Giáo án lớp 12 môn Hình học - Tính trực tiếp thể tích khối chóp và lăng trụ theo yếu tố đường cao

TÍNH TRỰC TIẾP THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ LĂNG TRỤ THEO YẾU TỐ ĐƯỜNG CAO A.XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG VUÔNG GÓC HẠ TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG. Cho mặt phẳng (P) và điểm M không thuộc MP’(P) thỏa mãn một điều kiện cho trước. Xác định chân đường vuông góc từ M xuống MP’(P). Ta thường gặp các tình huống sau: Trong MP’(P) có một điểm A và một đường thẳng d không qua A sao cho MA vuông góc với d. Ta xác định M như sau: + Trong MP’(P) vẽ đường thẳng d’ đi qua A và vuông góc với d. + Trong MP’(M,d’) dựng MH vuông góc với d’ tại H, thì H là điểm cần dựng. 2) Trong MP’(P) có hai điểm A, B sao cho MA = MB. Ta xác định M như sau: + Trong MP’(P) vẽ đường thẳng d’ là trung trực của AB. + Trong MP’(M,d’) dựng MH vuông góc với d’ tại H, thì H là điểm cần dựng , thì H là điểm cần dựng. Có một đường thẳng a vuông góc với MP’(P). Ta xác định M như sau: +) Xác định giao tuyến b của MP’(P) và mp’(Q) đi qua a và M. + Qua M vẽ đường thẳng song song với a cắt b tại H, thì H là điểm cần dựng. Điểm M nằm trong MP’(Q) vuông góc với MP’(P). Ta xác định M như sau: + Xác định giao tuyến d của MP’(P) và MP’(Q). + Trong MP’(Q) qua M vẽ đường thẳng vuông góc với d tại H, thì H là điểm cần dựng. B. THỰC HÀNH – LUYỆN TẬP. I.Bài toán mà đường cao có sẵn trong hình vẽ. 1. Dấu hiệu. Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy. Có thể cho vuông góc trực tiếp hoặc cho vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đáy. Giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc với đáy. Đường thẳng qua đỉnh nằm trong mặt phẳng () vuông góc với đáy, đồng thời vuông góc với giao tuyến của () và đáy. Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình chiếu của nó là đường cao.. 2. Ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a; CD = a và BC = . Cạnh bên SC hợp với đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp. Giải: Lấy M là trung điểm của AB khi đó và nên tứ giác ADCM là hình chữ nhật suy ra Áp dụng định lí Pitago trong các tam giác vuông CMB và CMA ta được nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Do vậy góc giữa SC và (ABCD) là . Tam giác SAC vuông tại A nên (đvtt). Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; , CD = a; góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (Đề thi Đại học_khối A_năm 2009) Giải: Từ và ta có nên SI là đường cao. Kẻ đồng thời (vì ) góc giữa (SBC) và (ABCD) là Ta có, . Suy ra - Theo định lí Pitago ta có: - Thể tích khối chóp là: II. Bài toán cần đi dựng phải đường cao. 1. Dấu hiệu * Với khối chóp: - Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau (ít nhất 3 cạnh bên) thì chân đường cao là chân đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy. - Khối chóp có các mặt bên (ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy ( Chân đường cao nằm trong đa giác đáy). - Khối chóp có hai mặt bên kề nhau và cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trong mặt phẳng đáy. - Khối chóp có đỉnh nằm trên một mặt phẳng vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt đó và đáy. * Với khối lăng trụ: Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên. 2. Ví dụ minh họa. