Giáo án lớp 12 môn Hình học - Bài toán cực trị trong hình học không gian

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1) BÀI TOÁN 1 Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho OA = a;OB = b;OC = c a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC .Hãy xác định vị trí B,C sao cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương) HD: a) mp(ABC) : 1x y z a b c + + = ; 2 2 2 2 2 2 ( ; ( )) abcd o ABC b c c a a b = + + b) 2 31 1 1.( ) . 6 6 6 2OABC b c a 24 bc a bc a +⎛ ⎞= = ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠V a ( đẳng thức khi b = c = a/2 ) BÀI TOÁN 2 Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C .Giả sử N nằm trong tam giác ABC và khoảng cách từ N đến các mp(OBC) ,(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c . a) Chứng minh răng : 1a b C OA OB OC + + = b) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất c) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất (ĐHHH95) HD: c b a C O A B N Chọn hệ trục Oxyz sao cho N(a,b,c) .Phương trình mặt phẳng (P) qua N là: (x - a) + (y - b) + (z - c) = 0 α β γ Suy ra : ( ;0;0) ; (0; ;0) ; (0;0; )a b c a b c a b cA B Cα β γ α β γ α β γα β + + + + + + γ b) 33 33. ( . . )1 1 ( ) 1 9 6 6 6 2OABC a b ca b cV abc abc α β γα β γ αβγ αβγ + += = ≥ = 9min khi a =b =c 2OABC V abc α β γ= suy ra OA = 3a ; OB = 3b ;OC = 3c 1 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN c) Ta có : OA + OB + OC a b c a b c a b cα β γ α β γ α β γ α β λ + + + + + += + + b a c a c ba b c β α γ α γ βα β α γ β γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ 22 2 2 (a b c ba ac cb a b c≥ + + + + + = + + ) min (OA + OB + OC) 2 2 2a b c OA a ab acα β γ⇔ = = ⇒ = + + BÀI TOÁN 3 Cho tứ diện SABC có 2 ; SC (ABC)SC CA AB a= = = ⊥ ,tam giác ABC vuông tại A ,các điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC (ĐH Đà Nẳng 2001) C B A S M N HD: Chọn hệ trục C ≡ O ; A(a;a;0) ; B(2a;0;0); S( Viết phương trình SA và M∈SA suy ra M : 0;0; a 2) ( ; ; 2 2 2 t t tM a a− − ) ; N(t;0;0) 6 2min khi t= 3 3 aMN = a BÀI TOÁN 4 Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM2 + BM2 + CM2 + DM2 nhỏ nhất HD: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ,ta có: 2 2 2 2 .MA MG GA MA MG GA MGGA= + ⇒ = + +JJJ JJJ JJJG JG JJJG JG JJJG Tương tự: 2 2 2 2 .MB MG GB MGGB= + + JJJJG JJJG ; 2 2 2 2 .MC MG GC MGGC= + + JJJJG JJJG ; 2 2 2 2 .MD MG GD MGGD= + + JJJJG JJJG Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 24 2MA MB MC MD MG GA GB GC GD+ + + = + + + + Vậy S nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất ⇔ M≡ G 2 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ nhất của MN HD: Chọn hệ trục M(0;0;m) N(a;n;0) Vì MD’//NC’ nên: a a m anm a n a n a −= ⇒ =− − . Suy ra : MN = m + n – a = 2 2n an a n a − + − Xét hàm số : 2 2 ( ) (n>a)n an af n n a − += − . MinMN = 3a khi n =2a BÀI TOÁN 6 I A D D' B C A' K B' C' M N Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Xác định