Giáo án lớp 12 môn Hình học - Bài tập : Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện

BÀI TẬP : XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN: I.KiẾN THỨC CẦN NHỚ: Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình đa diện (H) khi các đỉnh của (H) nằm trên mặt cầu -Môt hình chóp nội tiếp trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp được. -Môt hình lăng trụ đưng nội tiếp trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của hình lăng trụ là các đa giác nội tiếp được. -Hình tứ diện ,Lăng trụ đều , hình chóp đều và các khối đa diện đều đều nội tiếp được : Chú ý : –Trong không gian tập hợp của những điểm các đều các đỉnh của một đa giác là một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác tại tâm của đa giác đó. –Trong không gian tập họp những điểm cách đều 2 điểm A và B là mặt phẳng trung trực của AB. Dạng 1: HÌNH ĐA DIÊN CÓ CÁC MẶT LÀ NHỮNG TAM GIÁC VUÔNG CÓ CHUNG CẠNH HUYỀN: Phương pháp: Gọi I là trung điểm của cạnh huyền chung. Tâm của mặt cầu là I và bán kính là nửa cạnh huyền đó Thí dụ : Cho hình chop S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA vuông góc với đáy .Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC.Chứng minh hình đa diện AHKBC nội tiếp được trong mặt cầu (S) , tìm tâm và bán kính của (S) theo a ,Với SA=AB= a BÀI GIẢI SA ^(ABC)=>SA ^BC BC ^AB=>BC ^(SAB) =>(SAB) ^(SBC) AH^SB=>AH^(SBC)=>AH ^CH =>DAHC vuông tại H DAKC vuông tại K DABC vuông tại B =>Hình đa diện AKCBH nội tiếp trong mặt cầu đường kính AC , tâm I là trung điểm của AC và bán kính R= BBài tập: 1.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy , hai mặt bên còn lại tạo với đáy góc 600. a.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD. b.Gọi B’ ; C’ là hình chiếu của A lên SB và SDClà ;D’ là giao điểm của DS và mp(AB’C’). Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDB’C’D’. 2.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối bát diện đều cạnh a. 3.Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d’) có đoạn vuông góc chung là AA’ (A thuộc (d) và A’ thuộc (d’). Gọi (P) là mp qua AA’ và vuông gó với (d’) .Cho biết AA’=a .Một đường thẳng (l) song song với (P) cắt (d) và (d’) tại M và M’ .Hình chiếu vuông góc của M lên (P) là là N.Xác định tâm I của mặt cầu đi qua 5 điểm A ;A’ ; M ; M’ ; N. biết b=A’M’ và j =(d;d’) ĐS: Dạng 2: Hình chóp S.A1A2An Gọi O là tâm của đa giác đáy , và I là tâm của mặt cầu (S) . Dựng (d) ^(A1A2An) =>IA1=IA2=.=IAn => I thuộc (d). IA1 =IS => I thuộc mặt phẳng trung trực của SA1.Vậy I là giao điểm của mp trung trực của SA1 và (d). Thí dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy là a và cạnh bên tạo với đáy các góc 600 .Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp trên Thí dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh b và SA =a vuông góc với đáy .Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên. Thí duï 3: Cho hình choùp O.ABC bieát ÐAOB=900 ;ÐBOC=600 vaø ÐCOA=1200 và OA =OB =OC =a. a.Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng. b.Tìm taâm vaø tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp O.ABC GIAÛI Dạng 3: Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng Phương pháp: –Gọi O và O’ là 2 tâm của 2 đáy. -Nối OO’ =>OO’ ^ hai đáy. –Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lặng trụ đứng => (1)=>IÎOO’ (2)=>IÎ(d) (với (d) là đường trung trục của AA1’ trong mp (AA’1 ;OO’) => I là giao điểm của (d) và OO’=>I là trung điểm của OO’, Thí dụ : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC = b , ÐC=600 .Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp (AA’C’C) góc 300. a.Tính thể tích của khối lăng trụ . b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ. GIẢI: BAØI TAÄP: 1.Cho hình chop tam giác đều có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB =AC =a ÐBAC = a . SA = aÖ3 và SA vuông góc với đáy.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên. 2.Cho hình chop tứ giác đều S,ABCD có chiều cao SO =2a , góc giữa cạnh bên và đáy là a . Xác định tân và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop S,ABCD. 3.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , mặt bên SAB à tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên. 4.Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA ; OB; OC đôi một vuông góc và OA = a ; OB = b ;OC =c. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện trên. 5.Cho hình vuông ABCD cạnh a .Trên đường vuông góc với (ABCD) dựng từ tâm O của hình vuông lấy một điểm S sao cho OS = a/2. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD 6.Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC =4a và CA = 3a..Trên đương vuông góc với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 450 . Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên. 7.Cho tứ diện SABC có SBC và ABC là 2 tam giác đều cạnh a và SA= aÖ2 a.Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện SABC b.Gọi O là trung điểm của BC .Trên tia đối của tia AO lấy điểm D sao cho OD=OA.Tính các cạnh của tứ diện S,BCD.