Giáo án lớp 12 môn Hình học - Mặt cầu – tiết 16

Đ2 MẶT CẦU – Tiờ́t 16 MỤC ĐÍCH, YấU CẦU Giỳp học sinh nắm được: Về kiến thức: Học sinh hiểu được cỏc khỏi niệm mặt cầu, tõm mặt cõ̀u, dõy cung đường kính mặt cõ̀u và khối cầu. Nắm được cách xét vị trí của một điểm so với mặt cầu, cách biểu diễn mặt cầu. Về kĩ năng: Rốn luyện kỹ năng tỡm tõm, bỏn kớnh của mặt cầu, kĩ năng giải một số bài toán quỹ tích liên quan tới mặt cầu. Vờ̀ tư duy, thái đụ̣: Rốn luyện tư duy logic, tớnh cẩn thận, chớnh xỏc trong tớnh toỏn và lập luận. Vận dụng được cỏc kiến thức đó học vào giải cỏc bài toỏn. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIấN VÀ HỌC SINH Chuõ̉n bị của học sinh: giṍy, viờ́t. Chuõ̉n bị của giáo viờn: giáo án, phṍn, bảng phụ. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Gợi mở, vấn đỏp; Phõn tớch, tổng hợp; Trực quan sinh động. NỘI DUNG BÀI MỚI Hoạt động 1: ễ̉n định lớp và kiờ̉m tra sĩ sụ́. Hoạt đụ̣ng 2: Kiờ̉m tra bài cũ. Hoạt động 3: Mặt cõ̀u Nội dung Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh 1. Mặt cõ̀u (Sgk) R 0 - Dõy cung CD. - Đường kính AB = 2r. Gv: Nờu định nghĩa đường trũn trong mặt phẳng, dây cung, đường kính của đường tròn? Gv: Từ đó dõ̃n dắt đờ́n định nghĩa mặt cầu trong khụng gian, dõy cung, đường kính của mặt cầu? Gv: Điểm M thuộc S(O;R) khi nào? Gv: Đờ̉ xác định mặt cõ̀u cõ̀n những yờ́u tụ́ nào? Đường tròn là tọ̃p hợp những điờ̉m M trong mặt phẳng cách điờ̉m O cụ́ định mụ̣t khoảng r khụng đụ̉i . Cho hai điờ̉m A, B thuụ̣c đường tròn , khi đó đoạn CD được gọi là dõy cung của đường tròn. Dõy cung AB đi qua tõm O được gọi là đường kính của đường tròn và AB = 2r. Mặt cõ̀u là tọ̃p hợp những điờ̉m M trong khụng gian cách điờ̉m O cụ́ định mụ̣t khoảng r khụng đụ̉i . Cho hai điờ̉m A, B thuụ̣c mặt cõ̀u , khi đó đoạn CD được gọi là dõy cung của mặt cõ̀u. Dõy cung AB đi qua tõm O được gọi là đường kính của mặt cõ̀u và AB = 2r. . Có thờ̉ xác định mặt cõ̀u khi biờ́t tõm và bán kính của nó hoặc biờ́t đường kính của mặt cõ̀u đó. Hoạt động 4: Điờ̉m nằm trong và nằm ngoài mặt cõ̀u Nội dung Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh 2. Điờ̉m nằm trong và nằm ngoài mặt cõ̀u + A S(O;R) OA = R. + A nằm ngoài S(O;R) OA > R. + A nằm trong S(O;R) OA < R. Gv: Cho mc S(O:R) và điểm A. Nờu vị trớ tương đối của điểm A với mặt cầu (S). Gv: Vị trớ tương đối này tuỳ thuộc vào yếu tố nào? Gv: Giới thiệu cỏc thuật ngữ và định nghĩa khối cầu. Điểm A nằm trong, nằm trờn hoặc nằm ngoài mặt cầu Vị trớ tương đối này tuỳ thuộc vào khoảng cách OA và R. Phát biểu định nghĩa khối cầu. 3. Biờ̉u diờ̃n mặt cõ̀u Gv: Giáo viờn hướng dõ̃n học sinh cách biờ̉u diờ̃n mặt cõ̀u. Học sinh chú ý lắng