Giáo án lớp 12 môn Đại số - Tính đơn điệu của hàm số

Ngày 22/8/2012 GV soạn : Đinh Quang Đạo ---------------------------------------------------------------------------------------------------- tính đơn điệu của hàm số I.Tính đơn điệu của hàm số : 1.Kiến thức cơ bản: Cho hàm số có đạo hàm trên tập D. Nếu thì hàm số đồng biến. Nếu thì hàm số nghịch biến. 2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: a) ; b). Giải: a)Tập xác định : . Ta có ; ; không xác định tại ; Bảng biến thiên Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và ; hàm số nghịch biến trên các khoảng và . b)Tập xác định : . Ta có ; ; Bảng biến thiên Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ; hàm số nghịch biến trên khoảng . Ví dụ 2: Chứng minh hàm số a) đồng biến trên ; b) đồng biến trên ; c) đồng biến trên ; d) đồng biến trên . Giải: a)Hàm số có đạo hàm trên . Ta có ; Vì nên suy ra Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên . b)Hàm số có đạo hàm trên . Ta có ; Xét hàm số trên , ta thấy: ,( khi ). Suy ra đông biến trên . Do đó , hay ,( khi ). Suy ra . Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên . c)Hàm số có đạo hàm trên . Ta có ; ; . Suy ra đồng biến trên hay ( khi ). Suy ra đồng biến trên hay ( khi ). Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên . d) Hàm số có đạo hàm trên . Ta có ; ; ; ; ,( khi ). Suy ra đồng biến trên hay ( khi ). Suy ra đồng biến trên hay ( khi ). Suy ra đồng biến trên hay ( khi ). Suy ra đồng biến trên hay ( khi ). Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên . Ví dụ 3: Xác định m để hàm số a) đồng biến trên khoảng . b) nghịch biến trên khoảng . Giải: a)Tập xác định của hàm số là . Ta có , (). +Với thì . Suy ra hàm số đồng biến trên . + Với thì () và (với , là hai nghiệm của phương trình ) . Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và , hàm số nghịch biến trên khoảng . Khi đó: Để hàm số đồng biến trên khoảng thì () . Kết luận: với thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng . b)Tập xác định của hàm số là . Ta có , (). +Với thì . Suy ra hàm số đồng biến trên . + Với thì () và (với , là hai nghiệm của phương trình ) . Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và , hàm số nghịch biến trên khoảng . Khi đó: Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì . Kết luận: với thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng . Bài tập: Câu 1.Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số a) ; b). Câu 2.Chứng minh hàm số a) nghịch biến trên ; b) đồng biến trên ; c) đồng biến trên ; d) đồng biến trên . Câu 3.Xách định m để hàm số a) nghịch biến trên .(ĐH Nông nghiệp-2001B) b) đồng biến trên .(ĐH Dược HN-2001) II.ứng dụng tính đơn điệu: (8 tiết) 1.Giải phương trình: a)Dạng I: Giải phương trình . Xét hàm số trên tập D. Trên khoảng (nửa khoảng, đoạn ) KD ta có Nếu thì là một nghiệm của phương trình đã cho. Và nếu hàm số đơn điệu thì là một nghiệm duy nhất. Chú ý : Những phương trình nhẩm được nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình . Giải: Với điều kiện . Xét hàm số trên . Ta có . Suy ra là một nghiệm của phương trình đã cho. Và . Suy ra hàm số đồng biến trên và . Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 2: (HSG12-NA :2010-2011) Giải phương trình: Giải: Với điều kiện . Xét hàm số trên khoảng . Ta có và . Suy ra x=0 và x=1 là hai nghiệm của phương trình. Và ; . Bảng biến thiên Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ; đồng biến trên ; và . Vậy phương trình có đúng hai nghiệm là x=0 và x=1 . b)Dạng II: Giải phương trình (với ). Xét hàm số trên tập D (khoảng ,nửa khoảng, đoạn ) . Nếu hàm số đơn điệu thì . Ví dụ 3: Giải phương trình . Giải: Với điều kiện . Xét hàm số trên . Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên . Suy ra . Vậy nghiệm của phương trình là . Chú ý: Đối với bài tập dạng này ta cần phải xác định đúng biểu thức u, v và điều kiện của nó. 2.Giải bất phương trình: Ví dụ 1: Giải bất phương trình . Giải: Với điều kiện . Ta có Xét hàm số ,với , ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên . Suy ra . Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là . Ví dụ 2: Giải bất phương trình . Giải: Với điều kiện . Xét hàm số , với . Ta có . Với , ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và . Suy ra . Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là . Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của hàm số . Giải: Ta có . Xét hàm số . Ta có hàm số đồng biến trên R. Suy ra . Suy ra .Và ; . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng . 3.Giải hệ phương trình: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình .(ĐH2010A) Giải: Với điều kiện . Ta có . Xét hàm số . Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên R. Suy ra . Thay vào phương trình ta được . Xét hàm số . Ta có . Với , ta có . Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn và . Suy ra . Suy ra là nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình . Giải: Xét hàm số . Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên R. Do đó: Nếu thì . Mà . Suy ra : Mâu thuẩn với giả thiết. Nếu thì . Suy ra : Mâu thuẩn với giả thiết. Suy ra . Hay . Vậy các nghiệm của hệ phương trình là (2;2), (1;1), (-1;-1). Ví dụ 3: Giải hệ phương trình . Giải: Với điều kiện . Ta có Hệ PT. Xét hàm số ,. Với ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;2). Mà với x=0 suy ra y=0. Với x=2 suy ra y=2. Suy ra . Suy ra hoặc . Ví dụ 4: Giải hệ phương trình . Giải: Với điều kiện . Ta có Hệ PT. Với x=1, y=0 không phải là nghiệm của hệ phương trình. Xét hàm số , với . Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và . Suy ra . Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2;1). 4.Chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 1: Cho x là số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng : . Giải: Xét hàm số , với . Ta có (vì nên ) Suy ra hàm số đồng biến trên nửa khoảng . Suy ra hay . Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng . Giải: Ta có . Xét hàm số , với . Ta có . Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng . Do đó với , suy ra hay . Bài tập : Câu 4.Giải các phương trình sau : a);(HVNH2001D) b); c) ; d) ; Câu 5.Giải các phương trình sau: a) ; b) . c) ; d) Câu 6.Giải các phương trình sau: a) (ĐH2006D); b) ; c); d) ; e); f) ; g); h) ; i); k) ; l); m) . n) (HSG12-NA:2011); Hướng dẫn: n)Xét hàm số với x thuộc . Câu 7.Giải các phương trình sau: a); b) . Câu 8. a)Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm . b)Chứng minh phương trình có đúng một nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị dương . Hướng dẫn: b)Ta có . Xét hàm số . Ta có , đồng biến trên . Mà và . Suy ra có đúng một nghiệm trên . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị dương. Câu 9.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a>b>c. Chứng minh rằng có duy nhất nghiệm. Hướng dẫn: . Xét hàm số . Ta có hàm số đồng biến trên .Mà và . Suy ra có nghiệm duy nhất . Câu 9.1. Chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm. Câu 10. Giải bất phương trình: a)(HSG12-NA:2011); b) (ĐH2012B). Câu 11.Xét tính đơn điệu của hàm số .(ĐH2010D) Câu 12.Giải hệ phương trình: a).(HSG Tỉnh NA2010A). b); c); d) ; (ĐH2012A) e) . Câu 13.Giải hệ phương trình: . (HSG Bình Định 2009-2010). Hướng dẫn: . Câu 14.Giải hệ phương trình: a) ; b) ; c) . Hướng dẫn: a)Xét hàm số . c)Xét hàm số ; ; Trên có duy nhất nghiệm y=-1; Trên có duy nhất nghiệm y=2. Giải hệ phương trình dạng: , trong đó f(x;y) đẳng cấp đối với x và y. Câu 15. Giải các hệ phương trình: a) ; b) ; c) . d)Tỡm cỏc số (x;y) thuộc khoảng thỏa món . Câu 16.Cho x là số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng . Câu 17.Cho x là số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng : a) ; b) . Câu 18.Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng . Câu 19.Cho các số thực x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng . (HSG Tỉnh NA 2006). Hướng dẫn: Ta có . Xét hàm số , với , ta có :. Xét hàm số , với . . Suy ra hàm số đồng biến và . Suy ra . Suy ra . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . Mà . Suy ra hay . Câu 20.(HSG NA-2007) Cho x là số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng : . Hướng dẫn: Xét hàm số trên ;