Tổng hợp về Tích phân và ứng dụng

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx Sinx + C cos(ax+b) tgx + C -cotgx + C tgx cotgx Phương pháp 1: Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1. 2. Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 2. 3. I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tai a thì : Tính chất 2: Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên thì: Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên và thì Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên và thì Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên và thì Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên thì Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và k là một hằng số thì Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và c là một hằng số thì Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : Bài 1: Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) = 7)= 8) = 2 9)= 1+ ln2 10) = 11)= 1 12)= 13) 14) 15) 16) 17) 18) Bài 2: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Bài 3: 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện và 2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi cận : Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được (tiếp tục tính tích phân mới) Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = Công thức đổi biến số dạng 2: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi cận : Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được (tiếp tục tính tích phân mới) Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: Hay: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : Bước 3: Tính và Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì: a) b) ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì ; ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: Tính diện tích của các hình phẳng sau: 1) (H1): 2) (H2) : 3) (H3): 4) (H4): 5) (H5): 6) (H6): 7) (H7): 8) (H8) : 9) (H9): 10) (H10): 11) 12) V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. Công thức: Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 333 BÀI TỐN TÍCH PHÂN TỔNG HỢP LUYỆN THI ĐẠI HỌC 4/I = 5/I = 6/I = 7/ I =sin2 x.cos2xdx 8/I = (2cos2 x-3sin2 x)dx 9 / I = 10 / I = (tgx-cotgx)2 dx 11/ I = 19/ I = dx 20/ I = dx 21/I = 22/ I = 23/ I = 24/ I = 25/I = 26/I = 27/I = 28/I = 29/I = 30/I = 31/I = 32/I = 33/I = . 49/I = 50/I = 51/I = 52/I = 53/I = 54/I = 55*/I = 56/I = 57/I = 58/I = 59*/I = 60/I = 61/I = 62/I = 63/I = 79/I = 80/I = 81/I = 82/I = 83/I = 84/I = 85/I = 86/I = 87/I = 88/I = 89/I = 90*/I = 91*/I = 92/I = 93/I = . 109/I = 110*/I = 111/I = 112/I = 113/I = 114/I = 115/I = 116/I = 117/I = 118/I = 119*/I = 120/I = 121/I = 122/I = 137/I = 138/I = 139/I = 140/I = 141/I = 142/I = 143/I = 144/I = 145/I = 146/I = 147/I = 148/I = 149/I = 150/I = 151/I = 167/I = 168/I = 169/I = 170/I = 171/I = 172/I = 173/I = 174/I = 175/I = 176/I = 177/I = 178/I = 179/I = 180/ 181/I= . 197/I = 198/I = 199/I = 200/I = 201/I = 202/I = 203/I = 204/I = 205/I = 206/I = 207/I = 208/I = 209/I = 210/I = 211/I = 227/I = 228/I = 229/I = 230/I = 231/I = 232*/I = 233/I = 234/I = 235/I = 236/I = 237/I = 238/I = 239/I = 240*/I = 241/I = 255/I = 256/I = 257*/I = 258/I = 259/I = 260/I= 261/I = 262*/I = 263/I = 264/I = 265/I = 265/I = 266/I = . 281*/I = 282/I = 283/I = 284/I = 285/I = 286/I = 287/I = 288/I = 289/I = 290/I = 291/I = 292/I = 293/I = 294/I = 308*/I = 309*/I = 310*/I = 311/I = 312*/I = 313*/I = 314*/I = 315*/I = 316*/I = 317*/I = 318*/Tìm x> 0 sao cho 319*/I = 320*/I = 12 / I = 13*/ I = 14/I = 15/I = dx 16/I = cotg2x dx 17/I = 18/ I = . 34/I = 35/I = 36*/I = 37/I = 38/I = 39/I = 40*/I = 41/I = 42/I = 43/I = 44*/I = 45/I = 46/I = 47/I = 48/I = . 64/I = 65/I = 66*/I = 67/I = 68*/I = 69/I = 70/I = 71*/I = 72*/I = 73/I = 74**/I = 75/I = 76/I = 77*/I = 78/I = . 94/I = 95*/I = 96/I = 97/I = 98/I = 99/I = 100/I = 101/I = 102/I = 103/I = 104*/I = 105*/I = 106*/I = 107/I = 108/I = 123/I = 124/I = 125/I = 126/I = 127/I = 128*/I = 129/I = 130/I = 131/I = 132/I = 133/I = 134/I = 135/I = 136/I = . 152/I = 153/I = 154/I = 155/I = 156/I = 157/I = 158/I = 159/I = 160/I = 161/I = 162/I = 163/I = 164/I = 165/I = 166/I = 182/I = 183/I = 184/I = 185/I = 186/I = 187/I 188/I = 189/I = 190/I= 191/I = 192/I = 193/I = 194/I = 195/I = 196/I = 212/I = 213/I = 214/I = 215/I = 216/I = 217/I = 218/I = 219/I = 220/I = 221/I = 222/I = 223/I = 224/I = 225/I = 226/I = . 242/I = 243/I = 244/I = 245/I = 246/I = 247/I = 248/I = 249/I = 250/I = 251/I = 252/I = 253/I = 254*/I = . 267/I = 268/I = 269/I = 270/I = 271/I = 272/I = 273/I = 274/I = 275/I = 276/I = 277*/I = 278/I = 279/I = 280/I = . 295/I = 296/I = 297*/I = 298/I = 299/I = 300/I = 301/I = 302/I = 303/I = 304/I = 305/I = 306/I = 307/I = 321*/I = 322/I = 323/I = 324*/I = 325/I = 326/I = 327*/I = 328*/I = 329*/I = 330/I = 331/I = 333*/I = .