ = + = +∫ ∫ ™ Tửụng tửù: 2 2 2(cot ) (1 ) (1 )sin 2 dx sin dxd gx cotg x dx cotg x dx cotgx C x x = − = − + ⇒ = + = − +∫ ∫ ™ Ngoaùi trửứ: sin ln cos cos (u=cosx)xdxtgxdx x C x = = +∫ ∫ ẹeồ tớnh: ntg xdx∫ Phửụng phaựp: Laứm lửụùng 2( 1)tg x + xuaỏt hieọn baống caựch vieỏt: GV: Nguyễn Thanh Sơn 3 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 2 2 2 2 2 4 2 1 2* ( 1) ( 1) ... ... ( 1) ( 1) ( 1) 1 n n n ntg x tg x tg x tg tg x tg x− − −= + − + + + + − + + n− 2 1 2 3 2 2 5 2 2 2 1* ( 1) ( 1) ... ... ( 1) ( 1) ( 1) n n n n ntg x tg x tg x tg tg x tgx tg x tgx− − − − −= + − + + + + − + + − 4. Daùng: hay 2( 1)tg x dx+∫ 2cos ndx x∫ Ta vieỏt: 2 2 1 2( 1) ( 1) ( 1)ntg x dx tg x tg x dx−+ = + +∫ ∫ ẹaởt u = tgx 2 2( 1) ( 1)2 n (tg x+1) dx ndu tg x dx u du−= + ⇒ = + 1∫ ∫ Chuự yự: 2 22 1 1 (1 cos 2n dx, co s ntg x tg x dx) x x = + = +∫ ∫ 5. Daùng: cos m n cotg x, or sin x m n tg x dx dx x∫ ∫ Phửụng phaựp: ™ Neỏu n chaỹn : Thay 22 2 2 21 (1 ) ; (1 ) (1 ) ( 1) cos cos mtg n n n m m n n xdxtg x tg x tgx dx tg x tgx tgx dx x x −= + ⇒ = + = + +∫ ∫ ∫ ẹaởt: 22 2(1 ) m 2 n tg x du=(1+tg x)dx cos x n mu tgx dx u u du −= ⇒ ⇒ = +∫ ∫ ™ Neỏu m leỷ vaứ n leỷ : 1 1 .cos cos cos m n tgx tg x tgx x x x − −= ẹaởt 1cos tgx du= cosx u dx x = ⇒ Thay: 1 1 2 12 2 2 2 1 1 1 11 ( 1) . . ( 1) cos cos cos cosn tgmx cos x m m n n tgxtgx dx dx u u du x x x x − − − −= − ⇒ = − = −∫ ∫ ∫ 6. Daùng: sin cos ; sinmxsinnxdx ; cosmxcosnxdxmx nxdx∫ ∫ ∫ Aựp duùng caực coõng thửực bieỏn ủoồi: [ ] [ ] [ ] sin( ) sin( ) cos( ) s( ) cos( ) cos( ) 1 sinmxcosnx= 2 1 sinmxsinnx= 2 1 cosmxcosnx= 2 m n x m n x m n x co m n x m n x m n x • + + • − − • − + − + + GV: Nguyễn Thanh Sơn 4 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng I. Tính các tích phân bất định. Bài 1: Dùng các công thức cơ bản tính các tích phân sau: 1/ 2 1(3x 2x )dx x + −∫ 2/ 2x 3 dxx−∫ 3/ 4 32( x )dx x −∫ 4/ 3 4 1(3 x 4 x )dxx− +∫ 5/ x x 3 2 ee (2 )dx 3 x − −∫ 6/ x 2x 3x2 .3 4 dx∫ 7/ cos (1 t )x gx dx+∫ 8/ 22(4sin x )dxcos x−∫ 9/ 2 x2cos dx 2∫ 10/ 2 2dxcos x sin x∫ Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 1/ 2/ 10x(x 1) dx−∫ 21 2( )x 1 (x 1)−+ +∫ dx 3/ 2x x 9dx+∫ 4/ 2 24 8x dx(x 1)+∫ 5/ 3. xe dx x∫ 6/ ∫ xx dx2ln 7/ 8/ sin 7x.cos3x.dx∫ 4cos xdx∫ 9/ 3 sin x dx cos x∫ 10/ 2 2cos2x dxsin x.cos x∫ II: Tính các tích phân xác định sau: Ph−ơng pháp: ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a f x dx F x F b F a= = −∫ . 