Giáo án lớp 12 môn Đại số - Nguyên hàm (tiếp theo)

NGUYÊN HÀM Tuần: Tiết: Mục tiêu: Về kiến thức: Hiểu được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên K, phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số. Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm. Nắm được các phương pháp tính nguyên hàm. Về kĩ năng: Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm. Sử dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm. Về tư duy, thái độ: Thấy được mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm của hàm số. Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực phát biểu xây dựng bài. Chuẩn bị: Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập. Học sinh: SGK, đọc trước bài mới. Tiến trình bài học: Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong Kiểm tra bài cũ: (3’) Câu hỏi: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a/ y = x3 b/ y = tan x Bài mới: Tiết 1: Tg HĐGV HĐHS Ghi bảng 5’ 3’ 3’ HĐ1: Nguyên hàm HĐTP1: Hình thành khái niệm nguyên hàm - Yêu cầu học sinh thực hiện HĐ1 SGK. - Từ HĐ1 SGK cho học sinh rút ra nhận xét (có thể gợi ý cho học sinh nếu cần) - Từ đó dẫn đến việc phát biểu định nghĩa khái niệm nguyên hàm (yêu cầu học sinh phát biểu, giáo viên chính xác hoá và ghi bảng) HĐTP2: Làm rõ khái niệm - Nêu 1 vài vd đơn giản giúp học sinh nhanh chóng làm quen với khái niệm (yêu cầu học sinh thực hiện) H1: Tìm Ng/hàm các hàm số: a/ f(x) = 2x trên (-∞; +∞) 1 b/ f(x) = trên (0; +∞) x c/ f(x) = cosx trên (-∞; +∞) HĐTP3: Một vài tính chất suy ra từ định nghĩa. - Yêu cầu học sinh thực hiện HĐ2 SGK. - Từ đó giáo viên giúp học sinh nhận xét tổng quát rút ra kết luận là nội dung định lý 1 và định lý 2 SGK. - Yêu cầu học sinh phát biểu và C/M định lý. - Thực hiện dễ dàng dựa vào kquả KTB cũ. - Nếu biết đạo hàm của một hàm số ta có thể suy ngược lại được hàm số gốc của đạo hàm. - Phát biểu định nghĩa nguyên hàm (dùng SGK) - Học sinh thực hiện được 1 cách dễ dàng nhờ vào bảng đạo hàm. TH: a/ F(x) = x2 b/ F(x) = lnx c/ F(x) = sinx a/ F(x) = x2 + C b/ F(x) = lnx + C c/ F(x) = sinx + C (với C: hằng số bất kỳ) - Học sinh phát biểu định lý (SGK). I. Nguyên hàm và tính chất 1. Nguyên hàm Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của IR. Định nghĩa: (SGK/ T93) VD: a/ F(x) = x2 là ng/hàm hàm số f(x) = 2x trên (-∞; +∞) b/ F(x) = lnx là ng/hàm của 1 hàm số f(x) = trên (0; +∞) x c/ F(x) = sinx là ng/hàm của h/số f(x) = cosx trên (-∞; +∞) Định lý1: (SGK/T93) C/M. 3’ 2’ 3’ 5’ - Từ định lý 1 và 2 (SGK) nêu K/n họ nguyên hàm của h/số và kí hiệu. - Làm rõ mối liên hệ giữa vi phân của hàm số và nguyên hàm của nó trong biểu thức. (Giáo viên đề cập đến thuật ngữ: tích phân không xác định cho học sinh) HĐTP4: Vận dụng định lý - H/s làm vd2 (SGK): Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh nếu cần, chính xác hoá lời giải của học sinh và ghi bảng. HĐ2: Tính chất của nguyên hàm. HĐTP1: Mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm: - Từ đ/n dễ dàng giúp học sinh suy ra tính chất 1 (SGK) - Minh hoạ tính chất bằng vd và y/c h/s thực hiện. HĐTP2: Tính chất 2 (SGK) - Yêu cầu học sinh phát biểu tính chất và nhấn mạnh cho học sinh hằng số K+0 - HD học sinh chứng minh tính chất. HĐTP3: Tính chất 3 - Y/cầu học sinh phát biểu tính chất. - Thực hiện HĐ4 (SGK) (giáo viên hướng dẫn học sinh nếu cần) - Chú ý - H/s thực hiện vd - Phát biểu tính chất 1 (SGK) - H/s thực hiện vd - Phát biểu tính chất. - Phát biểu dựa vào SGK. - Thực hiện Định lý2: (SGK/T94) C/M (SGK) ∫f(x) dx = F(x) + C. C Є R Là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K *Chú ý: f(x)dx là vi phân của ng/hàm F(x) của f(x) vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx. Vd2: a/ ∫2xdx = x2 + C; x Є(-∞; +∞) b/ ∫1/sds = ln s + C; s Є(0; +∞) c/ ∫costdt = sint + C; t Є(0; +∞) 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: ∫f’(x) dx = f(x) + C Vd3: ∫(cosx)’dx = ∫(-sin)dx = cosx + C Tính chất2: ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx k: hằng số khác 0 C/M: (SGK) Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx=∫f(x)dx ±∫g(x)dx C/M: Chứng minh của học sinh được chính xác hoá. Tg HĐGV HĐHS Ghi bảng 4’ 14’ - Minh hoạ tính chất bằng vd4 SGK và yêu cầu học sinh thực hiện. - Nhận xét, chính xác hoá và ghi bảng. HĐ3: Sự tồn tại của nguyên hàm - Giáo viên cho học sinh phát biểu và thừa nhận định lý 3. - Minh hoạ định lý bằng 1 vài vd 5 SGK (y/c học sinh giải thích) HĐ4: Bảng nguyên hàm - Cho học sinh thực hiện hoạt động 5 SGK. - Treo bảng phụ và y/c học sinh kiểm tra lại kquả vừa thực hiện. - Từ đó đưa ra bảng kquả các nguyên hàm của 1 số hàm số thường gặp. - Luyện tập cho học sinh bằng cách yêu cầu học sinh làm vd6 SGK và 1 số vd khác gv giao cho. - HD h/s vận dụng linh hoạt bảng hơn bằng cách đưa vào các hàm số hợp. - Học sinh thực hiện Vd: Với x Є(0; +∞) Ta có: ∫(3sinx + 2/x)dx = 3∫(sin)dx + 2∫1/xdx = -3cosx + 2lnx +C - Phát biểu định lý - Thực hiện vd5 - Thực hiện HĐ5 - Kiểm tra lại kquả - Chú ý bảng kquả - Thực hiện vd 6 a/ = 2∫x2dx + ∫x-2/3dx = 2/3x3 + 3x1/3 + C. b/ = 3∫cosxdx - 1/3xdx 1 3x = 3sinx - +C 3 ln3 c/ = 1/6(2x + 3)6 + C d/ = ∫sinx/cosx dx = - ln/cosx/ +C Vd4: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sinx + 2/x trên khoảng (0; +∞) Giải: Lời giải của học sinh đã chính xác hoá. 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lý 3: (SGK/T95) Vd5: (SGK/T96) 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: Bảng nguyên hàm: (SGK/T97) Vd6: Tính 1 a/ ∫[2x2 + ─ ]dx trên (0; +∞) 3√x2 b/ ∫(3cosx - 3x-1) dx trên (-∞; +∞) c/ ∫2(2x + 3)5dx d/ ∫tanx dx Tiết 2 Tg HĐGV HĐHS Ghi bảng 15’ 30’ HĐ5: Phương pháp đổi biến số HĐTP1: Phương pháp - Yêu cầu h/s làm hđộng 6 SGK. - Những bthức theo u sẽ tính được dễ dàng nguyên hàm - Gv đặt vđề cho học sinh là: ∫(x-1)10dx = ∫udu Và ∫lnx/x dx = ∫tdt - HD học sinh giải quyết vấn đề bằng định lý 1(SGKT98) - HD h/s chứng minh định lý - Từ định lý y/c học sinh rút ra hệ quả và phát biểu. - Làm rõ định lý bằng vd7 (SGK) (yêu cầu học sinh thực hiện) - Lưu ý học sinh trở lại biến ban đầu nếu tính nguyên hàm theo biến mới. HĐTP2: Rèn luyện tính nguyên hàm hàm số bằng p2 đổi biến số. - Nêu vd và y/c học sinh thực hiện. HD học sinh trả lời bằng 1 số câu hỏi H1: Đặt u như thế nào? H2: Viết tích phân bất định ban đầu thẽo? H3: Tính? H4: Đổi biến u theo x - Nhận xét và chính xác hoá lời giải. - Thực hiện a/ (x-1)10dx chuyển thành u10du. b/ lnx/x dx chuyển thành : t ─ etdt = tdt et - Phát biểu định lý 1 (SGK/T98) - Phát biểu hệ quả - Thực hiện vd7 Vì ∫sinudu = -cosu + C Nên: ∫sin (3x-1)dx = -1/3 cos (3x - 1) + C - Thực hiện vd: Đặt u = x + 1 Khi đó: ∫x/(x+1)5dx = ∫ u-1/u5 du = ∫1/u4 du - ∫1/u5 du 1 1 1 1 = - ─ . ─ + ─ ─ + C 3 u3 4 u4 1 1 1 1 = - ─ . ─ + ─ ─ + C 3 (x+1)3 4 (x+1)4 1 1 1 = ─ [- ─ + ─ ]+ C (x+1)3 3 4(x+1) II. Phương pháp tính nguyên hàm 1. Phương pháp đổi biến số Định lý1: (SGK/ T98) C/M (SGK) Hệ quả: (SGK/ T98) ∫f(ax+b)dx=1/a F(ax+b) + C (a + 0) VD7: Tính ∫sin (3x -1)dx * Chú ý: (SGK/ T98) Vd8 (SGK) Tính ∫x/(x+1)5 dx Giải: Lời giải học sinh được chính xác hoá Tg HĐGV HĐHS Ghi bảng - Nêu vd9; yêu cầu học sinh thực hiện. GV có thể hướng dẫn thông qua 1 số câu hỏi: H1: Đổi biến như thế nào? H2: Viết tích phân ban đầu theo u H3: Tính dựa vào bảng nguyên hàm. - Từ những vd trên và trên cơ sở của phương pháp đổi biến số y/cầu học sinh lập bảng nguyên hàm các hàm số cấp ở dạng hàm số hợp: dạng: f(u) với u = u (x) - Học sinh thực hiện a/ Đặt U = 2x + 1 U’ = 2 ∫2 e 2x+1 dx = ∫ eu du = eu + C = e 2x+1 + C b/ Đặt U = x5 + 1 U’ = 5 x4 ∫ 5 x4 sin (x5 + 1)dx = ∫ sin u du = - cos u +c = - cos (x5 + 1) + c - Học sinh thực hiện Vd9: Tính a/ ∫2e2x +1 dx b/ ∫ 5 x4 sin (x5 + 1)dx Giải: Lời giải học sinh được chính xác hoá . - Bảng nguyên hàm 1 số hàm số sơ cấp ở dạng