Giáo án lớp 12 môn Hình học - Một số bài toán về tỷ số thể tích (tiếp)

Một số bài toán về tỷ số thể tích I. Công thức cần nhớ: 1. Thể tích khối chóp: V=B.h A B C D A' B' C' D' H' B: Diện tích đa giác đáy. h: Độ dài đường cao. 2. Thể tích khối lăng trụ: V=B.h C B A S A' B' C' B: Diện tích đa giác đáy. h: Độ dài đường cao. A C B S M 3. Tỷ số thể tích: Cho khối chóp S.ABC. A'ẻSA, B'ẻSB, C'ẻSC * MẻSC, ta có: II. Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M là một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x (0ÊxÊ2a). 1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất. 2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau. S A M N D C B Hd: 1. Thiết diện là hình thang vuông MNCB, vuông tại B và M. * BM2=BA2+AM2 ịBM= * DSMN đồng dạng DSAD, ị Vậy 2. Xét hàm số (0ÊxÊ2a) f'(x)=0 Û Ta có: f(0)=ab. f(2a)= f()= f()= ị khi Kết luận: Vậy với thì diện tích của thiết diện lớn nhất. 3. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD ị Gọi V1 là thể tích khối S.MNCB V1=V(SMBC)+V(SMNC) Ta có VSABC= ị * Ta có: ị VSACD= ị VSMNC= V1= VSMNCB= Ycbt Û V1= Û Û x22-6ax+4a2=0 Û Kết luận: Vậy x= thì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tương đương. Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1. Các mặt phẳng (ABC1) và (A1B1C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó. A B C M N A' B' C' Hd: Gọi V1=; V1= V3=; V4= Gọi V là thể tích của lăng trụ. Mặt khác: ị Vậy V1: V2: V3: V4= 1:3:3:5 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Đường cao của hình chóp là SA=a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM=x (0<x<a). (a) là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD). 1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (a). Tính diện tích thiết diện theo a và x. S A D C B M K N O H 2. Xác định x để thiết diện trên là hình thang vuông. Trong trường hợp đó tính tỷ số thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện. Hd: 1. Ta có SA^(ABCD) (a) ^(ABCD) ị SA // (a) (a)ầ(SAB)=MN // SA (a)ầ(SAC)=OK // SA (a)ầ(SABCD)=NH qua O (a)ầ(SCD)=KH Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK. Ta có MN// OK // SA ị MN ^ (ABCD); OK^ (ABCD) Std=Sht MKON + SKOH = MN=BN=x; KO=SA/2; NH= Std= S A D C B M K N O H E 2. Để thiết diện là hình thang vuông Û MK// MO// BC Û N là trung điểm AB Û x=a/2. V= V1=VSOECH+VKOE.MNB Vậy Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tương ứng M, N. S A D C B N M Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần tương đương (có thể tích bằng nhau). Hd: Đặt Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V Ta có CD=4AB ị SADC=4.SABC ị SADC= ị Ta có V1=VSMNC+VSNCD= KL: Vậy Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AB=2R.S là điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với SB tại K, C là điểm trên (C), SC cắt mp(Q) tại H. Đặt 1. Tính thể tích của tứ diện SAHK theo R, h và a. 2. Chứng minh rằng thể tích đó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị a0 của a sao cho a0>. Tính a0. Hd: 1. * Ta chứng minh được AH ^ SC. * * VABC= a B C H K S * 2. Đặt P= MaxP= Dấu bằng xảy ra Û ị 2a tù ịa> KL: Vậy a0 =