Giáo án lớp 12 môn Hình học - Khối đa diện và hình đa diện các phép biến hình trong không gian

Chương i: khối đa diện Đ1. khối đa diện và hình đa diện các phép biến hình trong không gian ví dụ Chứng minh rằng: Nếu một khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó là số chẵn. Chứng minh rằng: Nếu một khối đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng 5 mặt thì tổng số các đỉnh của nó là số chẵn. Cho tứ diện đều EFGH. Gọi I, J, K, L, M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh FG, GH, HF, HE, EG, EF. Chứng minh rằng IJKLMN là một bát diện đều. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là giao điểm của AC’ và A’C. Tìm ảnh của hình lập phương qua phép tịnh tiến . Tìm ảnh của hình lập phương qua phép đối xứng tâm . Tìm A0 là ảnh của A qua phép đối xứng mặt phẳng (A’BD). Tính độ dài đoạn AA0 biết cạnh của hình lập phương bằng a. Cho hình lăng trụ ABCDE. A’B’C’D’E’ có hai đáy là ngũ giác đều, AA’^CD. Chứng minh lăng trụ đó là hình có mặt phẳng đối xứng. Cho hình bát diện đều. Hãy tìm một phép vị tự tỉ số k=-1 biến nó thành chính nó. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Lấy E trên AB, F trên CD sao cho ; .Tìm một phép biến hình biến 4 điểm A,D,D’,E theo thứ tự thành C’,B’,B,F. Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF. A’B’C’D’E’F’. Gọi O là tâm đáy ABCDEF, I là trung điểm của FF’, L là giao điểm của BC và ED. Đường thẳng qua L và song song với AF cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh rằng hai hình chóp I.ABOF và E’.BMLE đồng dạng với nhau. Cho hình chóp tứ giác F.ABCD có đáy là hình vuông, FC ^(ABCD). Chứng minh rằng dùng 3 hình chóp bằng hình chóp trên có thể gép lại thành hình lập phương. Bài tập Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là giao điểm của AC’ và A’C. Tìm ảnh của hình lập phương qua phép tịnh tiến . Tìm ảnh của hình chóp I.ABCD qua phép đối xứng trục B’D’. Tìm ảnh của hình chóp I.ABCD qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2. Chứng minh rằng: Nếu một khối đa diện có các mặt là những ngũ giác thì tổng số các mặt của nó là số chẵn. Chứng minh rằng: Nếu một khối đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng 7 mặt thì tổng số các đỉnh của nó là số chẵn. Chứng minh rằng các trung điểm của một tứ diện đều là các đỉnh của một bát diện đều. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hỏi nó có bao nhiêu: Tâm đối xứng. Trục đối xứng. Mặt phẳng đối xứng. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm phép dời hình biến hình lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hình lăng trụ CBD.C’B’D’. Chứng minh rằng trong hình bát diện đều, bốn đỉnh cùng nằm trên một mặt phẳng của nó tạo thành một hình vuông. Khi phân chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta được nhiều nhất là bao nhiêu khối tứ diện. Biết rằng, chỉ được sử dụng các đỉnh của khối tứ diện là các đỉnh của hình lập phương. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là giao điểm của AC’ và A’C. Chứng minh rằng hai hình chóp I.ABB’A’ và I.CDD’C’ bằng nhau. Gọi E, F, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD, AB, CD’. Chứng minh rằng hai khối tứ diện ABEA’ và D’A’JD bằng nhau. Đ2. Thể tích của khối đa diện ví dụ Cho tứ diện OABC có ba tia OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Cho biết OA=a, OB=b, OC=c. Tính theo a,b,c thể tích của khối tứ diện. Cho S.ABCD có SA=3a, SA^(ABCD), đáy là hình thang vuông trong đó đáy lớn là AD=2a, đáy nhỏ BC=a, AB=a. a. Tính thể tích của hình chóp. b. Gọi E là trung điểm của AD tính thể tích của hình chóp S.ACDE. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, , BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc 300. a. Tính độ dài đoạn AC'. b. Tính thể tích của lăng trụ. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại C, cạnh BC = a và hình chiếu của B' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC. Các cạnh bên nghiêng với đáy góc 600 còn góc nhị diện cạnh BB' bằng450. a. Tính chiều cao của lăng trụ. b. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ. Cho S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, , các mặt bên hợp với đáy góc 600. a. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp. b. Gọi O là tâm của đáy, H là trực tâm tam giác SAD. Chứng minh rằng OH vuông góc với mặt phẳng (SAD). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD cạnh bằng a, tâm O. Cạnh bên nghiêng với đáy góc 600. Gọi I là điểm trên SO sao cho . Mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với SO cắt SA,SB,SC,SD tại A',B',C',D'. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp cụt ABCD.A'B'C'D' . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại MNP. a. Tính tỷ số thể tích của hình chóp S.AMNP và S.ABCD. b. Tính thể tích của hình chóp S.AMNP Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a góc và cạnh bên AA' = . a. Tính diện tích toàn phần của lăng trụ. b. Chứng minh rằng các hình bình hành ABC'D' và BCD'A' có diện tích bằng nhau. Tính diện tích này. Bài tập Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BB'C'C) bằng 300. a. Tính cạnh AB'. b. Tính diện tích xung quanh lăng trụ. Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều và hình chiếu của C' lên mặt phẳng (ABC) là tâm O của tam giác ABC. Khoảng cách từ tâmO của tam giác ABC đến CC' bằng a và góc phẳng của nhị diện cạnh CC' là 1200. a. Tính chiều cao của lăng trụ. b. Tính diện tích xung quanh và thể tích của lăng trụ. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có trung đoạn bằng a và góc giữa cạnh bên và đáy bằng 450. a. Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp. b. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp . Cho một đường tròn đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm M nằm trên đường tròn đó. Cho . Trên đường vuông góc với (P) tại A lấy SA = a. Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của A lên SM và SB. a. Chứng minh rằng SB vuông góc với (KHA) b. Gọi I là giao của HK với (P). Hãy chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn đã cho. c. Cho . Tính thể tích của khối ABMHK. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AD,AB,SC. a. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (MNP). b. So sánh thể tích của hai khối đa diện do mặt phẳng (MNP) chia ra trên hình chóp. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, AA’=c. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H’), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A’. Tìm thể tích của (H) và (H’). Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài bằng a, lấy điểm M sao cho AM=x . Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng hình vuông tại A, lấy điểm S sao cho SA=y (y>0). a. Chứng minh rằng (SAB)^(SBC). b. Tính khoảng cách từ M đến (SAC)? c. Tính thể tích của khối chóp S.ABCM theo a, y, x. d. Biết x2+y2=a2 tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đáy đều bằng a, các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’. a. Tính chiều cao của lăng trụ. b. Tính tan của góc giữa hai đường thẳng BC và AC’. c. Tính tan của góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy. d. Tính thể tích của khối lăng trụ Chương iI: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón. Đ1. Mặt cầu ví dụ Cho hình cầu đường kính AA' = 2R. Gọi H là điểm trên đoạn AA' sao cho AH = . Mặt phẳng ( P ) qua H và vuông góc với AA' cắt hình cầu theo đường tròn (L). a. Tính diện tích (L). b. Gọi BCD là tam giác đều nội tiếp trong (L). Tính thể tích hình chóp A.BCD và A'.BCD. Cho S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, BC=2a, SA = SB = SC = a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Cho S.ABC có SA = a là đường cao của hình chóp, tam giác ABC đều cạnh a.Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh AB = AC = SA = SB = a và hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau. a. Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác vuông. b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp khi SC = x. Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là h. Gọi O là tâm của ABCD và H là trung điểm BC. Đường phân giác trong của góc cắt SO tại I. a. Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. b. Tính bán kính hình cầu trên. Bài tập Cho hình cầu tâm O bán kính R, A là một điểm trên mặt cầu, ( P ) là mặt phẳng qua A sao cho góc của OA và ( P ) là 300. a. Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( P ) và hình cầu. b. Đường thẳng qua A và vuông góc với ( P ) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB. Trên mặt cầu tâm O bán kính R, cho một điểm S cố định. Gọi S.ABC là hình chóp tam giác đều đỉnh S, đường cao x ( 0 < x < 2R) nội tiếp trong hình cầu. a. Trình bày sơ lược cách dựng hình chóp S.ABC. b. Tính thể tích V của S.ABC theo R và x. c. Định x để V đạt giá trị lớn nhất. Khi đó hình chóp S.ABC có đặc điểm gì ? Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. a. Chứng minh A,B,C,H,K cùng nằm trên một mặt cầu. b. Tìm bán kính của mặt cầu trên biết AB = 2; AC = 3, góc . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy góc 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD có đáy là AB và CD trong đó CD = 4AB và ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại O ta lấy điểm S sao cho OS = 2R. a. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp. b. Chứng tỏ điểm O cách đều 4 mặt bên của hình chóp S.ABCD. Từ đó hãy tìm tâm và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp. Đ2. mặt tròn xoay Một hình trụ có bán kính đáy là R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó. b. Tính thể tích của lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho. Một hình trụ có bán kính đãy là R và đường cao . A và B là hai điểm trên hai đường tròn đãy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ bằng 300. a. Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ. b. Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B. c. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của hình trụ. Một hình nón có đường sinh và góc giữa đường sinh và đáy là 600. a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón. b. Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho . Tính diện tích thiết diện qua I và vuông góc với trục. Một hình nón cụt có các bán kính đáy là R và , góc giữa đường sinh và mặt đáy lớn là . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt đó. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy. Một hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy của hình nón. a. Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu. b. Tính diện tích xung quanh của phần mặt nón nằm trong mặt cầu. c. Tính diện tích mặt cầu và hãy so sánh với diện tích toàn phần của mặt nón. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. a. Tính diện tích xung quang và thể tích của hình trụ có đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A'B'C'D' . b. Chứng minh tất cả các đỉnh của hình lập phương đều nằm trên một mặt cầu. Hãy tính diện tích mặt cầu đó. c. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt có đáy nhỏ được tao nên bởi đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD và đãy lớn được tạo nên bởi đường tròn ngoại tiếp hình vuông A'B'C'D' . Bài tập Một hình trụ có đáy là hai tình tròn tâm O và O' bán kính R; đường cao của hình trụ là . Gọi A là một điểm trên đường tròn (O), B là điểm trên đường tròn (O') sao cho OA vuông góc với O'B. a. Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO' là các tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này. b. Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và song song với OO'. Tính khoảng cách giữa OO' và (P). Trên hai đáy của một hình trụ, cho hai dây AB và CD song song với nhau và bằng nhau sao cho mặt phẳng ABCD không song song với trục của hình trụ. Dựng các đuờng sinh CC' và DD'. a. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật. b. Giả sử ABC'D' là một hình vuông cạnh a và góc giưũa mặt phẳng (ABCD) và đáy của hình trụ bằng 600. Tính thể tích của hình trụ và thể tích hình đa diện ABCDC'D'. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón. b. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này. Một hình nón cụt có đường sinh , góc giữa đường sinh và mặt đáy lớn là và thiết diện qua trục có đường chéo vuông góc với cạnh bên.Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt đó. Một hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy là R. Gọi M là điểm trên đoạn SO, đặt OM = x ( 0 < x < h). a. Tính diện tích của thiết diện (C) vuông góc với trục tại M. b. Tính thể tích V của hình nón đỉnh O và đáy (C) theo R,h và x.Với giá trị nào của x thì thể tích trên đạt GTLN. Biết diện tích đáy của một khối nón là 324 cm2 và diện tích của một thiết diện song song với đáy và cách đáy 30 cm là 182,25 cm2. Tính tan của góc ở đỉnh của khối nón ấy. Một hình trụ có bán kính R và đường cao . Người ta lấy hai điểm A và B mỗi điểm thuộc một đường tròn đáy, sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính thể tích của khối trụ tương ứng. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. Trong mặt phẳng (P) cho một đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Xét nửa mặt cầu nhận đường tròn (O) làm đường tròn lớn. Cắt nửa hình cầu trên bằng một mặt phẳng (Q) // (P) ta được thiết diện là hình tròn tâm I. Lấy trên đường tròn tâm I điểm M sao cho hình chiếu M’ của M trên (P) nhì OA dưới một góc vuông. Chứng minh DAMM’ vuông cân. Chứnh minh AM thuộc một mặt cầu tròn xoay cố định. Giả sử (Q) cắt nửa hình cầu theo một hình tròn có bán kính bằng , hãy tính thể tích của khối nón có đỉnh A, đường sinh là đoạn thẳng AM và bán kính đáy là MK. Cho ΔABC cân có và đường cao . Trên đường thẳng D vuông góc với (ABC) tại A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho DIBC đều và D JBC vuông cân tại J. Tính theo a độ dài các cạnh của DABC. Tính theo a độ dài AI, AJ. Chứng minh rằng DBIJ và DCIJ là các tam giác vuông. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA^(ABCD). Gọi B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD. Chứng minh các điểm A, B’, C’, D’ đồng phẳng. Chứng minh bảy điểm A, B, C, D, B’ , C’, D’ nằm trên một mặt cầu (W). Tính diện tích của mặt cầu (W) và thể tích khối cầu (W). Biết AB = a, AD = b và SA = h.