thiết diện đi qua một đường chéo và tìm diện tích nhỏ nhất của nó theo a A D D' B C A' B' C' M N 3 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN HD: Đặt AM = y ⇒ B’N = a – y Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(a;0;0) D(0;a;0) A’(0;0;a) .Khi đó M(0;y;0) N(a;a-y; a) 2 2 2 4 2 2 6' , ' ( ) 2 2td a aS A M A N a a y a a y y⎡ ⎤= = − + + ≥ ⇔⎣ ⎦ JJJJJG JJJJG = BÀI TOÁN 7 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có : ; 2 ;AA'=aAB a AD a= = 2 .Trên AD lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M .Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M để thể tích khối tứ diện A’KID lớn nhất (ĐHSP 2001) y x z K I A B D C A' D' C' B' M HD: Đặt AM = m Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(2a;0;0) '(0;0; 2)D a . Khi đó M(m;0;0) ; 2; ; 2 2 2 m a aK ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 ' 1 2' , ' . ' .(2 ) 6 24A KID aV A K A I A D a⎡ ⎤= =⎣ ⎦ JJJJG JJJG JJJJG m− 2 ' 2ax khi m=0 M A 12A KID am V = ⇔ ≡ BÀI TOÁN 8 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh BD và B’A lấy lần lượt các điểm M,N sao cho BM = B’N = t ,gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi MN với BD và B’A a) Tính MN theo a và t.Tìm t để MN nhỏ nhất b) Chứng minh rằng : 2 2 1cos cos 2 α β+ = c) Tính α , β khi MN nhỏ nhất ĐHSP (Vinh 2001) 4 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN y x z A B D C A' D' C' B' M N HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(a;0;0) A’(0;0;a) . Viết phương trình BD và B’A suy ra M(a-u ; u;0) N(0;v ; v) Theo giả thiết BM =B’N = t ⇒ u =v MN2 = (a-u)2 + (u-v)2 + v2 = 2u2 – 2au + a2 = 2 2 2 2 2 2 a a au⎛ ⎞− + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 amin khi u= 22 2 a aMN t= ⇒ = c) α = β =600 BÀI TOÁN 9 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và đường cao bằng x . Tìm x để góc tạo bới đường thẳng B’D và mp(B’D’C) lớn nhất y z xA D C A' B' C' D' B 5 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0) A’(0;0;x) ⇒ ' ( 1;1; )B D x= −JJJJG Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B’D’C) là : ', ' ( ; ; 1)n CB CD x x⎡ ⎤= = − − −⎣ ⎦ G JJJG JJJJG Gọi α là góc tạo bởi B’D và mp(B’D’C) : 4 2 | ' . |sin | ' | . | | 2 5 B D n x B D n x x α = = + + 2 JJJJG G JJJJG G Xét hàm số : 4 2 (x > 0)2 5 2 xy x x = + + 1ax(sin )= khi x=1 3 M α . Khi đó ABCD.A’B’C’D’ là một hình lập phương BÀI TOÁN 10 Cho khối cầu có bán kính R .Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu có thể tích lớn nhất.Tính thể tích khối trụ đó HD: Gọi chiều cao của khối trụ là 2x (0 < x < R) suy ra bán kính của khối trụ là : 2 2 2 3. 