Giáo án lớp 12 môn Hình học - Các bài toán về điểm trong không gian

CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN Tìm điểm A’ đối xứng vói A qua đường thẳng (d): Phương pháp: Viết pt đường thẳng d dưới dạng tham số (hoặc chính tắc) Viết phương trình mp đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d Tìm giao điểm M của d và mp. Tìm toạ độ của điểm A’ dựa vào M là trung điểm của AA’. Bài 1. Tìm điểm Q đối xứng với P(4;1;6) qua đường thẳng: HD: Viết pt của đường thẳng (d) đã cho về dạng tham số: (d): đi qua điểm (-5;7;0) và véc tơ chỉ phương Phương trình mp qua P(4;1;6) và vuông góc với (d) là: 2x-2y+z-12=0 Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và : A(3;-1;4). Theo tính chất đối xứng thì a là trung điểm của PQ, nên dễ dàng có: Q(2;-3;2). Tìm điểm A’ đối xứng vói A qua qua mp(P): Phương pháp: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp(P) Tìm toạ độ giao điểm I của (d) và mp(P). Tìm toạ độ điểm B bằng cách dựa vào I là trung điểm của AB Bài 2. Tìm điểm B’ đối xứng với điểm A(1;3;-4) qua mp(P): 3x+y-2z=0. HD: gt nên pt đường thẳng AB là: Toạ độ giao điểm I của AB và mp(P) là: I(-2;2;-2). Theo tính chất đối xứng thì I là trung điểm của AB, nên dễ dàng tính được toạ độ điểm B là: B(-5;1;0). Bài 3. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2). HD: Cách 1. Theo gt: MA=MB=MC nên M thuộc các mp trung trực (P), (Q) của AB và AC, suy ra: M(d) là giao tuyến của (P) và (Q). Mp(P) qua trung điểm của AB và nhận làm véctơ pháp tuyến nên có pt: -2x+y-z-1=0. Tương tự phương trình mp(Q): x-4y+z-7=0. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng (d) có phương trình: . Cách 2. Gọi M(x;y;z) là điểm cách đều 3 điểm A, B, C. Ta có: Bài 4. Cho A(1;2;-1), B(7;-2;3) và đường thẳng (d) có phương trình: Chứng minh rằng đường thẳng (d) và đường thẳng AB cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm điểm I(d) sao cho AI+BI nhỏ nhất. Hướng dẫn: Ta có: , mà A, nghĩa là d và AB cùng thuộc một mặt phẳng. - Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Ta có: IA+IB=IA’+IBA’B (Có dấu bằng khi và chỉ khi A’, I, B thẳng hàng). Vậy điểm I cần tìm là giao của (d) với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.Giải ra, ta được: I(2;0;4). Cách 2: Tìm toạ độ của điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng d và đường thẳng A’B. Bài 5. Cho điểm A(-1;3;-2) và điểm B(-9;4;9) và mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0. Tìm điểm K(P) sao cho AK+BK nhỏ nhất. Giải: Gọi phương trình mặt phẳng (P) : f(x,y,z)=0. Ta có: >0. Vậy A và B nằm cùng một phía đối với mp(P). Đường thẳng đi qua A, vuông góc với (P) là: . Gọi A’(2t-1;-t+3;t-2) là điểm đối xứng của A qua (P) thì trung điểm của AA’ là: I nên thay toạ độ của I vào pt mp(P) ta được t=2. Vậy A’(3;1;0). Nếu tồn tại tam giác KAB thì KA+KB=KA’+KB>A’B. Vậy KA+KB nhỏ nhất khi K, A’, B thẳng hàng. Đường thẳng A’B là: Chú ý: Nếu A và B nằm khác phía của (P) thì AK+BK nhỏ nhất .