Giáo án lớp 12 môn Hình học - Áp dụng phương pháp tọa đọ để giải hình không gian

Đề bài:Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, = 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’, CC’. Chứng minh B’, M, D, N cùng 1 mặt phẳng . Tính AA’ theo a để BMDN là hình vuông. Giải: Cách 1:Phương pháp hình học C’ O M N H A C D B B’ D Ta có A’M // CN A’M // CN => A’MCN là hình bình hành A’C MN tại O là trung điểm của mỗi đường là I nên B’MDN là hình bình hành. Do đó B’, M, D, N cùng 1 mặt phẳng. b)Ta có: DM2 = AD2 + AM2 (1) DN2 = CD2 + CN2 Vì : = 600 => ∆ BAD đều => AD = CD (2) Tù (1), (2) => DM2 = DN2 ó DM = DN B’DMN là hình thoi. Để B’DMN là hình vuông thì MN = B’D ó AC2 = B’D2 (1’) Gọi H = AC BD H là trung điểm của AC và BD ∆ BAD đều ð H là đường cao. AH = => AC = (2’) Trong ∆ vuông BB’D ta có B’D2 = BB’2 + BD2(3’) Từ (1’), (2’), (3’) => 3a2 = BB’2 + BD2 => BB’2 = 3a2- a2 = 2a2 BB; = ó AA’ = Vậy nếu AA’ = thì B’MDN là hình vuông Cách 2:Phương pháp tọa độ C’ M N O A C B D’ A’ B’ D z x y O’ ∆ BAD có = 600 => ∆ BAD đều Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ Ta có : AO=OC = OB = OD = =’ Giả sử : AA’ = b. Chon hệ trục tọa độ ozyz sao cho : O là gốc tọa độ, COx , DOy , O’Oz. Khi đó : O( 0, 0,0) , A(-,0 ,0) , B( 0, -, 0) , C(,0 ,0) D(0, , 0) A’(-,0 ,b) B’(0, -, b) C’(,0 , b) D’(0, , b) M(-,0 ,) N(,0 ,) Ta có , ) = (,, ) => ð DM = B’N DM // B’N ð B’DMN là hình bình hành Vậy 4 điểm M, N, B’, D cùng 1 mặt phẳng Ta có : (,,) => Hay B’MDN là hình thoi Để B’MDN là hình vuông thì Vậy nếu AA’ = thì B’MDN là hình vuông.