2 ( )k trur R x V R x xπ= − ⇒ = − Xét hàm số : 2 3 x (0;R)y R x x= − ∈ BÀI TOÁN 11 Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước .Tìm hình chóp đều có diện tích toàn phần nhỏ nhất HD: Giả sử hình chóp đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h và thể tích V .Ta có: 3 3 TP TP V Vr S S r = ⇒ = Vậy STP nhỏ nhất ⇔ V nhỏ nhất Ta có : 2 2 3 12TP V ahr S a a h = = + + Gọi M là trung điểm của BC và ϕ là góc giữa mặt bên và đáy hình chóp suy ra : 3 . tan 6 ah ϕ= Khi đó : 6 (cos +1) (cos +1) ; cos3 sin r ra hϕ ϕϕϕ= = ; 2 2 3 3(cos +1) r(1+t)3 = 3r (0<t=cos <1 cos (1 cos ) t(1-t) V r ϕ ϕϕ ϕ= − Xét hàm số : 2r(1+t)( ) (0<t<1) t(1-t) f t = ĐS: 4 ;tan =2 2 ; a=2r 6h r ϕ= 6 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN 12 Cho hình nón có bán kính đáy R ,chiều cao h. Tìm hình trụ nội tiếp hình nón có thể tích lớn nhất HD: Gọi r là bán kính hình trụ nội tiếp hình nón, G S A C A' Fta có: 2 2. 1 ( ) 1 ( ) 3 3k tru h R r hV r r R R R rππ −= = − Xét hàm số ĐS: 2( ) ( ) (0<r<R)f r r R r= − 2 . 4 2 ; r= 81 3k tru Rhπ=V R BÀI TOÁN 13 SBT-B34 :Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân ở C và SA ⊥ mp(ABC) ,SC = a.Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất. Giải Ta có: SA⊥(ABC) và BC⊥CA ⇒ BC⊥SC (theo định lý 3 đường vuông góc) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) là . Đặt : nSCA n 2 0<x< π⎛ ⎞= ⎜⎝SCA x ⎟⎠ suy ra: SA = a.sinx ; AC = a.cosx 3 2 . 1 1 1. . . .sin .c 3 3 2 6S ABC ABC aV S SA AC BC SA x x= = = os Xét hàm số: f(x) = sinx.cos2x Ta có: f’(x)= cos3x – 2cosx.sin2x = cosx(cos2x – 2 + 2cos2x) = cosx(3cos2x – 2) = 2 23 cos cos cos 3 3 ⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ x x x 2 os = ,0 < < 3 Vì 2cos cos 0 2 3 0 < x < .π ⎛ ⎞⇒ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ x x > 2Goïi laø goùc sao cho c πα α α Bảng biến thiên : Vậy thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất ⇔ f(x) đạt giá trị lớn nhất ⇔ 2 2x= vôùi 0 < < vaø cos = 3 πα α α f(x) f’(x) 0 2 π -0 + A B C S x 7 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN 14 SBT-B35 : Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a.Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy khối chóp thì thể tích khối chóp nhỏ nhất. Giải Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD); gọi E,H lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra SE,SH là các trung đoạn của hình chóp Vì AD // BC nên AD // (SBC) ⇒ d(A,(SBC)) = d(E,(SBC)) Dựng EK ⊥ SH thì EK ⊥ (SBC) (vì (SEK) ⊥ (SBC)) Vậy EK = d(A,(SBC)) = 2a Ta có: BC ⊥ SH và BC⊥OH suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) là nSHO . Đặt : n 2 0<x< π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠SHO x . Ta có: 2 sin a a ; OH= ; SO= sinx cosx = aEH x Vậy: 3 . 2 1 4. 3 3cos .sS ABCD ABCD a in SO x x = =V S O D A B C S H E K Thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất ⇔ f(x) = cosx.sin2x đạt giá trị lớn nhất Ta có: f’(x)= -sin3x + 2sinx.cos2x = sinx(2cos2x – sin2x) = sinx(2 – 3sin2x) = 2 23sin sin sin 3 3 ⎛ ⎞⎛+ −⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎞⎟⎟⎠ x x x Vì 2sin sin 0 2 3 0 < x < .