hàm số hợp. (bảng phụ) Tiết 3 Tg HĐGV HĐHS Ghi bảng HĐ6: Phương pháp nguyên hàm từng phần. HĐTP1: Hình thành phương pháp. - Yêu cầu và hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động 7 SGK. - Từ hoạt động 7 SGK hướng dẫn học sinh nhận xét và rút ra kết luận thay U = x và V = cos x. - Từ đó yêu cầu học sinh phát biểu và chứng minh định lý - Lưu ý cho học sinh cách viết biểu thức của định lý: V’(x) dx = dv U’ (x) dx = du HĐTP2: Rèn luyện tính nguyên hàm hàm số bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. - Nêu vd 9 SGK yêu cầu học sinh thực hiện. GV có thể hướng dẫn thông qua các câu hỏi gợi ý: Đặt u = ? Suy ra du = ? , dv = ? Áp dụng công thức tính - Nhận xét , đánh giá kết quả và chính xác hoá lời giải , ghi bảng ngắn gọn và chính xác lời giải. - Từ vd9: yêu cầu học sinh thực hiện HĐ8 SGK - Nêu 1 vài ví dụ yêu cầu học sinh thực hiện tính khi sử dụng phương pháp nguyeê hàm từng phần ở mức độ linh hoạt hơn. - GV hướng dẫn học sinh thực hiện tính (lặp lại tính nguyên hàm 1 số lần ) - Nhận xét và chính xác hoá kết quả. HĐ7: Củng cố: - Yêu cầu học sinh nhắc lại : + Định nghĩa nguyên hàm hàm số + Phương pháp tính nguyên hàm bằng cách đảo biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần . - Thực hiện: ∫(x cos x)’ dx = x cos + C1 ∫cosx dx = Sin x + C2 Do đó: ∫x sin x dx = - x cosx + sin x + C (C = - C1 + C2) - Phát biểu định lý - Chứng minh định lý: - Thực hiện vídụ: a/ Đặt: U = x dv = ex dx Vậy: du = dx , v = ex ∫x ex dx = x . ex - ∫ ex de - x ex - ex + C b/ Đặt u = x , dv = cos dx, du = dx , v = sin x Do đó: ∫ x cos x dx = x sin x - ∫sin dx = x sin x + cosx + C c/ Đặt u = lnx, dv = dx du = 1/2 dx , v= x Do đó: ∫ lnx dx = xlnx - x + c - Thực hiện 1 cách dễ dàng. - Thực hiện theo yêu cầu giáo viên a/ Đặt u = x2 và dv = cosx dx ta có: du = 2xdx, v = sin x do đó: ∫x2 cosxdx = x2 sin x - ∫2x sin x dx Đặt u = x và dv = sin x dx du = dx , v = - cosx ∫x sin x dx = - xcos x + ∫ cos x dx = - x cos x + sin x + C Vậy: kết quả = x2 sin x - 2 (- x cosx + sin x +C) - Nhắc lại theo yêu cầu của giáo viên. 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Định lý 2: (SGK/T99) Chứng minh: *Chú ý: VD9: Tính a/ ∫ xex dx b./ ∫ x cos x dx c/ ∫ lnx dx. Giải: Lời giải học sinh đã chính xác hoá. VD10: Tính a/ ∫x2 cos x dx Giải: Lời giải của học sinh đã chính xác hoá. Hướng dẫn học bài ở nhà: - Nắm vững các cách tính nguyên hàm của hàm số - Làm các bài tập SGK và SBT. BÀI TẬP PHẦN NGUYÊN HÀM Tuần: Tiết: Mục đích yêu cầu : Kiến thức : Nắm được khái niệm nguyên hàm có một hệ số . Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm . Kỹ năng : Tìm được nguyên hàm của một hàm số tưong đối đơn giản dựa vào bảng nghàm 1 cách tìm nguyên hàm từng phần . Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nghàm Tư duy, thái độ : Thấy được mlg giữa nguyên hàm 1 đạo hàm . Rèn luyện tính cảm nhận, chính xác. Chuẩn bị : GV: Bảng phụ, sgk, gán, phiếu học tập . HS: Học thuộc bảng hàm & làm BTVN. Phương pháp: đàm thoại, vấn đáp, thảo luận nhóm Tiến trình bài học : Ổn định lớp Bài cũ(10 ‘) HS1 : Bảng hàm ( ghi bảng phụ ) HS2: Chữa bài 2c sgk Luyện tập ( 33’) Tg HĐGV HĐHS Ghi Bảng 7’ 18’ 8’ Hđ1 : Nắm vững nguyên hàm Hđtp 1 : Tiếp cận nguyên hàm gọi từng học sinh trả lời miệng và giải Thích lí do bài 1 SGK Hđtp 2: Hình thành kỹ năng tìm nghàm Bài 2 : Cho học sinh thảo luận nhóm các câu a, b, c, d, e, g, h có thể hướng dẫn cho học sinh câu d sử dụng công thức đổi từ tích đến tổng hướng dẫn câu h: Hđ2 : Sử dụng phân số đổi biến số Hđtp 1 : Vận dụng địa lý để làm bài tập , gọi 2 hs lên bảng làm câu 3a,b SGK 4, HDVN : (2’) - Nắm vững bảng nghàm & biết cách tìm nghàm bằng phân số đổi biến số . - BTVN : 3c, d, : 4 SGK . + Bài tập thêm : 1/ CMR Hàm số F ( x) = ln là nguyên hàm của hàm số 2/ Tính a, b, Thảo luận nhóm đại diện nhóm trình bày lời giải Làm việc cá nhân 2/a, b, d, e, tanx – x + C