1. Các ph−ơng pháp tính tích phân. • áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các hàm số sơ cấp . • Tính tích phân bằng ph−ơng pháp phân tích. • Tính tích phân bằng ph−ơng pháp đổi biến dạng I. • Tính tích phân bằng ph−ơng pháp đổi biến dạng II. • Tính tích phân bằng ph−ơng pháp đổi biến dạng III. • Tính tích phân bằng ph−ơng pháp tích phân từng phần. • Tính tích phân bằng ph−ơng pháp sử dụng nguyên hàm phụ. • Một số thủ thuật đổi biến khác, tích phân chứa biểu thức giá trị tuyệt đối... 2. Chứng minh bất đẳng thức tích phân GV: Nguyễn Thanh Sơn 5 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng Để chứng minh bất đẳng thức tích phân , ta th−ờng sử dụng chủ yếu 4 tính chất sau: với các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a;b] ta có: 1. Nếu [ ]( ) 0, ;f x x a≥ ∀ ∈ b thì ( ) 0b a f x dx ≥∫ 2. Nếu [ ]( ) ( ), ;f x g x x a b≥ ∀ ∈ thì ( ) ( )b b a a f x dx g x dx≥∫ ∫ Dấu đẳng thức chi xảy ra khi f(x) = g(x), [ ];x a b∀ ∈ 3. Nếu [ ]( ) , ;m f x M x a b≤ ≤ ∀ ∈ thì ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a− ≤ ≤∫ − 4. ( ) ( ) . b b a a f x dx f x dx≤∫ ∫ Bài 1: Tính các tích phân xác định sau: 1/ 2/ 2 2 3 4 0 (3x 2x 4x )dx− +∫ 1 3 2 1 ( x 3x) dx − − +∫ 3/ 4 x 4 0 (3x e )dx−∫ 4/ 2 2 3 1 x 2x dx x −∫ 5/ 0 2 1 x x 5 dx x 3− − − −∫ 6/ 5 2 dx x 1 x 2− + −∫ 7/ 1 2x x 0 e 4 dx e 2 − +∫ 8/ 32 0 4sin x dx 1 cosx π +∫ 9/ 3 0 sin x.cos3xdx π ∫ 10/ 24 2 6 2tg x 5 dx sin x π π +∫ 11/ 2 0 cos2x dx sin x cosx π −∫ 12/ 4 2 0 sin ( x)dx 4 π π −∫ Bài 2: Tính các tích phân có chứa trị tuyệt đối sau: 1/ 2 2 x 1 dx − −∫ 2/ 4 2 1 x 6x 9d− +∫ x 3/ 4 2 1 x 3x 2 d − − +∫ x 4/ 1 x 1 e 1 d − −∫ x GV: Nguyễn Thanh Sơn 6 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 5/ 3 3 (3 x )dx − +∫ 6/ 0 2 2 x x 1 dx − +∫ 7/ 0 cosx dx π∫ 8/ 3 4 4 cos2x 1dx π π +∫ 9/ 0 cosx sinxdx π∫ 10/ 3 x 0 2 4 d−∫ x Bài 3: Chứng minh các BĐT sau: 1/ 3 0 3 x 1dx≤ + ≤∫ 6 2/ 1 2 0 4 51 2 2 x dx+≤ ≤∫ 3/ 2 2 0 dx1 2 x 1 ≤ ≤+∫ 4/ 2 2 4 53 sin xdx 2 4 π π π π≤ + ≤∫ 5/ 3 4 2 4 dx 4 3 2sin x π π π π≤ ≤−∫ 2 6/ 2 2 0 3 tg x 3dx 4 2 π π π≤ + ≤∫ 7/ 2 2 sin x 2 0 e dx e 2 π ππ ≤ ≤∫ 8/ 2 2x 1 2x 1 1 e dx e dx+ ≤∫ ∫ 9/ 2 2 3 2 0 0 sin xdx sin xdx π π ≤∫ ∫ 10/ 2 2 0 0 sin 2xdx 2 sin xdx π π ≤∫ ∫ B: Ph−ơng pháp đổi biến: Ph−ơng pháp: 1. Daùng: 1 1 ( , )n mR x x dx∫ ẹaởt 