Giáo án lớp 12 môn Đại số - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Phạm Hồng Phong NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Hà Nội – 2012 MỤC LỤC CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Khái niệm nguyên hàm Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: Cho . Hàm số được gọi là một nguyên hàm của trên nếu . Nếu chỉ nói là nguyên hàm của (không nói rõ là tập nào) thì ta hiểu là nguyên hàm của trên tập xác định của * Chú ý: Khi thì các đẳng thức và được hiểu là và . Cho hai hàm số và liên tục trên . Nếu là nguyên hàm của trên thì ta có thể chứng minh được cũng là nguyên hàm của trên . * Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số là một nguyên hàm nào đó của hàm số trên . Khi đó +) Với mỗi hàng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên . +) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của trên đều tồn tại hằng số sao cho với mọi . Từ đó suy ra , là họ tất cả các nguyên hàm của trên . Họ tất cả các nguyên hàm của trên được ký hiệu là . Như vậy , . Các ví dụ Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây: . . . Giải Ta có . Ta có . Ta có . Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây: . . . Giải Ta có . Ta có . Ta có . Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số Giải Ta có . Xét hàm . Ta tìm để là một nguyên hàm của . Dễ thấy với mọi . Ta còn phải tìm để . Để có đạo hàm tại thì trước hết liên tục tại . Với thì . Ta có . Từ , suy ra có đạo hàm tại và . Vậy , với . Bài tập Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau đây: . . . . . . . . . . Sử dụng các công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và tính chất của nguyên hàm Tóm tắt lý thuyết * Công thức tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp . . Hệ quả: (), (). , . , , , . * Nguyên hàm của hàm hợp . * Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm . . Các ví dụ Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau: . . . . . Giải . . . . . Tìm họ nguyên hàm của các hàm sau: . . . Giải . . . Bài tập Tìm . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . Tìm . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . Tìm . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . Phương pháp đổi biến số Tìm . Tìm . . . . . . . . . . Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tìm . . . . Tìm . . . . . . . . . . . Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Sử dụng các công thức tính tích phân của một số hàm số thường gặp và tính chất của tích phân Tính tích phân . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . với và . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . . ĐS: . , với . ĐS: . , với . ĐS: . , với . ĐS: . , với . ĐS: . Phương pháp đổi biến 1. Sử dụng công thức Diễn giải phương pháp: Xét tích phân . Giả sử bằng một số biến đổi nào đó, ta thu được . Khi đó, ta có . Ở đây . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . [ĐHD09] Tính tích phân . ĐS: . Chú ý: . [ĐHB06] Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . [ĐHA09] Tính tích phân . ĐS: . [ĐHD05] Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . [ĐHB03] Tính tích phân . ĐS: . [ĐHB05] Tính tích phân . ĐS: . [ĐHA06] Tính tích phân . ĐS: . [ĐHB05] Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . [ĐHA08] Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . [ĐHB08] Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . 2. Phép đổi biến Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . [ĐHA04] Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . [ĐHB04] Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . [ĐHA05] Tính tích phân . ĐS: . 3. Các phép đổi biến , , , [ĐHB02] Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Phương pháp tích phân từng phần [ĐHB09] Tính tích phân . ĐS: . [ĐHD08] Tính tích phân . ĐS: . [ĐHD07] Tính tích phân . ĐS: . [ĐHD06] Tính tích phân . ĐS: . [ĐHD04] Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . Tính tích phân . ĐS: . MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tính diện tích hình phẳng * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường được tính bởi công thức: . * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường được tính bởi công thức: . * Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (, ) được tính bởi công thức: . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . ĐS: (đvdt). [ĐHA02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . ĐS: (đvdt). [ĐHB02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . ĐS: (đvdt). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . ĐS: (đvdt). Tính diện tích của hai phần đường tròn chia bởi parabol . ĐS: (đvdt) và (đvdt). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , và . ĐS: (đvdt). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và . ĐS: (đvdt). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và các tiếp với tại và . ĐS: (đvdt). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và các tiếp kẻ từ tới. ĐS: (đvdt). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và đường thẳng . ĐS: (đvdt). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng , . ĐS: (đvdt). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . ĐS: (đvdt). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . ĐS: (đvdt). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , tiệm cận xiên của , và . ĐS: (đvdt). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . ĐS: (đvdt). Tính thể tích vật thể * Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường xung quanh là . * Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường xung quanh là . * Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường xung quanh là . Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . quay quanh . ĐS: (đvtt), (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . quay quanh . ĐS: (đvtt), (đvtt). Tính thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt). Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và . Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh . ĐS: (đvtt).