π ⎛ ⎞⇒ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ x x > 2 2Goïi laø goùc sao cho sin = ,0 < < 3 πα α α Bảng biến thiên : f(x) f’(x) 0 2 π -0+ x Vậy thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi f(x) đạt giá trị lớn nhất ⇔ 2 2x= vôùi 0 < < vaø sin = 3 πα α α 8 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN 15 Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm của cạnh SC .Mặt phẳng (P) đi qua AM nhưng luôn luôn cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’ a) Chứng minh : 3 ' ' SB SD SB SD + = B) Gọi V = VS.ABCD và V1 = VS.AB’MD’ .Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số V1/V HD: Gọi O là tâm của hình bình hành và G = AM∩SO thì G là trọng tâm của tam giác SBD,suy ra: 2 3 =SG SO Xét tứ diện SAB’D’ và SABD : G M O D A B C S B' D' Ta có: ' ' ' '.SAB D SABD V SB SD V SB S = D Xét tứ diện SAB’G và SABO : Ta có: ' ' 2. . 3 SAB G SABO V SB SG SB V SB SO S = = ' B Xét tứ diện SAD’G và SADO : Ta có: ' ' 2. . 3 SAD G SADO V SD SG SD V SD SO S = = ' D ' 'V+ = Mà :V V và ' 'SAB G SAD G SAB D 1 2SABO SADO SABD V V V= = Suy ra: ' ' 2 ' ' 3 SAB G SAD G SABO SADO V V SB SD V V SB SD ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ' ' 2 ' 1 1 3 2 2 SAB G SAD G SABD SABD V V SB SD SB SDV V ⎛ ⎞⇒ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ' ' ' 1 ' ' 3 SAB G SAD G SABD V V SB SD V SB SD ++ ⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ' ' 1 ' ' 3 SAB D SABD V SB SD V SB SD ⎛ ⎞⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ' ' 1 ' '. 3 SB SD SB SD SB SD SB SD ⎛ ⎞⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 ' ' SB SD SB SD ⇒ + = Ta cũng có: . ' . ' . . 1 ' 1 ' SD . . 2 2 S AB M S AD M S ABC S ADC V VSB SD V SB V = = ; . ' . ' . . 1 '. 2 S AB M S AD M S ABC S ADC V V SB SD V V SB SD ⎛ ⎞⇒ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ' 9 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN . ' . ' . ' ' . . . 1 ' '.1 1 1 2 2 2 2 S AB M S AD M S AB MD S ABCD S ADCD S ABCD V V V SB SD SB SDV V V ⎛ ⎞⇒ + = = +⎜ ⎟⎝ ⎠ . ' '1 . 1 ' '. 4 S AB MD S ABCD VV SB SD V V SB SD ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = Đặt : ' ' SB SDx SB SD = ≤ ; y= (1 x;y 2)≤ 1 1 1 1. 4 V V x ⎛ ⎞⇒ = +⎜⎝ ⎠y ⎟ với x + y = 3 1 3 3 1. 4 4 (3 V V xy x x ⇒ = = )− 1 11 9 3 2 3 4 8 V V V V ⇒ = =min khi xy= ; max khi xy= BÀI TOÁN 16 Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi .Biết rằng SA = a ; SB +SC = k (không đỏi) .Xác định SB,SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất HD: Ta có: 1 1. . ax(k-x) 6 6 V S A SB SC= = BÀI TOÁN 17 Cho tam giác OAB đều cạnh a.Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(OAB) ta lấy điểm M với OM = x.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A lên MB ,OB .Đường thẳng EF cắt d tại N .Chứng minh AN⊥ BM và định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất HD: Ta có: AF⊥ OB , AF⊥ OM ⇒ AF⊥ MB AE⊥ MB ⇒ MB⊥ (AEF) ⇒ MB⊥ AN 1 . 