Giáo án lớp 12 môn Toán - Bài 4: Tiệm cận

45 tiệm cận I - Giới hạn một bên 1 Tính các giới hạn và Định nghĩa L được gọi là giới hạn bên phải (giới hạn bên trái) của hàm số f(x) khi x đ a, nếu với mọi dãy số () sao cho ta đều có Kí hiệu (). Ví dụ 1 . Ta thừa nhận định lí sau đây. Định lí Điều kiện cần và đủ để là đều tồn tại và bằng L. II - Tiệm cận ngang 2 Cho hàm số (H.14). Nêu nhận xét về vị trí các đường thẳng y = -1 và x = 1 so với đồ thị của hàm số. Hình 14 Ví dụ 2. Vẽ đồ thị các hàm số f(x) =, g(x) = 2. Nêu nhận xét về đồ thị của hai hàm số đó và các giới hạn . Giải. Tịnh tiến đồ thị của hàm số song song với trục Oy lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số Kí hiệu M, M' lần lượt là các điểm thuộc đồ thị của và g(x) = 2 có hoành độ x (H.15). Khi ùxù càng lớn thì các điểm M, M' trên các đồ thị càng gần nhau. Ta có = . ỉ Chú ý Nếuf(x) =f(x) = l ta viết chung là Hình 15 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a ; ), (; b) hoặc (;)). Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn f(x) = y0 ,f(x) = y0. Trong Ví dụ 1, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đường hypebol Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) = xác định trên khoảng (0 ; +Ơ). Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 vì . III - Tiệm cận đứng 3 Tính và nêu nhận xét về khoảng cách MH khi x đ 0 (H.15) . Định nghĩa Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn , , ,. Ví dụ 4. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số . Giải. Vì (hoặc) nên đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của (C). Vì nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C). Đồ thị của hàm số được cho trên Hình 16. Hình 16 Ví dụ 5. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Giải. Vì (hoặc) nên đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Bài tập Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số : a); b); c); d) . Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số : a) ; b) ; c) ; d) . 5 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số i - sơ đồ khảo sát hàm số 1. Tập xác định Tìm tập xác định của hàm số. 2. Sự biến thiên Ÿ Xét chiều biến thiên của hàm số : + Tính đạo hàm y' ; + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y' bằng 0 hoặc không xác định ; + Xét dấu đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số. Ÿ Tìm cực trị. Ÿ Tìm các giới hạn tại +Ơ, -Ơ và tìm tiệm cận (nếu có). Ÿ Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên). 3. Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. ỉ Chú ý 1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox. 2. Nên tính thêm toạ độ một số điểm, đặc biệt là toạ độ các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ. 3. Nên lưu ý đến tính đối xứng để vẽ cho chính xác. II - khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã học y = ax + b, y = ax2 + bx + c theo sơ đồ trên. 1. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = Giải 1) Tập xác định : 2) Sự biến thiên Ÿ Chiều biến thiên y' = 3x2 + 6x = 3x(x + 2) ; y' = 0 Û . Trên các khoảng (-Ơ ; -2) và (0 ; +Ơ), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên khoảng (-2 ; 0), y' < 0 nên hàm số nghịch biến. Ÿ Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ; yCĐ = y(-2) = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = y(0) = -4. Ÿ Các giới hạn ở vô cực Ÿ Bảng biến thiên x -Ơ -2 0 +Ơ y' + 0 - 0 + y -Ơ 0 -4 +Ơ 3) Đồ thị Vì x3 + 3x2 - 4 = (x - 1)(x + 2)2 = 0 Û nên (-2 ; 0) và (1 ; 0) là giao điểm của đồ thị với Ox. Vì y(0) = -4 nên (0 ; -4) là giao điểm của đồ thị với Oy, đồng thời là điểm cực tiểu của đồ thị. Đồ thị của hàm số được cho trên Hình 17. Hình 17 Chú ý. Đồ thị của hàm số bậc ba đã cho có tâm đối xứng là điểm I (H.17). Hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình y'' = 0. 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 4. Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số này với đồ thị của hàm số khảo sát trong Ví dụ 1. Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Giải 1) Tập xác định : . 2) Sự biến thiên Ÿ Chiều biến thiên Vì y' = -3x2 + 6x – 4 = -3(x - 1)2 - 1 < 0 với mọi x ẻ , nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-Ơ ; +Ơ). Hàm số không có cực trị. Ÿ Giới hạn ở vô cực , . Ÿ Bảng biến thiên x -Ơ +Ơ y' - y +Ơ -Ơ 3) Đồ thị Đồ thị của hàm số cắt Ox tại (1 ; 0), cắt Oy tại (0 ; 2). Đồ thị của hàm số được cho trên Hình 18. Hình 18 Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) a > 0 a < 0 Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Phương trình y' = 0 có nghiệm kép Phương trình y' = 0 vô nghiệm 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . 2. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ạ 0) Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x4 - 2x2 - 3. Giải 1. Tập xác định : . 2. Sự biến thiên Ÿ Chiều biến thiên Trên các khoảng (-1 ; 0) và (1 ; +Ơ), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng (-Ơ ; -1) và (0 ; 1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến. Ÿ Cực trị Hàm số có hai cực tiểu tại x = ±1 ; yCT = y(±1) = -4. Hàm số có một cực đại tại x = 0 ; yCĐ = y(0) = -3. Ÿ Giới hạn ở vô cực , . Ÿ Bảng biến thiên x -Ơ -1 0 1 +Ơ y' - 0 + 0 - 0 + y +Ơ -4 -3 -4 +Ơ 3. Đồ thị Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì y(-x) = (-x)4 - 2(-x)2 - 3 = x4 - 2x2 - 3 = y(x). Do đó, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm và , cắt trục tung tại điểm (0 ; -3) (H. 19). Hình 19  4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình . Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = . Giải 1. Tập xác định : . 2. Sự biến thiên Ÿ Chiều biến thiên y' = -2x3 – 2x = -2x(x2 + 1) ; y' = 0 Û x = 0. Trên (-Ơ ; 0), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên (0 ; +Ơ), y' < 0 nên hàm số nghịch biến. Ÿ Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = . Hàm số không có điểm cực tiểu. Ÿ Giới hạn ở vô cực . Ÿ Bảng biến thiên x -Ơ 0 +Ơ y' + 0 - y -Ơ -Ơ 3. Đồ thị Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì Do đó, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Mặt khác, y = 0 -x4 - 2x2 + 3 = 0 -(x2 - 1)(x2 + 3) = 0 Û x = ±1. Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (-1; 0) và (1; 0), cắt trục tung tại điểm (0 ; ) (H. 20). Hình 20 Dạng của đồ thị hàm số (a ạ 0) a > 0 a < 0 Phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt Phương trình y' = 0 có một nghiệm 5 Lấy một ví dụ về hàm số dạng sao cho phương trình y' = 0 chỉ có một nghiệm. 3. Hàm số y = (c ạ 0, ad - bc ạ 0) Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Giải 1. Tập xác định :. 2. Sự biến thiên : Ÿ Chiều biến thiên ; y' không xác định khi x = -1 ; y' luôn luôn âm với mọi x ạ -1. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (-Ơ ; -1) và (-1 ; +Ơ). Ÿ Cực trị Hàm số đã cho không có cực trị. Ÿ Tiệm cận . . Do đó, đường thẳng là tiệm cận đứng. . Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang. Ÿ Bảng biến thiên x -Ơ -1 +Ơ y' - - y -1 -Ơ +Ơ -1 3. Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; 2) và cắt trục hoành tại điểm (2 ; 0) (H. 21). Nhận xét. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị. Hình 21 Ví dụ 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Giải 1. Tập xác định :. 2. Sự biến thiên : Ÿ Chiều biến thiên ; y' không xác định khi ; y' luôn luôn dương với mọi Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và Ÿ Cực trị Hàm số đã cho không có cực trị. Ÿ Tiệm cận ; Do đó, đường thẳng là tiệm cận đứng. Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang. Ÿ Bảng biến thiên x -Ơ +Ơ y' + + y +Ơ -Ơ 3. Đồ thị Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; -2) và cắt trục hoành tại điểm (2 ; 0) (H. 22). Hình 22