nghe và tọ̃p vẽ hình theo sự hướng dõ̃n của giáo viờn. Hoạt động 5: Đường kinh tuyờ́n và vĩ tuyờ́n của mặt cõ̀u Nội dung Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh 4. Đường kinh tuyờ́n và vĩ tuyờ́n của mặt cõ̀u Gv: Hãy nhắc lại khái niợ̀m hình nón và hình trụ. Gv: Từ đó hãy cho biờ́t mặt cõ̀u là mặt tròn xoay được tạo nờn như thờ́ nào? Gv: Giới thiợ̀u các khái niợ̀m kinh tuyờ́n, vĩ tuyờ́n của mặt. Học sinh nhắc lại khái niợ̀m hình nón và hình trụ. Quay mụ̣t nửa đường tròn quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó ta được mặt cõ̀u. Học sinh chú ý lắng nghe và ghi chép cõ̉n thọ̃n. CỦNG Cễ́ KIấ́N THỨC – Hướng dẫn BTVN Hãy nờu khái niợ̀m mặt cõ̀u; Bài tọ̃p củng cụ́: (Bài 1 Sgk/49) Tìm tọ̃p hợp tṍt cả các điờ̉m M trong khụng gian luụn nhìn đoạn thẳng AB cụ́ định dưới mụ̣t góc vuụng. Hướng dõ̃n: (=>) vỡ => Mẻ đường trũn dường kớnh AB => Mẻ mặt cầu đường kớnh AB. ( Mẻ đường trũn đường kớnh AB là giao của mặt cầu đường kớnh AB với (ABM) => Kết luận: Tập hợp cỏc điểm M nhỡn đoạn AB dưới gúc vuụng là mặt cầu đường kớnh AB. Bài tọ̃p vờ̀ nhà: Bài 2 à 6 Sgk/49. RÚT KINH NGHIậ́M Đ2 MẶT CẦU – Tiờ́t 17 MỤC ĐÍCH, YấU CẦU Giỳp học sinh nắm được: Về kiến thức: Nắm được cách xét vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng. Về kĩ năng: Biết cách xét vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng. Vờ̀ tư duy, thái đụ̣: Rốn luyện tư duy logic, tớnh cẩn thận, chớnh xỏc trong tớnh toỏn và lập luận. Vận dụng được cỏc kiến thức đó học vào giải cỏc bài toỏn. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIấN VÀ HỌC SINH Chuõ̉n bị của học sinh: giṍy, viờ́t. Chuõ̉n bị của giáo viờn: giáo án, phṍn, bảng phụ. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Gợi mở, vấn đỏp; Phõn tớch, tổng hợp; Trực quan sinh động. NỘI DUNG BÀI MỚI Hoạt động 1: ễ̉n định lớp và kiờ̉m tra sĩ sụ́. Hoạt đụ̣ng 2: Kiờ̉m tra bài cũ. Bài tọ̃p 2 Sỏch giỏo khoa/49. Hoạt động 3: Giao của mặt cõ̀u và mặt phẳng Nội dung Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh II. Giao của mặt cõ̀u và mặt phẳng Cho mặt cõ̀u S(O;R) và mp(P), gọi H là hình chiếu của O trên (P). Khi đó: d = OH = d(O;(P)) + + Khi đó ta nói (P) tiếp xúc với (S) tại H. - Mp(P) gọi là mp tiếp diện của (S) tại H. - H gọi là tiếp điểm. + với . Đặc biợ̀t: - d = 0, thì và . - được gọi là đường tròn lớn. - Mặt phẳng qua tõm O gọi là mặt phẳng kính. *Chú ý: +ĐK cần và đủ để (P) tiếp xúc với (S) tại H là (P) vuông góc với OH tại H. Gv: Bằng vớ dụ trực quan và hình vẽ (bảng phụ) yêu cầu học sinh: + Hóy dự đoỏn cỏc vị trớ tương đối giữa mp và mặt cầu? + Cỏc kết quả trờn phụ thuộc vào cỏc yếu tố nào? P R 0 H M Gv: Hãy chứng tỏ: . P R 0 H Gv: Hãy chứng tỏ: . P M H 0 R Gv: Hãy chứng tỏ: Gv: Củng cố lại và đưa ra kết luận đầy đủ Gv: ĐK cần và đủ để (P) tiếp xúc với (S) tại H? Học sinh dự đoỏn: - Mp tiờ́p mặt cầu tại 1 điểm. - Mp cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường trũn. - Mp khụng cắt mặt cầu. Ví trí tương đụ́i giữa mặt phẳng và mặt cõ̀u phụ thuụ̣c vào khoảng cỏch từ tõm mặt cầu đến mp và bỏn kớnh mặt cầu. Lṍy bṍt kì điờ̉m , khi đó nờn M nằm ngoài mặt cõ̀u. Do đó mặt phẳng (P) và mặt cõ̀u (S) khụng có điờ̉m chung. Ta có OH = r nờn . Lṍy bṍt kì điờ̉m , khi đó nờn M nằm ngoài mặt cõ̀u. Do đó mặt phẳng (P) và mặt cõ̀u (S) khụng mụ̣t điờ̉m chung duy nhṍt H. Lṍy bṍt kì điờ̉m M thuụ̣c giao tuyờ́n của mặt phẳng (P) với mặt cõ̀u S(O; r). Xét tam giác vuụng OMH ta có , do đó M thuụ̣c đường tròn tõm H nằm trong mặt phẳng (P) và có bán kính . + ĐK cần và đủ để (P) tiếp xúc với (S) tại H là (P) vuông góc với OH tại H. Hoạt động 4: Ví dụ áp dụng Nội dung Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh Hãy xỏc định đường trũn giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (a), biết S(O; r) và d(O; (a)) = ? Gv: Bán kính của mặt cõ̀u? Gv: Khoảng cách từ tõm đờ́n mặt phẳng? Gv: Áp dụng cụng thức tính bán kính r’. + HS: Gọi H là hỡnh chiếu của O trờn (a) à OH = h = . + (a) ầ (S) = C (H; r’) Với r’ = Vậy C(H; ) CỦNG Cễ́ KIấ́N THỨC – Hướng dẫn BTVN Yờu cõ̀u học sinh nhắc lại vị trí tương đụ́i của mặt phẳng và mặt cõ̀u; Bài tọ̃p vờ̀ nhà: Làm bài tọ̃p 6 – 9 Sỏch giỏo khoa/49. Hướng dõ̃n bài 7 sgk/ 49: Gọi O là giao điểm của cỏc đường chộo hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Ta cú OA = OB = OC =OD=OA’=OB’=OC’=OD’ => O là tõm mặt cầu qua 8 dỉnh hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và bỏn kớnh r = RÚT KINH NGHIậ́M Đ2 MẶT CẦU – Tiờ́t 18 MỤC ĐÍCH, YấU CẦU Giỳp học sinh nắm được: Về kiến thức: Nắm được vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng, tính chất tiếp tuyến của mặt cầu, mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện. Nắm được công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu. Về kĩ năng: Rốn luyện kỹ năng tỡm tõm, bỏn kớnh của mặt cầu, kĩ năng giải một số bài toán quỹ tích liên quan tới mặt cầu. Biết cách xét vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng. Biết vận dụng công thức để tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu. Vờ̀ tư duy, thái đụ̣: Rốn luyện tư duy logic, tớnh cẩn thận, chớnh xỏc trong tớnh toỏn và lập luận. Vận dụng được cỏc kiến thức đó học vào giải cỏc bài toỏn. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIấN VÀ HỌC SINH Chuõ̉n bị của học sinh: giṍy, viờ́t. Chuõ̉n bị của giáo viờn: giáo án, phṍn, bảng phụ. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Gợi mở, vấn đỏp; Phõn tớch, tổng hợp; Trực quan sinh động. NỘI DUNG BÀI MỚI Hoạt động 1: ễ̉n định lớp và kiờ̉m tra sĩ sụ́. Hoạt đụ̣ng 2: Kiờ̉m tra bài cũ Hoạt động 4: Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu. Nội dung Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh III. Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu. + d > r ->D ầ (S) = ặ + d = r ->D ầ (S) = {H} D tiếp xỳc với (S) tại H H tiếp điểm của D và(S) D Tiếp tuyến của (S) * D tiếp xỳc với S(O; r) tại điểm H D ^ OH = H + d Dầ(S) = M, N * Khi d = 0 Và Dầ(S) = A, B -> AB là đường kớnh của mặt cầu (S) * Nhận xột: a/ Qua ủieồm A naốm treõn maởt caàu (S; r) coự voõ soỏ tieỏp tuyeỏn cuỷa maởt caàu (S; r). Taỏt caỷ caực tieỏp tuyeỏn naứy ủeàu naốm treõn tieỏp dieọn cuỷa maởt caàu (S; r) taùi ủieồm A. b/ Qua ủieồm A naốm ngoaứi maởt caàu (S; r) coự voõ soỏ tieỏp tuyeỏn vụựi maởt caàu (S; r). ẹoọ daứi caực ủoaùn thaỳng keỷ tửứ A tụựi tieỏp ủieồm ủeàu baống nhau. * Chỳ ý: + Ta núi mặt cầu nội tiếp hỡnh đa diện nếu mặt cầu đú tiếp xỳc với tất cả cỏc mặt của hỡnh đa diện đú, và mặt cầu ngoại tiếp hỡnh đa diện nếu tất cả cỏc đỉnh của hỡnh đa diện đều thuộc mặt cầu. + Khi núi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hỡnh đa diện, ta cũng núi hỡnh đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu. Gv: Nờu vị trớ tương đối của đường thẳng và đường trũn; tiếp tuyến đường trũn? Gv: Chốt lại vấn đề, gợi mở bài mới. Cho S(O; r) và đường thẳng D. Gọi H: Hỡnh chiếu của O lờn A. -> d(O;D) = OH = d Gv: Nếu d > r thỡ D cú cắt mặt cầu S(O; r) khụng ? -> Khi đú, D ầ (S) = ? Và điểm H cú thuộc (S) khụng? Gv: Nếu d = r thỡ H cú thuộc (S) khụng ? Khi đú D ầ (S) = ? Từ đú, nờu tờn gọi của D và H? Gv: Nếu d < r thỡ Dầ(S) =? +? Đặc biệt khi d = 0 thỡ D ầ (S) = ? +? Đoạn thẳng AB khi đú gọi là gỡ ? Gv: Khắc sõu những kiến thức cơ bản cho học sinh về: tiếp tuyến của mặt cầu; mặt cầu nội tiếp, (ngoại tiếp) hỡnh đa diện. Gg Cho HS nờu nhận xột trong SGK (Trang 47) Vị trí tương đụ́i giữa đường thẳng và đường tròn: + Khụng có điờ̉m chung; + Tiờ́p xúc; + Đường thẳng cắt đường tròn. R O H d (D) Đường thẳng khụng cắt mặt cõ̀u, đường thẳng và mặt cõ̀u khụng có điờ̉m chung. R O H d (D) H thuụ̣c mặt cõ̀u; đường thẳng tiờ́p xúc với mặt phẳng; Đường thẳng là tiờ́p tuyờ́n; H là tiờ́p điờ̉m. R O H d (D) A B Đường thẳng cắt mặt cõ̀u tại hai điờ̉m phõn biợ̀t. Khi d = 0 thì đường thẳng cắt mặt cõ̀u tại hai điờ̉m phõn biợ̀t A, B và AB khi đó là đường kính. + HS quan sỏt hỡnh vẽ, theo dừi cõu hỏi gợi mở của GV và trả lời. + HS theo dừi SGK, quan sỏt trờn bảng để nờu