3ABMN OAB V S MN= VABMN nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất ⇔ OM + ON nhỏ nhất O B A M F E N ∆OMB đồng dạng ∆OFN ⇒ OM.ON = OF.OB = a2/2 BÀI TOÁN 18 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x để diện tích toàn phần lớn nhất HD: STP = 4SACD = 24 1x x− 10 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN 19 Cho tứ diện ABCD có AB = 2x ; CD = 2y ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x ,y để diện tích toàn phần lớn nhất HD: 2 22 1 2 1TPS x x y= − + − y Mà : ( )22 2 22 1 ; 1 1x x x x− ≤ + − = ( )22 2 22 1 1y y y y 1− ≤ + − = 2 22 1 2 1 2TPS x x y y= − + − ≤ Max STP = 2 Khi x = y = BÀI TOÁN 20 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt phẳng qua C’ và không cắt hình hộp nhưng cắt các cạnh AA’,AB;AD kéo dài tại E,F,G . a) Chứng minh : 1 AF a b c AE AG + + = b) Xác định mp(P) sao cho thể tích tứ diện AEFG nhỏ nhất . HD: Chọn hệ trục tọa độ: A(0;0;0) B(b;0;0) D(0;c;0) A’(0;0;a) C’(a;b;c) c b a A D B C C'B' D'A' Mặt phẳng (P) đi qua C’ lần lượt cắt AB,AD,AA’ tại F;G;E Phương trình mp(P) 1 AG x y z AF AE + + = Mà (P) qua C’ nên: 1 AF a b c AE AG + + = Do 31 3 .AF.AG 27abcAF .AF.AG a b c abc AE AE AG AE = + + ≥ ⇒ ≥ 1 27abc 9.AF.AG 6 6AEFG V AE abc= ≥ = 2 11 LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN BÀI TOÁN 21 Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tìm quan hệ giữa đường kính đáy với chiều cao để diện tích toàn phần nhỏ nhất. HD: Gọi x là bán kính đáy và h là chiều cao hình trụ (x;h>0); 2 2TPV x h ; S 2 x 2 xh= π = π + π 2TP2 V 2Vh S 2 x (x 0) x x ⇒ = π + >π⇒ = ; STP nhỏ nhất khi 3 Vx h 2x 2 = ⇒ =π BÀI TOÁN 22 Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, tìm hình trụ có diện tích xq SXq lớn nhất. HD: Gọi x là bán kính hình trụ : 0 < x < R ; chiều cao y : 0 < y < 2R 2 2 2 2 2 Xq Xq yS 2 xy; x R S 4 x R x 2 ⎛ ⎞= π + = ⇒ = π −⎜ ⎟⎝ ⎠ ; 2 xq RxS 2R x ;y 2x 2 = ⇔ = =Ma BÀI TOÁN 23 Có 1 miếng bìa hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn làm 1 cái hộp không nắp bằng cách cắt đi bốn góc 4 hình vuông cạnh a. Tìm a để thể tích cái hộp lớn nhất. BÀI TOÁN 24 Có 1 miếng bìa hình chữ nhật cạnh a;b cm. Người ta muốn làm 1 cái hộp không nắp bằng cách cắt đi bốn góc 4 hình vuông cạnh x . Tìm x để thể tích cái hộp lớn nhất. HD: Ta có : V = x(a-2x)(b-2x ) ĐS: ( )2 21 1x x a b a ab b6= = + − − + BÀI TOÁN 25 ? Trong các tam giác vuông có cạnh huyền 10cm, tìm tam giác có diện tích lớn nhất. HD: 21S x 100 x 2 = − BÀI TOÁN 26 Tìm chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R sao cho thể tích hình nón lớn nhất HD: Gọi x là bán kính hình nón : 0 < x < R ; chiều cao y : 0 < y < 2R Ta có : 2 2 2 2 21x (y R) R x 2Ry y V (2Ry y )y 3 + − = ⇒ = − ⇒ = π − ; 332 4RxV R y 81 3 = π ⇔ =Ma BÀI TOÁN 27 Tìm hình nón ngoại tiếp trong hình cầu bán kính R sao cho diện tích xung quanh hình nón nhỏ nhất HD: Chiều cao hinh nón x R (2 2)= + BÀI TOÁN 28 Thể tích lăng trụ tứ giác đều là V. Tìm cạnh đáy của lăng trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất HD: Gọi x là cạnh đáy của lăng trụ ;chiều cao y : V = x2y ; 32 2Xq 4VS 2x 4xy 2x ;x 0 miny 6 V x = + = + > ⇒ = 2 khi 3x V;y= = x 12