Giáo án lớp 12 môn Toán - Các tìm hiểu , mở rộng từ một bài toán véc tơ trong tam giác

CÁC TÌM HIỂU , MỞ RỘNG TỪ MỘT BÀI TOÁN VÉC TƠ TRONG TAM GIÁC . Bài toán gốc 1 : Cho tam giác ABC . M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng : Thực hiện hoán vị vòng tròn bộ ba điểm (M,N,P) ta có bộ ba điểm (N,P,M) theo thứ tự đó . Ta có : Bài toán 1.1 : Cho tam giác ABC . M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng : Ở các bài toán trên các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số bằng -1 – Kết quả các bài toán vẫn đúng nếu các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số k nào đó . Ta có : Bài toán 1.2 : Cho tam giác ABC và các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số k ¹ 1. Chứng minh rằng : a) b) Có thể mở rộng bài toán cho tứ giác , n-giác . Bài toán 1.3 : Cho tứ giác ABCD và các điểm M.N,P,Q chia các đoạn AB , BC, CD , DA theo cùng tỉ số k ¹ 1 . Chứng minh rằng : a) b) c) d) Xem lại bài toán 1có thể thấy tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm . Bài toán gốc 2 : Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA . Chứng minh tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm . Kết quả bài toán 2 vẫn đúng nếu các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số k ¹ 1. Ta có Bài toán tổng quát : Bài toán 2.1 : Cho tam giác ABC và các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số k ¹ 1 . Chứng minh tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm . Tiếp tục vẫn có kết quả tương tự như vậy đối với bài toán tứ giác – n giác . Bài toán 2.2 : Cho tứ giác ABCD và các điểm M.N,P,Q chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số k ¹ 1 . Chứng minh tứ giác ABCD và MNPQ có cùng trọng tâm . Trở lại bài toán 1.2 – Các cặp đơạn thẳng AN , BP ; BP, CM ; CM,AN lần lượt cắt nhau tại các điểm H,I ,K – (xem hình ) – Các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng 1 tỉ số thì có lẽ các điểm H, I ,K cũng chia các đoạn AN , BP , CM theo cùng 1 tỉ số ? Có thể kiểm chứng điều này trong vài trường hợp với phần mềm Sketchpad . Ta phát biểu bài toán mới Bài toán 2.3 : Cho tam giác ABC và các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số k ¹ 1. a) Chứng minh: b) Các cặp đơạn thẳng AN , BP ; BP, CM ; CM,AN lần lượt cắt nhau tại các điểm H,I ,K .Chứng minh rằng : Bài toán 2.4 : Cho tam giác ABC và các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số k ¹ 1. Các cặp đơạn thẳng AN , BP ; BP, CM ; CM,AN lần lượt cắt nhau tại các điểm H,I ,K . Chứng minh tam giác ABC và HIK có cùng trọng tâm . Bài toán 2.5 : Cho tam giác ABC và các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số k ¹ 1. a) Chứng minh rằng : b) Các cặp đơạn thẳng MN , BP ; NP, CM ; PM,AN lần lượt cắt nhau tại các điểm H,I ,K .Chứng minh rằng : Bài toán 2.6 : Cho tam giác ABC và các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo cùng tỉ số k ¹ 1. Các cặp đơạn thẳng MN , BP ; NP, CM ; PM,AN lần lượt cắt nhau tại các điểm H,I ,K .Chứng minh rằng tam giác ABC và HIK có cùng trọng tâm . Xem lại bài toán 1có thể thấy các đường thẳng AN , BM, CP đồng qui (tại G là trọng tâm D ABC). Các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo các tỉ số m , n , p như thế nào thì AN , BM, CP đồng qui ? Trường hợp m = -1 , n = -1 , p = -1 thì AN , BM, CP đồng qui Thử tìm hiểu nếu m = -1 , n = -2 thì p = ? để AN , BM, CP đồng qui . Với sự hổ trợ của phần mềm Sketchpad ta nhanh chóng xác lập được p = -1/2 .Tiếp tục tìm hiểu nếu m = -1/2 , n = -3 thì xác lập p = -2/3 Quan sát các bộ ba số m , n, p ta thấy ra : m.n.p = -1 Có hay không bài toán dưới đây : “Bài toán 3 : ” Cho tam giác ABC và các điểm M.N,P chia các đoạn AB , BC, CA theo các tỉ số m , n , p . Chứng minh nếu : m.n.p = -1 thì các đường thẳng AN , BM, CP đồng qui . Đây chính là định lý .