1 mn mn-1 x=t dx=mnt dtmnt x= ⇒ ⇒ 2. Daùng: 1 1 ( ) , ( )n mR ax b ax b dx ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ẹaởt 1 mn mn-1mn mnt=(ax+b) ax+b=t dx= t dt a ⇒ ⇒ 3. Daùng : dxR(lnx) x∫ ủaởt ln dx du = xu x= ⇒ ( )dx R(lnx) x R u du⇒ =∫ ∫ GV: Nguyễn Thanh Sơn 7 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 4. Daùng: ủaởt xR(e )dx∫ ( ) duR u u ⇒ ⇒ ⇒ =∫ ∫x x xduu=e du=e dx dx= R(e )dxu 5. Daùng : 2( , )R x ax bx c dx+ +∫ ẹửa tam thửực 2ax bx c+ + veà daùng: hay. 2 2 2u +m ,u -m2 2 2m -u ẹoồi tớch phaõn thaứnh 1 trong caực daùng sau: .2 2 2 2 2 2 1). R(u, m -u )du 2). R(u, m +u )du. 3). R(u, m -u )du. ∫ ∫ ∫ Neỏu dửụựi daỏu tớch phaõn coự chửựa 2 2 m -u• ủaởt 2 2u=msint m -u =mcost⇒ 2 2m +u• ủaởt 2 2 mu=mtgt m +u = cost ⇒ 2 2 u -m• ủaởt 2 2mu= u -m =mtgt cost ⇒ 6. Daùng : 2( ) dx mx n ax bx c+ +∫ + Gaởp tớch phaõn naứy ủaởt: 1t= mx+n Bài 1: Tính các tích phân sau bằng ph−ơng pháp đổi biến loại I 1/ 1 2 0 2x dx 1 x+∫ 2/ 4 2 0 x x 9dx+∫ 3/ 10 2 dx 5x 1−∫ 4/ 1 0 x 1 xdx−∫ 5/ 5 0 x. x 4dx+∫ 6/ 7 3 0 x dx x 1+∫ 7/ 5 3 2 0 x . x 4dx+∫ 8/ 2 2 3 3 0 3x dx 1 x+∫ 9/ 2 x 1 dx 1 e−−∫ 10/ 4 x 1 dx x.e∫ 11/ tgx 24 2 0 e dx cos x π +∫ 12/ e 1 1 3ln x dx x +∫ GV: Nguyễn Thanh Sơn 8 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 13/ e 2 1 1 ln x dx x +∫ 14/ 6 0 1 4sin x.cos xdx π +∫ 15/ 4 2 6 1cot gx(1 )dx sin x π π +∫ 16/ 2 2 0 cos x.sin 2xdx π ∫ 17/ / 6 2 2 0 sin 2x dx 2sin x cos x π +∫ 18/ / 2 3 2 0 cos x.sin x dx 1 sin x π +∫ 19/ 8 2 3 1 dx x x 1+∫ 20/ / 3 3 0 cos x.sin x.dx π∫ Bài 2 : Tính tích phân bằng ph−ơng pháp đổi biến loại II: 1/ 0 2 1 1 x dx − −∫ 2/ 3 2 2 3 0 1 dx (1 x )−∫ 3/ 2 2 2 1 x 4 x dx−∫ 4/ 1 2 5 dx x 4x− 7+ +∫ 5/ 2 2 0 4 dx x +∫ 6/ 4 / 3 2 3 2 x 4 dx x −∫ 7/ 1 2 2 dx x x 1 − − −∫ 8/ 6 2 2 3 dx x x 9−∫ 9/ 6 2 1 dx x x 1− + +∫ 10/ 3 2 2 1 9 3x dx x +∫ 11/ 1/ 2 1 1 xdx 1 x− + −∫ 12/ 2 2 x 2dx x 1 + −∫ 13/ 1 2 2 0 dx (x 1)(x 2)+ +∫ 14/ 3 2 0 dx x 3+∫ Bài 3 : Tính tích phân các hàm số hửu tỉ: 1/ 2 1 dx x(2x 1)+∫ 2/ 2 2 1 dx x 6x 9− +∫ 3/ 2 1 6x 7 dx x +∫ 4/ 1 4 2 0 x dx x x 1+ +∫ GV: Nguyễn Thanh Sơn 9 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 5/ 4 2 3 x 1 dx x 3x 2 + − +∫ 6/ 1 2 0 xdx (x 1)+∫ 7/ 6 2 2 0 sin 2xdx 2sin x cos x π +∫ 8/ 3 2 6 cosx dx sin x 5sin x 6 π π − +∫ 9/ 2 0 dx (x 1)(x 2)+ +∫ 10/ 3 2 2 1 9 3x dx x +∫ 11/ 1/ 2 2 0 dx 4x 4x 3− −∫ 12/ 4 3 2 4 