g, h, 3a, b, Tiết 2 : Tg HĐGV HĐHS Ghi Bảng 10’ 15’ 15’ Hđtp 2: Rèn luyện kỹ năng đặt biến Bài 3 c, d SGK gọi 2 học sinh lên bảng làm Hđ 3 : Rèn luyện kỹ năng đặt u, dv trong phương pháptính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Làm bài 4 sgk gọi 4 hs lên bảng làm Câu b : các em phải đặt 2 lần Hđ4 : Nâng cao phát biểu bài tập theo bàn có thể hướng dẫn câu a : hs làm b Hướng dẫn câu a : Làm việc cá nhân Thảo luận theo bài Thảo luận trong 5’ Thảo luận trong 5’ 3c, d, 4/a, b, c, d, b, 1’ 4, HDVN : - Nắm vững bảng nghàm . - Vận dụng linh hoạt các phương pháp tìm nghàm = 2 phân số đối biến & từng phần . - BTVN : các bài tập trong SBT Phụ lục: Bảng phụ: Hãy điền vào dấu . Phiếu học tập: Tính a/ b/ TÍCH PHÂN Tuần: Tiết: Mục tiêu: Kiến thức: Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần) Kỹ năng: Hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo cả hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số. Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội. Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. Phương pháp : Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp. Phương tiện dạy học: SGK. Chuẩn bị: GV: Phiếu học tập, bảng phụ. HS: Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà, Đọc qua nội dung bài mới ở nhà. Tiến trình tiết dạy : Ổn định lớp : Kiểm tra bài cũ : Trình bày phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm. Viết công thức tính nguyên hàm từng phần (dạng đầy đủ và dạng rút gọn). Bài mới HĐGV HĐHS Nội dung I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN. 1. Diện tích hình thang cong: Hoạt động 1 : Ký hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = t (1 £ t £ 5) (H45, SGK, trang 102) 1. Hãy tính diện tích S của hình T khi t = 5. (H46, SGK, trang 102) 2. Hãy tính diện tích S(t) của hình T khi t Î [1; 5]. 3. Hãy chứng minh S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t Î [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1). Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau : “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b] .Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong (H47a, SGK, trang 102)” Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK, trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc tính diện tích hình thang cong. 2. Định nghĩa tích phân : Hoạt động 2 : Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a). (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm). Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau : “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: Ta còn ký hiệu: . Vậy: Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước : Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa nêu. II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN. Hoạt động 3 : Hãy chứng minh các tính chất 1, 2. Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK, trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu. III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN. 1. Phương pháp đổi biến số: Hoạt động 4 : Cho tích phân I = a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x + 1)2. b/ Đặt u = 2x + 1. Biến đổi (2x + 1)2dx thành g(u)du. c/ Tính: và so sánh với kết quả ở câu a. Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = j(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho j(a) = a; j(b) = b và a £ j(t) £ b với mọi t thuộc [a; b] . Khi đó:” Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính ta chọn hàm số u = u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [a; b]. Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x). Khi đó ta có: = Gv giới thiệu cho Hs vd 6, 7 (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. 