nhận xột. + HS : Tiếp thu và khắc sõu kiến thức bài học. Hoạt động 4: Cụng thức tớnh diện tớch và thể tớch khối cầu Nội dung Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh IV. Cụng thức tớnh diện tớch và thể tớch khối cầu + Diện tớch mặt cầu: S = 4p.r2 + Thể tớch khối cầu: V = (r:bỏn kớnh của mặt cầu) * Chỳ ý: (SGK) trang 48. Gv: Hướng dẫn HS tiếp thu kiến thức bài học thụng qua Sgk Gv: Cho HS nờu cụng thức diện tớch mặt cầu và thể tớch khối cầu. Gv: Yờu cõ̀u học sinh làm HĐ4: 48(SGK) Gv: Cho Hs nờu chỳ ý trong Sgk. + Tiếp nhận tri thức từ SGK. + HS nờu cụng thức. +HS: tiếp thu tri thức, vận dụng giải HĐ4/48 (SGK) -> Lớp nhận xột + HS nờu chỳ ý (SGK) CỦNG Cễ́ KIấ́N THỨC – Hướng dẫn BTVN Yờu cõ̀u học sinh nhắc lại định nghĩa mặt cõ̀u và các khái niợ̀m liờn quan; Yờu cõ̀u học sinh nờu vị trí tương đụ́i giữa mặt phẳng và mặt cõ̀u, giữa đường thẳng và mặt cõ̀u; Cụng thức tính diợ̀n tích mặt cõ̀u và thờ̉ tích khụ́i cõ̀u. Làm các bài tọ̃p còn lại trong Sgk/49. Hướng bài tập 4: Giả sử mặt cầu S(O, R) tiếp xỳc với 3 cạnh D ABC lần lượt tại A’,B’,C’. Gọi I là hỡnh chiếu của S trờn (ABC). Dự đoỏn I là gỡ của D ABC ? -> Kết luận OI là đường thẳng nào của D ABC => Dự đoỏn. RÚT KINH NGHIậ́M Đ2 MẶT CẦU – Tiờ́t 19 MỤC ĐÍCH, YấU CẦU Giỳp học sinh nắm được: Về kiến thức: Hs phải nắm kĩ cỏc kiến thức định nghĩa mặt cầu, sự tương giao của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng và cụng thức diện tớch mặt cầu, thể tớch khối cầu. Về kĩ năng: Vận dụng kiến thức đó học để xỏc định mặt cầu, tớnh diện tớch mặt cầu, thể tớch khối cầu đó xỏc định đú. Vờ̀ tư duy, thái đụ̣: Rốn luyện tư duy logic, tớnh cẩn thận, chớnh xỏc trong tớnh toỏn và lập luận. Vận dụng được cỏc kiến thức đó học vào giải cỏc bài toỏn. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIấN VÀ HỌC SINH Chuõ̉n bị của học sinh: giṍy, viờ́t. Chuõ̉n bị của giáo viờn: giáo án, phṍn, bảng phụ. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Gợi mở, vấn đỏp; Phõn tớch, tổng hợp; Trực quan sinh động. NỘI DUNG BÀI MỚI Hoạt động 1: ễ̉n định lớp và kiờ̉m tra sĩ sụ́. Hoạt đụ̣ng 2: Kiờ̉m tra bài cũ Hoạt động 4: Bài tọ̃p Nội dung Hoạt động của Giỏo viờn Hoạt động của Học sinh Bài 2 Skg/49. Cho hình chóp tứ giác đờ̀u S.ABCD có tṍt cả các cạnh đờ̀u bằng a. Hãy xác định tõm và bán kính mặt cõ̀u ngoại tiờ́p hình chóp. Gv: Giả sử I là tõm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD, ta cú điều gỡ ? =>Vấn đề đặt ra ta phải tỡm 1 điểm mà cỏch đều 5 đỉnh S, A, B, C, D. Gv: Nhận xột 2 tam giỏc ABD và SBD? Gv: Gọi O là tõm hỡnh vuụng ABCD => kết quả nào? Gv: Vậy điểm nào là tõm cần tỡm, bỏn kớnh mặt cầu? S.ABCD là hỡnh chúp tứ giỏc