Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 A. Tóm tắt lý thuyết * Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường  y f x , y 0 x a, x b (a b)        là   b a S f x dx  . * Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường  x f y , x 0 y a, y b (a b)        là:   b a S f y dy  . * Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường    y f x , y g x x a, x b (a b)        là:     b a S f x g x dx  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [SGKNC] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip 2 2 2 2 x y 1 a b   (a b 0  ). Giải Ta tính diện tích S của một phần tư hình elip nằm trong góc phần tư thứ nhất. Đó là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 by a x a   , trục hoành, trục tung và đường thẳng x a . Do đó S a 2 2 0 b a x dx a   a 2 2 0 b a x dx a   . Đổi biến: x asint , t ; 2 2         2 2 2 2 2 dx acos tdt a x a a sin t a cos t acos t        . Đổi cận: x 0  t 0 , x a  t 2   .      2 22 2 2 2 0 0 0 b 1 cos 2t ab 1 abS acos t acos tdt ab cos tdt ab dt t sin 2t a 2 2 2 4 0 0                         . Vậy diện tích của hình elip là 4S ab  . Ví dụ 2. [SGKNC] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS 3y x 1  , đường thẳng x 2 , trục tung và trục hoành. Giải -b -a O y x b a BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Ta có 2 3 0 S x 1 dx  . 3x 1 đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 1 nên S     1 2 3 3 0 1 x 1 dx x 1 dx      4 41 1 2 2x xx x 4 4 0 0 1 1      1 15 71 1 4 4 2       . Ví dụ 3. [SGKNC] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol   2P : y 2 x  và đường thẳng d : y x  . Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa  P và d : 22 x x    2x x 2 0    x 1 x 2     . y=x3-1 x y 2O 1 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 Do đó hình phẳng đang xét được giới hạn bởi hai ĐTHS 2y 2 x  , y x  và hai đường thẳng x 1  , x 2 .      2 2 1 S 2 x x dx      . Vì 22 x x    x 1;2   nên       2 2 2 2 1 1 S 2 x x dx 2 x x dx              2 3 2 2 2 1 12x x x 2 3 1 1 1       3 96 3 2 2     . Ví dụ 4. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị   31C : y 2x 2x 3    và   32C : x 2x 3   . Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của  1C và  2C : 3 32x 2x 3 x 2x 3        3x 4x 0   x 2 x 0 x 2       . Do đó S   2 3 3 2 2x 2x 3 x 2x 3 dx          2 3 2 x 4x dx    . Ta thấy 3x 4x là đa thức bậc ba có ba nghiệm phân biệt là 2 , 0 , 2  3x 4x đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm. Mặt khác 3x 4x 0  x 2  , do đó 3x 4x 0   x 0;2  và 3x 4x 0   x 2;0   . x y y = -x y=x2 O 2-1 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5  S 0 2 3 3 2 0 x 4x dx x 4x dx           0 2 3 3 2 0 x 4x dx x 4x dx        4 2 4 2 0 0 2 2 1 1x 2x x 2x 4 4 2 2 0 0       4 8 4 8 8      . Nhận xét: Từ Ví dụ 3, Ví dụ 4 ta có nhận xét về cách tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị    1 1C : y f x và    2 2C : y f x . +) Bước 1: Giải phương trình    1 2f x f x . Giả sử các nghiệm là 1 2 nx x x   , khi đó         x xn 2 1 2 1 2 x x1 1 S f x f x dx f x f x dx               x xk n 1 2 1 2 x xk 1 n 1 Sk f x f x dx f x f x dx          . +) Bước 2: Xét dấu biểu thức    1 2f x f x trên từng đoạn k 1 kx ;x   . Từ đó phá dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân của tích phân kS . Ví dụ 5. [ĐHA07] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  y e 1 x   1C ,  xy 1 e x   2C . Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của  1C và  2C :    xe 1 x 1 e x     xx e e 0   x 0x 1    . Do đó diện tích hình phẳng đang xét là BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 S     1 x 0 e 1 x 1 e x dx      1 x 0 x e e dx  . Với mọi  x 0;1 ta có x 0 , x 1e e e   xe e 0    xx e e 0  .  S   1 x 0 x e e dx     1 1 x 0 0 I I1 2 e xdx xe dx     . 2 1 1 1 1I e. x e 2 2 0   . 2I 1 x 0 xde  1 x x 0 1 xe e dx 0    x 1 e e 0   1 . Vậy 1 2 1S I I e 1 2     . Ví dụ 6. [ĐHA02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x 4x 3    C và d : y x 3  . Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và d : 2x 4x 3 x 3        2 22 x 3 0 x 4x 3 x 3                 2 2 x 3 x 4x 3 x 3 x 4x 3 x 3 0                          2 2 x 3 x 3x 6 x 5x 0        BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7  x 0 x 5    . Do đó diện tích của hình phẳng đang xét là S   5 2 0 x 4x 3 x 3 dx     . Xét dấu của 2x 4x 3  trên đoạn  0;5 : x 0 1 3 5 2x 4x 3   0  0   S       1 3 5 2 2 2 0 1 3 x 4x 3 x 3 dx x 4x 3 x 3 dx x 4x 3 x 3 dx                             1 3 5 2 2 2 0 1 3 x 4x 3 x 3 dx x 4x 3 x 3 dx x 4x 3 x 3 dx                  1 3 5 2 2 2 0 1 3 x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx          Dễ thấy 2x 5x 0     x 0;1 3;5   và 2x 3x 6 0    x        1 3 5 2 2 2 0 1 3 x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx           13 26 22 6 3 3    109 6  . Ví dụ 7. [SGKNC] Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi ĐTHS y x  C trục hoành và đường thẳng d : y x 2  . Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa  C và d : x x 2    2 x 2 0 x x 2       2 x 2 x 5x 4 0       x 4 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8   C cắt d tại điểm C có hoành độ bằng 4 . x 0  x 0   C cắt trục hoành tại gốc tọa độ. x 2 0   x 2  d cắt trục hoành tại  B 2;0 . Gọi  A 4;0 suy ra diện tích S bằng diện tích của tam giác cong OAC trừ đi diện tích của tam giác BAC . Diện tích tam giác cong OAC là 4 1 0 4 2 16S xdx x x 3 3 0    . Diện tích tam giác BAC là 2 1 1S AB.AC 2.2 2 2 2    . Vậy 1 2 10S S S 3    . Ví dụ 8. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi   2P : y 4x x  và các tiếp với  P tại  O 0;0 và  A 3;3 . Giải Đặt   2f x 4x x    f ' x 4 2x  . Tiếp tuyến của  P tại O là    1d : y f ' 0 x 0 0    1d : y 4x . Tiếp tuyến của  P tại A là   2d : y f ' 3 x 3 3    2d : y 2x 9   . Hoành độ giao điểm của 1d , 2d là nghiệm của phương trình 4x 2x 9    3x 2  .  1d , 2d cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 3 2 . x y 42 2 B C A O BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 S 1 2S S        3 32 2 2 30 2 4x 4x x dx 2x 9 4x x dx                    3 32 2 2 30 2 x dx x 6x 9 dx       3 2 33 3 2 3 1 1x x 3 3 3 0    9 9 9 8 8 4    . Ví dụ 9. [ĐHB02] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2xy 4 4    C và 2xy 4 2   P . Giải Ta thấy 2xy 4 4    2 2 2 2 y 0 x y 1 4 2       . Do đó  C là nửa elip 2 2 2 2 x y 1 4 2   ở trên trục hoành. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và  P : 2 2x x4 4 4 2    2 4x x4 4 32    4 2x 8x 128 0    2x 8  x 2 2  . Ta thấy hình phẳng đang xét nhận Oy làm trục đối xứng nên S bằng hai lần diện tích S' của phần hình phẳng nằm bên phải Oy . (P) x y d2 d1 S2 S1 33 2 O -4 4 2 2 2-2 2 O y x BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 S' 2 2 2 2 0 x x4 dx 4 4 2            2 2 2 22 2 0 0 I I1 2 x x4 dx dx 4 4 2       . 2I 3 2 2 1 1 4. x 3 34 2 0   . Bây giờ ta tính 1I Đổi biến x 2sin t 2  , t ; 2 2         2 2x4 4 4sin t 2cos t 4 dx 4cos tdt          . Đổi cận: x 0  t 0 , x 2 2  t 4   .  1I     4 0 2cos t 4cos tdt    4 2 0 8 cos tdt      4 0 4 1 cos 2t dt    4 414 t sin 2t 2 0 0               14 4 2        2  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 Vậy 1 2 2S' I I 3       4S 2S' 2 3     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 C. Bài tập Bài 1. [ĐHD02] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS 3x 1y x 1     với các trục tọa độ. Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x 4x 3   và y 3 . Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x 2x  và 2y x 4x   . Bài 4. Tính diện tích của hai phần đường tròn   2 2C : x y 8  chia bởi parabol   2P : y 2x . Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x , 2xy 8  và 27y x  . Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x , 2xy 4  , 2y x  và 8y x  . Bài 7. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2(P) : y x 2x  và các tiếp kẻ từ 5M ;6 2       tới  P . Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2y x 1 x  , trục hoành và đường thẳng x 1 . Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 1 ln xy x   , trục hoành và các đường thẳng x 1 , x e . Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y sin | x | và y | x |  . Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường   2 1C : y x 2x   , tiệm cận xiên của  C , x 1 và x 3 . Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  22 y 1 x  và  2y 1 x 1   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 D. Đáp số Bài 1 41 4 ln 3   . Bài 2 8 . Bài 3 9 . Bài 4 42 3   và 46 3   . Bài 5 27 ln 2 . Bài 6 20ln 2 3 . Bài 7 2 2 1 3  . Bài 8 9 4 . Bài 9  2 2 2 1 3  . Bài 10 24   . Bài 11 1 3 . Bài 12 4 3 .