2 (x x x 1)dx x 1 + − + −∫ 13/ 2 0 dx (x 1)(x 2)+ +∫ 14/ 2001 2 2001 x dx (x 1)+∫ 15/ 1/ 2 4 2 0 dx x 2x− +∫ 1 16/ 1 3 0 3dx 1 x+∫ c: Ph−ơng pháp tích phân từng phần: Coõng thửực: . . . b b b a a a u dv u v v du= −∫ ∫ • Coõng thửực cho pheựp thay moọt tớch phaõn udv∫ phửực taùp baống 1 tớch phaõn ủụn giaỷn hụn. vdu∫ • Coõng thửực duứng khi haứm soỏ dửụựi daỏu tớch phaõn coự daùng: − Daùng tớch soỏ: − Haứm soỏ logaric. − Haứm soỏ lửụùng giaực. * Daùng vụựi f(x) laứ haứm nx f(x) , ln ,sin ,cos .xe x x x • Khi tớnh choùn: − Haứm soỏ phửực taùp ủaởt baống u. − Haứm soỏ cos tớch phaõn ủửụùc cho trong baỷng tớch phaõn thửụứng duứng laứm dv Bài 1: Dùng ph−ơng pháp tích phân từng phần hãy tính: GV: Nguyễn Thanh Sơn 10 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 1/ 2/ 0 xsin xdx π∫ 1 2 2x 0 (x 1) e dx+∫ 3/ 4 2 6 x sin 2xdx π π ∫ 4/ e 2 1 (x ln x) dx∫ 5/ 4 2 0 x(2cos x 1)dx π −∫ 6/ 3 2 4 xdx sin x π π ∫ 7/ e 2 1/ e ln x dx (x 1)+∫ 8/ 4 x 1 e dx∫ 9/ 2 4 0 x cos xdx π ∫ 10/ 3 2 0 ln(x x 1)dx+ +∫ 11/ 12/ 1 2 2x 0 (x 1) .e dx+∫ 2 2 0 (x 1).sin x.dx π +∫ 13/ 2 2 1 ln(1 x) dx x +∫ 14/ 4 0 x.sin x.cos x.dx π ∫ Bài 2: Tính các tích phân sau: 1/ e 2 1 ln x dx x∫ 2/ 2e 1 x ln xdx∫ 3/ 2e 1 ln x dx x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 4/ e 2 1 ln xdx∫ 5/ 6/ e 2 1 (x ln x) dx∫ 2 x 0 e (x sin x)dx π +∫ 7/ 8/ x 2 0 e sin ( x)dx π π∫ x 0 xe sin dx 2 π∫ 9/ x(1 sin x)e dx 1 cos x + +∫ 10/ 2 2 2 2 3 1 x dx x +∫ D: ứng dụng hình học của tích phân GV: Nguyễn Thanh Sơn 11 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng (P): y = x2 - 2x + 2 ;tiếp tuyến (d) của nó tại điểm M(3;5) và Oy. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng (P): y = x2 + 2x và đ−ờng thẳng (d): y = x + 2. Bài 3: Cho hàm số y = 23x 5x 5 x 1 − + − (C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; tiệm cận của nó và x = 2 ; x= 3. Bài 4: Cho hàm số y = ( )( )2x 1 x 2+ − (C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đ−ờng thẳng : x - y + 1 = 0. Bài 5: Cho hàm số y = 4 2x 3x 2 2 − − (C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng (P): y2 = 4x và đ−ờng thẳng d : 4x - 3y - 4 = 0 . Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng (P): y2 + x - 5 = 0 và đ−ờng thẳng d : x + y - 3 = 0 . Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng y = 0 ; y = tgx ; y = cotgx . (0 x )≤ ≤ π Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng (C): x2 + y2 = 8 và đ−ờng (P): y2 = 2x . Bài 10: Tính thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng : y = 4 x và y = -x + 5 quay quanh Ox. Bài 11: Cho hàm số y = 2x 3x x 2 3+ + + (C) . Gọi (H) là phần hình phẳng giới hạn bởi (C) trục Ox và hai đ−ờng thẳng x = -1 , x = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay một vòng xung quanh Ox. Bài 12: Cho hàm số y = 2x x x 1 1+ + + (C) . Gọi (H) là phần hình phẳng giới hạn bởi (C) trục Ox và hai đ−ờng thẳng x = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay một vòng xung quanh Ox. Bài 13: Tính thể tích vật thể tròn xoay đ−ợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi : y = x , y = 2 - x và y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Oy. Bài 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay đ−ợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi : GV: Nguyễn Thanh Sơn 12 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng y = , x = 1 và y = 0 ( xxe 0 x 1≤ ≤ ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox. Bài 15: Tính thể tích vật thể tròn xoay đ−ợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi : y = sinx , y = cosx , x = 2 π và (0 x ) 2 π≤ ≤ khi ta quay quanh (D) quanh Ox. Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng sau: 1/ và x = -1; x = 2. 2y 0; y x 2x= = − 2/ 2y x 4x 3= − + và y x 3= + 3/ 2xy 4 4 = − và 2xy 4 2 = 4/ ln xy ;y 0;x 1 2 x = = = x e và = . 5/ 2y x x 1;Ox= + và x 1= . E. Dạng th−ờng gặp trong các kì thi ĐH-CĐ Bài 1: Tính các tích phân sau: 1/ 1 3 2 0 1 x dx x +∫ 2/ ln3 3 0 ( 1) x x e dx e +∫ 3/ 0 2 3 1 ( x 1)x e x − + +∫ dx 4/ 2 6 3 5 0 1 cos .sin .cos .x x x d π −∫ x 5/ 2 3 2 5 4 dx x x +∫ 6/ 1 3 2 0 1x x dx−∫ 7/ 24 0 1 2sin 1 2sin 2 x dx x π − +∫ 8/ ln5 2 ln 2 1 x x e dx e −∫ 9/ ln5 ln 2 ( 1). 1 x x x e e dx e + −∫ 10/ − + −∫ 2 2 2 0 (3x 1) x 3x 4 dx Bài 2: Cho hàm số: f(x) = 3 .( 1) xa bx e x ++ Tìm a, b biết f’(0)=-22 và 1 0 ( ) 5f x dx =∫ Bài 3: Tính các tích phân sau: GV: Nguyễn Thanh Sơn 13 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 1/ 2 2 0 x x dx−∫ 2/ 21 3 0 . xx e dx∫ 3/ 2 1 1 ln . e x x dx x +∫ 4/ 3 1(cos )1x dxx x+ + −∫ 5/ 1 2 0 ( 1) 1 x dx x x+ +∫ 6/ 2 0 sin .sin 2 .sin 3 .x x x d π ∫ x 7/ 2 4 4 0 cos 2 (sin cos )x x x π +∫ dx 8/ 2 5 0 cos .x dx π ∫ 9/ + +∫ 3 5 3 2 0 x 2x dx x 1 10/ 1 2 3 