Giáo án lớp 12 môn Hình học - Một số bài tập hình không gian năm học 2009 - 2010

MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN Bài 1. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Qua điểm M thuộc đường tròn kẻ MH vuông góc AB (H thuộc AB). Điểm I thuộc đường thẳng MH thoả mãn IM = 2IH. Tìm quỹ tích điểm I khi M di chuyển trên đường tròn. Bài 2. Cho tam diện vuông Oxyz và một điểm A cố định bên trong tam diện. Gọi khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz là a, b, c. Một mặt phẳng (P) qua A cắt Ox, Oy, Oz tại M, N, P. CMR: . Tìm vị trí mặt phẳng (P) sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất và tìm vị trí của A khi thể tích nhỏ nhất. CMR: . Bµi 3. Cho điểm A cố định trên đường tròn và điểm C di động trên đường tròn đó. Dựng hình thoi ABCD (hướng quay của tia AB đến AC và AD theo chiều dương lượng giác) sao cho góc . Xác định phép đồng dạng biến điểm C thành điểm B. Tìm quỹ tích của các điểm B và D. Xác định các quỹ tích đó. Bµi 4. Cho tứ diện ABCD. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho . CMR mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định. Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi d1; d2; d3 lần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác. CMR: (S là diện tích tam giác ABC, a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác). Lập bất đẳng thức tương tự cho tứ diện trong không gian. Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng . Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một thiết diện và chia hình chóp đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Bài 7. Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm bên trong tam giác ABC. Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với các cạnh SA, SB, SC cắt các mặt SBC, SCA, SAB theo thứ tự tại A’, B’, C’. a) Chứng minh rằng: có giá trị không đổi khi M thay đổi khi M di động trong tam giác ABC. b) Xác định M để MA’.MB’.MC’ có giá trị lớn nhất. Bài 8. Cho tam diện vuông OABC tại O, P là một điểm di động trên đáy ABC. Tìm minx của biểu thức . Bài 9. Một con kiến xuất phát từ đỉnh A leo đến đỉnh C’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hỏi con kiến phải leo theo đường nào là ngắn nhất và có mấy đường (biết đáy ABCD có các mặt kín bằng nhựa và đặt trên mặt bàn phẳng). Bài 10. Cho đường tròn tâm O căt 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác tương ứng tại A1 và A2; B1 và B2;C1 và C2. Gọi x,y,z tương ứng là các đường thẳng đi qua A1, B1, C1 và vuông góc với (ABC), x’, y’,z’ là các đường thẳng đi qua A2;B2;C2 và vuông góc (ABC). CMR nếu x,y,z đồng quy thì x’,y’,z’ cũng đồng quy. Bài 11. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Lấy M trong đoạn AD', N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a). a) Tìm x để MN ngắn nhất. b) Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AD' và DB.