Giáo án lớp 12 môn Hình học - Đề ôn tập thi đại học

ĐỀ 16 Câu 1 Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d1) và (d2). Câu 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = a, (SBC) và SB = SA = a. Chứng tỏ rằng tam giác SBC vuông. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp. Cho biết SC = x. GIẢI Câu 1 ° Phương trình tham số của ° (d1) qua A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương ° (d2) qua B(0; 3; 0) và có vectơ chỉ phương ° và (d2) chéo nhau. ° Lấy điểm ° Lấy điểm ° MN là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2) ° Suy ra: ° Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2) ° Mặt phẳng (P) cách đều (d1) và (d2) chính là mặt phẳng trung trực của MN Þ (P) đi qua I và có pháp vectơ Þ 0(x – 2) + 0(y – 1) – 4(z – 2) = 0 Þ z – 2 = 0. ° Vậy, phương trình mặt phẳng (P): z – 2 = 0. A B S C H O x Câu 2: ° Gọi H là trung điểm của BC, ta có . ° Vì , nên ° Hai tam giác vuông SHA và BHA có HA chung và SA = BA = a, nên DSHA = DBHA Þ HS = HB = HC. vậy, DSBC vuông tại S. ° Ta có: Þ là trục của đường tròn (SBC) Þ tâm O hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC thuộc AH và vì O cách đều A và B nên O thuộc trung trực của AB vẽ trong mp (ABC). Vậy O hoàn toàn được xác định. H O A I B ° DSBC vuông có: ° DABH vuông có: ° Gọi I là trung điểm của AB. Tứ giác OIBH nội tiếp được nên: Vậy, bán kính hình cầu , với ĐỀ 17 Câu 1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (D): và mặt phẳng (a) : x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A(3; -1; 1) nằm trong (a) và hợp với (D) một góc 45o. Câu 2 Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), SA = 2a. Mặt phẳng (a) qua BC hợp với AC một góc 30o, cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện BCNM. GIẢI Câu 1 ° Gọi là vectơ chỉ phương của (d) ° Vì ° Ta có: ° Với c = 0, chọn a = b = 1 ° Với chọn ° Vậy, có 2 phương trình (d) : Câu 2: Cách 1: C D N M S H B a A ° Ta có: ° Mà: Suy ra thiết diện BCNM là thang vuông tại B, M. ° Dựng Ta có: (vì Suy ra: ° DABM vuông tại A, đường cao AH có: (DABM vuông cân) và ° Diện tích hình thang vuông BCNM: C y 2a S N D y a x a B H A M Cách 2: ° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; 2a). ° Đặt: AM = h; (0 < h < 2a) Þ M(0; 0; h) ° , với là pháp vectơ của mặt phẳng (a). ° Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương với . ° (a) hợp với AC một góc 30o. M là trung điểm SA. ° Ta có: ° là hình thang vuông tại B và M. ° DABM vuông cân đỉnh A Þ ° MN là đường trung bình của DSAD ° Diện tích hình thang vuông BCNM: . ĐỀ 18 Câu 1 Cho hai mặt cầu: x2 + y2 + z2 – 9 = 0 và x2 + y2 + z2 – 6x – 12y + 12z + 72 = 0. Tìm phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường nối tâm của hai mặt cầu trên, tiếp xúc với hai mặt cầu trên và có bán kính lớn nhất. Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD), Mặt phẳng (a) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt là M, N, P. Chứng minh rằng tứ giác AMNP có hai đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác. GIẢI Câu 1 ° Mặt cầu (S1): có tâm I1(0; 0; 0), bán kính R1 = 3. ° Mặt cầu (S2): có tâm , b.kính ° Ta có: và (S2) ở ngoài nhau. ° Vì đoạn , suy ra tâm I của mặt cầu (S) cần tìm là trung điểm của đoạn I1I2 và bán kính ° Vậy, phương trình mặt cầu (S): Câu 2: S A P N M B C D O 1. Cách 1: ° Ta có: . Và: Suy ra: ° Chứng minh tương tự ta cũng có: . ° Mà: (đpcm) ° Ta có: MP // BD và DSAC vuông cân đỉnh A Þ DSAN vuông cân dỉnh N ° Diện tích tứ giác AMNP: Cách 2: S A P N M B C a O z a x D y ° Dựng hệ trục Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), ° ° ° ° Phương trình mp(a) qua A(0; 0; 0) với pháp vectơ : ° Phương trình đường thẳng SC qua C(a; a; 0) với vectơ chỉ phương : ° ° ° Phương trình đường thẳng (SB): x = a + t; y = 0; ta có: ° Phương trình đường thẳng (SD); ta có: ° ta có: (đpcm) Diện tích tứ giác AMNP: ĐỀ 19 Câu 1 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2, 3, 2); B(6, -1, -2); C(-1, -4, 3); D(1, 6, -5). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD và tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Câu 2 Cho hình chóp S ABCD, SA ^ (ABCD), SA = a, SC ^ BD; đáy ABCD là hình thang vuông có BC = 2a, và đường cao AB = a. M là điểm trên cạnh SA, đặt AM = x (. Tính độ dài đường cao DE của DBMD. Định x để DE đạt giá trị nhỏ nhất. GIẢI Câu 1 ° ° ° Gọi j là góc giữa hai đường thẳng AB và CD, ta có: . ° Vậy, ° Phương trình đường thẳng CD qua C với vectơ chỉ phương ° ° ° ° Chu vi DMAB: Dấu “=” xảy ra Û t – 1 = 0 Û t = 1 Þ M(0; 1; -1) là trung điểm của CD. ° Vậy, chu vi DMAB nhỏ nhất bằng khi M(0; 1; -1) là trung điểm của CD. S M B C I E A D Câu 2: 1. Cách 1: ° Gọi I là giao điểm của AC và BD ° Ta có: ° DABC vuông có: ° DAMI vuông có: ° DAMB vuông có: ° DABD vuông có: ° DMBD có: M E A D a C y z S a B x Dấu “=” xảy ra ° Vậy, Cách 2: ° Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), . ° ° Phương trình đường thẳng BM qua B với vectơ chỉ phương: ° ° ° Ta có: ĐỀ 20 Câu 1 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 0), B(0; -1; 0), C(0; 0; 2). D(2; -1; 1) Tìm vectơ là hình chiếu của vectơ trên CD. Câu 2 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có chiều cao bằng h và hai đường thẳng AB', BC' vuông góc với nhau. Tính thể tích lăng trụ theo h. GIẢI Câu 1 Phương trình đường thẳng (CD): ° ° Ta có: ° Vậy, . Câu 2: B/ C A B a/2 I K h h A/ C/ 1. Cách 1: ° Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC. Gọi I là trung điểm BC ° Ta có: Mà: , suy ra: tại K. ° DBB/I vuông có: ° ° DBB/I vuông đường cao BK có: ° Thể tích lăng trụ: . Cách 2: K h h A/ z C/ B/ x B I y C ° Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC. Gọi I là trung điểm BC ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, , ° ° Ta có: ° Thể tích lăng trụ: