Giáo án lớp 12 môn Toán - Cực trị hàm số

Khảo sát hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Thị Ái Hằng 0935 905 892 CỰC TRỊ HÀM SỐ 1. Định nghĩa: Giả sử hàm f xác định trên tâp hợp D D và 0x D . a) 0x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  ;a b chứa 0x sao cho  ;a b D và 0( ) ( )f x f x với mọi   0; \x a b x . Khi đó 0( )f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số f. b) 0x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  ;a b chứa 0x sao cho  ;a b D và 0( ) ( )f x f x với mọi   0; \x a b x . Khi đó 0( )f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Lưu ý: Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị. 2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm 0x thì 0'( ) 0.f x  Chú ý:  Đảo của định lý trên không đúng nghĩa là 0'( ) 0f x  thì chưa thể khẳng định 0x là điểm cực trị.  Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại 0x khi 0'( ) 0f x  hoặc 0'( )f x không tồn tại. 3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Định lý 2: Nếu hàm số ( )y f x liên tục trên khoảng  ;a b chứa 0x và có đạo hàm trên   0; \a b x . a. Nếu qua 0x , '( )f x đổi dấu từ âm sang dương thì hàm f đạt cực tiểu tại 0x . f(x) f'(x) x a bx0 f(a) f(b) f(x0 ) Khảo sát hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Thị Ái Hằng 0935 905 892 b. Nếu qua 0x , '( )f x đổi dấu từ dương sang âm thì hàm f đạt cực đại tại 0x . Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  ;a b chứa 0x , 0'( ) 0f x  và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại 0x . a. Nếu 0''( ) 0f x  thì hàm f đạt cực tiểu tại 0x . b. Nếu 0''( ) 0f x  thì hàm f đạt cực đại tại 0x . Chú ý:  Nếu 0''( ) 0f x  thì chưa kết luận được gì.  Đảo của định lý trên không đúng nghĩa là nếu hàm f đạt cực tiểu tại 0x thì chưa chắc 0''( ) 0f x  và hàm f đạt cực đại tại 0x thì chưa chắc 0''( ) 0f x  . CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.  Quy tắc 1: Bước 1: TXĐ Bước 2: Tính '( )f x , tìm các điểm  , 1,2,...ix i  mà tại đó '( ) 0f x  hoặc '( )f x không tồn tại. Bước 3: Lập bảng biến thiên, kết luận.  Quy tắc 2: Bước 1: TXĐ Bước 2: Giải phương trình '( ) 0f x  , tìm các nghiệm  , 1,2,...ix i  . Bước 3: Tính ''( )f x và ''( )if x , kết luận. Bài tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: a. 3 21( ) 2 3 13f x x x x    b. 2 1( ) xf x x c.  ( ) 2f x x x  d. 2( ) 2 3f x x x    f(x0 ) f(b)f(a) x0 bax f'(x) f(x) Khảo sát hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Thị Ái Hằng 0935 905 892 Bài giải: a. 3 21( ) 2 3 13f x x x x    TXĐ: D  2 1'( ) 4 3, '( ) 0 3xf x x x f x x          Cách 1: BBT Vậy hàm số đạt cực đại tại 3, ( 3) 1x f    , hàm số đạt cực tiểu tại 11, ( 1) 3x f    . Cách 2: ''( ) 2 4f x x  Vì ''( 3) 2 0f     nên hàm số đạt cực đại tại 3, ( 3) 1x f    Vì ''( 1) 2 0f    nên hàm số đạt cực tiểu tại 11, ( 1) 3x f    . b. 2 1 1( ) xf x x x x     TXĐ:  \ 0D  22 21 2'( ) 1 xf x x x   , 2'( ) 0 1 0 1f x x x      BBT: Vậy hàm số đạt cực đại tại 1, ( 1) 2x f     , hàm số đạt cực tiểu tại 1, (1) 2x f  . -1-3 0xf'(x) f(x) 0 ++ _1 -1 2 -2 1 +0 x f'(x) f(x) 0+ _ 0 _ Khảo sát hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Thị Ái Hằng 0935 905 892 c.  ( ) 2f x x x  TXĐ: D  Ta có:     2 22 khi 0 2 khi 0( ) 2 khi 0 2 khi 0x x x x x xf x x x x x x x               2 2 khi 0'( ) 2 2 khi 0x xf x x x     , tại x=0 đạo hàm không tồn tại. '( ) 0 1f x x   . BBT: Vậy hàm số đạt cực đại tại 0, (0) 0x f  , hàm số đạt cực tiểu 1, (1) 1.x f   d. 2( ) 2 3f x x x    TXĐ: D  Ta có: 22 2 3 khi 1 3 ( ) 12 3 khi 3 x x x f x x x x x               2 2 khi 1 3'( ) 12 2 khi 3 x x f x x x x            . Tại 1, 3x x   đạo hàm không tồn tại. '( ) 0 1f x x   . BBT: Vậy hàm số đạt cực đại tại 1, (1) 4,x f  đạt cực tiểu tại 1, ( 1) 