0 (1 x ) dx−∫ Bài 3: Tính các tích phân sau: 1/ 2 3 3 0 ( cos sin )x x dx π −∫ 2/ 3 7 8 4 2 1 2 x dx x x+ −∫ 3/ 2 2 1 ln e x xdx∫ 4/ 3 1 lne xdx x∫ 5/ 2 0 4cos 3sin 1 4sin 3cos 5 x x dx x x π − + + +∫ 6/ 9 3 1 1x xdx−∫ 7/ 2 3 0 1 3 2 x dx x + +∫ 8/ 1 2 0 ( 2 ) xx x e dx−+∫ 9/ π +∫ 46 0 1 tg x dx cos2x 10/ − − + + +∫ 3 1 x 3 dx 3 x 1 x 3 Bài 4: Tính các tích phân sau: 1/ 2 0 2 2 xdx x x+ + −∫ 2/ 2 1 2 1 dx x x +∫ 3/ 1 2 0 ln(1 ) 1 x dx x + +∫ 4/ 2 0 sin sin cos x dx x x π +∫ 5 0 .sinx xdx π∫ 6/ 2 2 3 0 sin .cos .x x dx π ∫ GV: Nguyễn Thanh Sơn 14 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 7/ 1 1 3ln .lne x x dx x +∫ 8/ 3 3 2 0 1x x dx+∫ 9/ − + +∫ 2 4 2 0 x x 1 dx x 4 10/ + −∫ 3 7 8 4 2 x dx 1 x 2x Bài 5: Tính các tích phân sau: 1/ 3 5 3 2 0 2 1 x x dx x + +∫ 2/ 3 3 0 1 ln .x x dx x +∫ 3/ 1 2 0 ( 1) xx e dx+∫ 4/ 3 2 4 cos 1 cos tgx dx x x π π +∫ 5/ 22 1 1 2 x dx x− −⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ 6 20 sin 1 cos x x dx x π +∫ 7/ 1 0 1 x dx e+∫ 8/ 4 2 0 .x tg xdx π ∫ 9/ π +∫2 4 4 0 cos2x(sin x cos x)dx 10/ π ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 4 0 x 1 tgxtg sin xdx 2 Bài 6: Tính các tích phân sau: 1/ 5 3 ( 2 2 )x x d − + − −∫ x 2/ 2 2 2 0 . ( 2) xx e dx x +∫ 3/ 4 1 2 5 4 dx x− + +∫ 4/ 1 2 2 0 (4 2 1). xx x e d− −∫ x 5/ 2 2 2 0 4x x dx−∫ 6/ 1 2 0 2 5 dx x x 2+ +∫ 7/ 2 0 sin 2 cos 1 x dx x π +∫ 8/ 1 2 0 ( 1) x dx x +∫ 9/ π +∫4 sin x 0 (tgx e cosx)dx 10/ π +∫ 2 2 20 sin x dx x sin x 2cosx.cos 2 Bài 7: Tính các tích phân sau: GV: Nguyễn Thanh Sơn 15 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 1/ 20042 2004 2004 0 sin sin cos x dx x x π +∫ 2/ 32 0 4sin 1 cos x dx x π +∫ 3/ 2 0 sin 2 .cos 1 cos x xdx x π +∫ 4/ 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x dx x π + +∫ 5/ 2 sin 0 ( cos ) cos .xe x x π + dx∫ 6/ 3 2 6 cos sin 5sin 6 x dx x x π π − +∫ 7/ 2 2 1 xdx x x+ −∫ 8/ 2 0 co x dxs 7 cos 2x π +∫ 9/ ( − + + )0 2x 3 1 e x 1 dx∫ x 10/ π ∫ 23 2 0 xsin x dx sin2xcos x Bài 8: Tính các tích phân sau. 1/ 1 2004 1 sin .x x dx − ∫ 2/ 2 0 .sin .cos .x x x∫ dxπ 3/ 2 3 0 .cos .x x dx π∫ 4/ 42 4 4 0 cos x cos sinx x π +∫ 5/ 3 2 0 sin cos x xdx x π +∫ 6/ 1 2 0 .x tg xdx∫ 7/ CM: 02 0 2 sin sinx xdx dx x x π π >∫ 8/ CM: ∫ 4 4 0 2 sin cos dx x x π π π+∫< < 9/ π ∫ e 10/ 2 3x 0 sin5xdx π ∫ x c x 2 4 0 os dx Chúc các em làm bài tốt ! GV: Nguyễn Thanh Sơn 16