2. Phương pháp tính tích phân từng phần: Hoạt động 5 : a/ Hãy tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. b/ Từ đó, hãy tính: Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì Hay ” Gv giới thiệu cho Hs vd 8, 9 (SGK, trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. Thảo luận nhóm để: + Tính diện tích S của hình T khi t = 5. (H46, SGK, trang 102) + Tính diện tích S(t) của hình T khi t Î [1; 5]. + Chứng minh S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t Î [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1). Thảo luận nhóm để chứng minh F(b) – F(a) = G(b) – G(a). Thảo luận nhóm để chứng minh các tính chất 1, 2. Thảo luận nhóm để: + Tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần + Tính: TÍCH PHÂN I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN. 1. Diện tích hình thang cong: ( sgk ) 2. Định nghĩa tích phân : “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: Ta còn ký hiệu: . Vậy: Nhận xét: + Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f, các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t. + Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì là diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. (H 47 a, trang 102) Vậy : S = II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN. + Tính chất 1: + Tính chất 2: + Tính chất 3: III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN. 1. Phương pháp đổi biến số: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = j(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho j(a) = a; j(b) = b và a £ j(t) £ b với mọi t thuộc [a; b] . Khi đó:” Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính ta chọn hàm số u = u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [a; b]. Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x). Khi đó ta có: = 2. Phương pháp tính tích phân từng phần: “Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì: Hay Củng cố: Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức. Dặn BTVN: 1..6 SGK, trang 112, 113. BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Tuần: Tiết: Mục tiêu: Về kiến thức: - Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b. Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b. - Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung - Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox Về kỹ năng: - Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập được công thức tính thể tích khối chóp, khối nón và khối nón cụt - Ứng dụng được tích phân để tính được thể tích nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng Về tư duy, thái độ: - Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích - Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập Chuẩn bị: Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài mới Tiến trình bài dạy: Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong Kiểm tra bài cũ: Tính Bài mới: Tiết 1: HĐ1: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành Tg HĐGV HĐHS Nội dung HĐTP 1: Xây dựng công thức - Cho học sinh tiến hành hoạt động 1 SGK - GV treo bảng phụ hình vẽ 51, 52 SGK - GV đặt vấn đề nghiên cứu cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b. - GV giới thiệu 3 trường hợp: + Nếu hàm y = f(x) liên tục và không âm trên . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b là: + Nếu hàm y = f(x) 0 trên . Diện tích + Tổng quát: HĐTP2: Củng cố công thức - Gv đưa ra ví dụ 1 SGK, hướng dẫn học sinh thực hiện - Gv phát phiếu học tập số 1 + Phân nhóm, yêu cầu Hs thực hiện - Tiến hành giải hoạt động 1 - Hs suy nghĩ - Giải ví dụ 1 SGK - Tiến hành hoạt động nhóm I. Tính diện tích hình phẳng 1. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: Ví dụ 1: SGK Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và trục hoành Ox . Bài giải Hoành độ giao điểm của Parabol và trục hoành Ox là nghiệm của phương trình . HĐ2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong HĐTP 1: Xây dựng công thức - GV treo bảng phụ hình vẽ 54 SGK - GV đặt vấn đề nghiên cứu cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f1(x), và y = f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b - Từ công thức tính diện tích của hình thang cong suy ra được diện tích của hình phẳng trên được tính bởi công thức HĐTP2: Củng cố công thức - Gv hướng dẫn học sinh giải vd2, vd3 SGK - Gv phát phiếu học tập số 2 + Phân nhóm, yêu cầu Hs thực hiện + Treo bảng phụ, trình bày cách giải bài tập trong phiếu học tập số 2 - Theo dõi hình vẽ - Hs lĩnh hội và ghi nhớ - Theo dõi, thực hiện - Hs tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên. - Hs thảo luận theo nhóm và tiến hành giải. Hoành độ giao điểm của 2 đường đã cho là nghiệm của ptrình x2 + 1 = 3 – x x2 + x – 2 = 0 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b trong hình 54 thì diện tích của hình phẳng được tính theo công thức Lưu ý: Để tính S ta thực hiện theo các cách Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt đối Cách 2: Tìm nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0. Giả sử ptrình có 2 nghiệm c, d (c < d) thuộc thì: Tiết 2: Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong Kiểm tra bài cũ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và . Bài mới: HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng - Giáo viên đặt vấn đề như SGK và thông báo công thức tính thể tich vật thể (treo hình vẽ đã chuẩn bị lên bảng) - Hướng dẫn Hs giải vd4 SGK - Hs giải quyết vấn đề đưa ra dưới sự định hướng của giáo viên - Thực hiện theo sự hướng dẫn của giáo viên II. Tính thể tích 1. Thể tích của vật thể Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P) và (Q). Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông góc với (P) và (Q). Gọi a, b (a < b) là giao điểm của (P) và (Q) với Ox. Gọi một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x () cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên . Khi đó thể tích của vật thể V được tính bởi công thức HĐ2: Hướng dẫn Hs hình thành công thức thể tích khối chóp và khối chóp cụt - Xét khối nón (khối chóp) đỉnh A và diện tích đáy là S, đường cao AI = h. Tính diện tích S(x) của thiết diện của khối chóp (khối nón) cắt bởi mp song song với đáy? Tính tích phân trên. - Đối với khối chóp cụt, nón cụt giới hạn bởi mp đáy có hoành độ AI0 = h0 và AI1 = h1 (h0 < h1). Gọi S0 và S1 lần lượt là diện tích 2 mặt đáy tương ứng. Viết công thức tính thể tích của khối chóp cụt này. - Củng cố công thức: + Giáo viên phát phiếu học tập số 3: Tính thể tích của vật thể nằm giữa 2 mp x = 3 và x = 5, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mp vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x () là một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là 2x, Yêu cầu Hs làm việc theo nhóm - Gv yêu cầu Hs trình bày - Đánh giá bài làm và chính xác hoá kết quả Do đó, thể tích của khối chóp (khối nón) là: - Hs tiến hành giải quyết vấn đề đưa ra dưới sự định hướng của giáo viên. Thể tích của khối chóp cụt (nón cụt) là: - Hs giải bài tập dưới sự định hướng của giáo viên theo nhóm - Hs tính được diện tích của thiết diện là: - Do đó thể tích của vật thể là: - Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên - Các nhóm nhận xét bài làm trên bảng 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt * Thể tích khối chóp: * Thể tích khối chóp cụt: Tiết 3: Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong Bài mới: HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích khối tròn xoay TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng - Giáo viên nhắc lại khái niệm khối tròn xoay: Một mp quay quanh một trục nào đó tạo nên khối tròn xoay + Gv định hướng Hs tính thể tích khối tròn xoay (treo bảng phụ trình bày hình vẽ 60SGK). Xét bài toán cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo nên khối tròn xoay. Tính diện tích S(x) của thiết diện khối tròn xoay cắt bởi mp vuông góc với trục Ox? Viết công thức tính thể tích của khối tròn xoay này. - Thiế