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAC tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng 600, mặt bên còn lại tạo với đáy góc 450. Tính thể tích khối chóp trên. Giảii: Giả sử H là chân đường vuông góc. . Khi đó vì và do vậy góc giữa (SAB) và (ABC) là Tương tự ta có góc giữa (SAC) và (ABC) là Xét hai tam giác SHK và SHP là hai tam giác vuông có SH chung và nên ( g.c.g). Từ đó HK = HP theo tính chất đường phân giác ta có H phải nằm trên đường phân giác của trong . Do đều nên (AM là trung tuyến) suy ra Vì và nên . Do vậy góc giữa (SBC) và (ABC) là . Giả sử MH = k.AM, 0 < k < 1. Khi đó: SH = MH.tan450 = MH = k.AM. Lại có Xét tam giác vuông AKH, do đều nên Từ đó ta có: Mặt khác AH = AM – MH = (1- k).AM. Suy ra: Do nên = = Diện tích đáy II. Bài toán cần dựng đường vuông góc phụ. Trong nhiều bài toán việc xác định đường cao phức tạp; ta có thể nghĩ đến hướng dựng một đường vuông phụ. 1. Dấu hiệu. - Cho điểm A và mặt phẳng (P) và đường thẳng d chứa A thì khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên d đến (P). - Nếu có mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P) thì khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (Q) đến (P). 2. Ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên tạo với đáy góc 450; M, N là hai điểm trên SA; SB . P là giao điểm của CM và DN. Tính thể tích khối chóp P.ABCD theo a. Giảii: Gọi . Xét 3 mặt phẳng phân biệt (SAD); (SBC); (ABCD) cắt nhau theo 3 giao tuyến d; AD và BC. Do AD//BC nên 3 giao tuyến này đôi một song song từ đó d//AD nên d//(ABCD) (1). Do đồng thời S cũng là một điểm chung của 2 mặt phẳng (SAD); (SBC) nên (2). Từ (1) và (2) ta có chiều cao (O là tâm của đáy ABCD). BO là hình chiếu của SB lên (ABCD) nên góc giữa SB và (ABCD) là Diện tích đáy Thể tích khối chóp Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N, P lần lượt là trung điểm B’C’; C’D’ và CC’; O là tâm của ABCD. Chứng minh . Tính thể tích khối tứ diện O.MNP theo a. Lời giải: a. Từ giả thiết ta có nên ; nên do vậy Kẻ AC’ cắt (A’BD) tại H và cắt (MBP) tại K; lJ ấy I là trung điểm A’C khi đó H là trọng tâm . Nên . Ta có, Theo định lý Pitago ta có tam giác AHO vuông tại H mặt khác nên từ (1) ta cũng có . (đpcm) b. Từ (1) và (3) ta có chiều cao hình chóp O.MNP Lấy , do M, N lần lượt là trung điểm của B’C’, C’D’ nên ta có ; xét có JK // A’H áp dụng định lý Talets ta có . Mặt khác theo (2) nên vậy MN là đường trung bình của ứng với cạnh B’D’ nên ; tương tự . Vậy là tam giác đều cạnh , nên Thể tích khối chóp O.MNP là C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN. Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy băng a. Mặt bên tạo với đáy góc 300, tính thể tích khối chóp. Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = và hình chiếu vuông của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC (Đề thi Đại học_ Khối A_năm 2008) Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện theo a. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và . Tính thể tích khối chóp S.CDMN (Đại học, khối A_ năm 2010) Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là các tam giác đều cạnh a. Các mặt phẳng (AG’B’) và (AG’C’) đều vuông góc với đáy (G’ là trọng tâm của A’B’C’), lấy M là trung điểm của B’C’. Tính thể tích khối lăng trụ biết . Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC cân tại B, AB = Bc = a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB; . Tính thể tích khối chóp trên. Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ cùng tạo với đáy góc 600. Lấy M là trung điểm của B’C’; góc A’AM bằng 600. Tính thể tích khối chóp. Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M, N là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp biết rằng Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đáy ABC cân tại A, lấy M là trung điểm của B’C’ ta có Biết tính thể tích khối lăng trụ trên theo a. Bài 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Tam giác ABC vuông tại C và mặt bên (SAD) vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp trên theo a. Bài 11: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B và B’; hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC, cạnh bên tạo với đáy góc 300, biết rằng Tính thể tích khối chóp C’ABC theo a. Bài 12: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có A’B’ = a. Tính thể tích khối chóp biết OA’ tạo với đáy (A’B’C’) góc 600.