0x f    và 3, (3) 0x f  . Bài tập 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: a. 5 31 1( ) 25 3f x x x   b. 2 3 3( ) 1x xf x x   x f'(x) f(x) 01 ++ _0 0 -1 4 00 _ 301-1_ + + f(x) f'(x) x Khảo sát hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Thị Ái Hằng 0935 905 892 c. 2 1( ) 1xf x x x   d. 2( ) 2 1 3 2f x x x x     Bài giải: a. 5 31 1( ) 25 3f x x x   TXĐ: D   4 2 2 2'( ) 1f x x x x x    0'( ) 0 1xf x x      BBT: Vậy hàm số đạt cực đại tại 321, ( 1) ,15x f    hàm số đạt cực tiểu tại 281, (1) 15x f  . b. 2 3 3( ) 1x xf x x   TXĐ:  \ 1D    2 22'( ) 1x xf x x   0'( ) 0 2xf x x     BBT: Vậy hàm số đạt cực đại tại 0, (0) 3x f   , hàm số đạt cực tiểu tại 2, (2) 1x f  . c. 2 1( ) 1xf x x x   TXĐ: D  28/15 32/15 0 00 -1 10 f'(x) x f(x) 1 -3 0 0 20 1 f'(x) x f(x) Khảo sát hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Thị Ái Hằng 0935 905 892      2 2 32 2 1 2 11 3 32 1'( ) 1 2 1 x x x x xx xf x x x x x             '( ) 0 3 3 0 1f x x x      BBT: Vậy hàm số đạt cực đại tại 1, (1) 2.x f  d. 2( ) 2 1 3 2f x x x x     TXĐ: D  Ta có:     2 2 2 2 1 12 1 3 2 khi 5 1 khi 2 2( ) 2 1 3 2 khi 1 2 3 khi 1 2 x xx x x x xx xf x x x x x x x x                             12 5 khi '( ) 22 1 khi 1 2 x x f x x x x            , tại 1x  và 2x  đạo hàm không tồn tại, 5 (TM)2'( ) 0 1 (L)2 x f x x        BBT: Vậy hàm số đạt cực đại tại 5 5 21,2 2 4x f      . Bài tập 3: Tìm cực trị của các hàm số sau: a. ( ) sin2f x x x  b. 2( ) sinf x x c. ( ) sin2 cos2f x x x  d. ( ) 3 2cos cos2f x x x   1 1 2 1 0 f(x) f'(x) x 0f'(x) x f(x) 1 2 Khảo sát hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Thị Ái Hằng 0935 905 892 Bài giải: a. ( ) sin2f x x x  Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . Ta có:  1'( ) 2cos2 1 0 cos2 2 6f x x x x k k           và  '' 4sin2f x x  . Lúc đó: '' 4sin 2 3 0.6 3f k                Suy ra hàm số đạt cực đại tại .6x k   '' 4sin 2 3 0.6 3f k                 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại .6x k   b. 2( ) sinf x x Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . Ta có:    ' 2sin cos sin2 0 2kf x x x x x k      và  '' 2cos2 .f x x Lúc đó:     2 khi 2'' 2cos .2 2 khi 2 1k nf k k nk n              Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x n và đạt cực đại tại   2x n n    . c. ( ) sin2 cos2f x x x  Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . Ta có:    8' 2cos2 2sin2 2 2cos 2 0 .4 58 x k f x x x x k x k                        '' 4sin2 4cos2 .f x x x   Lúc đó: '' 4 2 08f k        . Suy ra hàm số đạt cực đại tại .8x k   5'' 4 2 08f k       . Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại 5 .8x k   d. ( ) 3 2cos cos2f x x x   Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . Ta có:    ' 2sin 2sin2 2sin 1 2cos 0f x x x x x      sin 0 .1 2cos 22 3 x x k k x x k                  Khảo sát hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Thị Ái Hằng 0935 905 892  '' 2cos 4cos2 .f x x x  Lúc đó: 2 2'' 2 6cos 3 03 3f k                . Suy ra hàm số đạt cực đại tại 2 23x k    và 2 92 .3 2f k        '' 2cos 4 0 .f k k k      Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x k và    2 1 cos .f k k   Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ DẠNG 1: Cực trị của hàm số bậc ba: 3 2( ) .y f x ax bx cx d     I. Các kiến thức cơ bản:  Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình 0y  có 2 nghiệm phân biệt.  Hoành độ 1 2,x x của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình 0y  .  Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm:  Phân tích ( ). ( )y f x q x x    .  Suy ra 1 1 2 2,y x y x       . Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y x   .  