đều. => ABCD là hỡnh vuụng và SA = SB = SC = SD. Gọi O là tõm hỡnh vuụng, ta cú 2 tam giỏc ABD, SBD bằng nhau => OS = OA Mà OA = OB= OC= OD => Mặt cầu tõm O, bỏn kớnh r = OA = . Bài 5 Sgk/49 Từ mụ̣t điờ̉m M nằm ngoài mặt cõ̀u S(O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cõ̀u lõ̀n lượt tại A, B và C, D. a. Chứng minh rằng: MA.MB = MC.MD; b. Gọi MO = d. Tính MA.MB theo r và d. Gv: Nhận xột Mặt phẳng (ABCD) cú: - Cắt mặt cầu S(O, r) khụng? giao tuyến là gỡ? - Nhận xột MA.MB với MC.MD nhờ kết quả nào? - Nhận xột: Mặt phẳng (OAB) cắt mặt cầu S(O,r) theo giao tuyến là đường trũn nào? - Phương tớch của M đối với (C1) bằng cỏc kết quả nào ? a)Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi (AB,CD) => (P) cắt S(O, r) theo giao tuyến là đường trũn (C) qua 4 điểm A,B,C,D => MA.MB = MC.MD b) Gọi (C1) là giao tuyến của S(O,r) với mp(OAB) => C1 cú tõm O bỏn kớnh r . Ta cú MA.MB = MO2-r2 = d2 – r2 Bài 10 Sgk/49. Cho hình chóp S.ABC có bụ́n đỉnh đờ̀u nằm trờn mụ̣t mặt cõ̀u, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đụi mụ̣t vuụng góc. Tính diợ̀n tích mặt cõ̀u và thờ̉ tích khụ́i cõ̀u tạo nờn bởi mặt cõ̀u đó. Gv: Để tớnh diện tớch mặt cầu thể tớch khối cầu ta phải làm gỡ ? Gv: Nhắc lại cụng thức diện tớch khối cầu, thể tớch khối cầu ? Gv: Hướng dẫn cỏch xỏc định tõm mặt cầu ngoại tiếp 1 hỡnh chúp. - Dựng trục đường trũn ngoại tiếp đa giỏc đỏy. - Dựng trung trực của cạnh bờn cựng nằm trong 1 mặt phẳng với trục đươờn trũn trờn. - Giao điểm của 2 đường trờn là tõm của mặt cầu. . Trục đường trũn ngoại tiếp DSAB . Đường trung trực của SC trong mp (SC,D) ? . Tõm của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABC. . Gọi I là trung điểm AB do DSAB vuụng tại S => I là tõm đường trũn ngoại tiếp DSAB . . Dựng (D) là đường thẳng qua I và D ^(SAB) => D là trục đường trũn ngoại tiếp DSAB. . Trong (SC,D) dựng trung trực SC cắt (D) tại O => O là tõm mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABC. r2 = OA2 = OI2 + IA2 => S = p(a2+b2+c2) V = . CỦNG Cễ́ KIấ́N THỨC – Hướng dẫn BTVN Yờu cõ̀u học sinh nhắc lại định nghĩa mặt cõ̀u và các khái niợ̀m liờn quan; Yờu cõ̀u học sinh nờu vị trí tương đụ́i giữa mặt phẳng và mặt cõ̀u, giữa đường thẳng và mặt cõ̀u; Cụng thức tính diợ̀n tích mặt cõ̀u và thờ̉ tích khụ́i cõ̀u. Làm các bài tọ̃p còn lại trong Sgk/49. Hướng bài tập 8: Giả sử tứ diện ABCD cú cỏc cạnh AB, AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tiếp xỳc với mặt cầu nào đú lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đú: AM = AN = AP = a BM = BQ = BS = b DP = DQ = DR = c CN = CR = CS = d => Kết quả cần chứng minh. Chuõ̉n bị bài tọ̃p ễn tọ̃p chương. RÚT KINH NGHIậ́M