Gọi là góc giữa hai đường thẳng 1 1 1 2 2 2: , :d y k x b d y k x b    thì 1 21 2tan 1k kk k  . II. Bài tập: Câu 1: (ĐH A-2002) Cho hàm số 3 2 2 3 23 3(1 )y x mx m x m m       (1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Giải: TXĐ: D  . 2 23 6 3(1 )y x mx m     Phương trình ' 0y  có 1 0 m    nên đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị 1 1 2 2( ; ), ( ; )x y x y . Ta có: 21 23 3my x y x m m         . Khi đó: 21 12y x m m   ; 22 22y x m m   . PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là 22y x m m   . Câu 2: (ĐH D-2012) Tìm m để hàm số  3 2 22 22 3 13 3y x mx m x     có hai điểm cực trị 1x và 2xsao cho  1 2 1 22 1x x x x   . Giải: TXĐ: D  Ta có:  2 2' 2 2 2 3 1y x mx m    . Hàm số có hai điểm cực trị ' 0y  có hai nghiệm phân biệt  2 2 13 2 130 13 4 0 13 13m m v m         . Theo Viet: 1 2 21 2. 1 3x x mx x m    Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 2 Theo giả thiết:   21 2 1 2 22 1 1 3 2 1 0 .3x x x x m m m m          So sánh điều kiện ta có 23m  thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3: Cho hàm số    3 21 11 3 23 3y x m x m x      , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho 1 22 1x x  . Giải: TXĐ: D     2 2 1 3 2y x m x m     Hàm số có cực đại và cực tiểu  0y  có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x  20 5 7 0m m      (m). Theo Viet: :     1 2 1 2 2 13 2x x mx x m      Theo giả thiết 1 22 1x x      2 2 2 3 21 2 3 2x mx x m      2 4 348 16 9 0 4m m m        . Câu 4: Cho hàm số 3 24 3y x mx x   . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho 1 24x x  . ĐS: 92m   . Câu 5: Cho hàm số 3 2 22 9 12 1y x mx m x    (m là tham số). Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: 2 CCĐ Tx x . Giải: TXĐ: D  2 2 2 26x 18 x 12 6( 3 x 2 ).y m m x m m       2 2' 0 3 2 0.y x mx m     Hàm số có CĐ và CT  0y  có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x   = 2m > 0  0m . Khi đó:    1 21 13 , 32 2x m m x m m      . Dựa vào bảng xét dấu y suy ra 1 2, CCĐ Tx x x x  . Do đó: 2 CCĐ Tx x  23 32 2m m m m        2m   . Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 3 Câu 6: Cho hàm số 3 2 21 ( 1) 1 ( )3 my x mx m x C     . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và 2CD CTy y  . Giải: TXĐ: D  . 2 22 1y x mx m     . 10 1x my x m       . 2CD CTy y   3 1 02 2 2 2 1mm m m        . Câu 7: Cho hàm số 3 23( 1) 9y x m x x m     , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho 1 2 2x x  . Giải: TXĐ: D  2' 3 6( 1) 9.y x m x    Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 1 2,x x  PT ' 0y  có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x  PT 2 2( 1) 3 0x m x    có hai nghiệm phân biệt là 1 2,x x . 2 1 3' ( 1) 3 0 1 3mm m              Theo Viet: 1 21 2 2( 1)3x x mx x    Theo giải thiết:    2 21 2 1 2 1 22 4 4 4 1 12 4x x x x x x m          2( 1) 4 3 1m m       . So sánh điều kiện ta được giá trị của m cần tìm là 3 1 3m     v 1 3 1.m    Câu 8: Cho hàm số 3 2(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m       , với m là tham số thực.. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho 1 2 13x x  . ĐS: 3 29 18m m    . Câu 9: Cho hàm số 3 21 13y x mx mx    , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho 1 2 8x x  . Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 4 ĐS: 1 652 .1 652 m m         Câu 10: Cho hàm số : 3 2 33 12 2y x mx m   . Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Giải: TXĐ: D  . Ta có 2 0' 3 3 3 ( ) 0 xy x mx x x m x m          . Với 0m thì y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm do vậy hàm số có CĐ, CT. Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là:  310; , ;02A m B m    . Trung điểm của đoạn AB là 3;2 4m mI     , 31; 2AB m m     . A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x  AB d I d    3 3 12 2 4 m m m m        2 2 2m m    . Câu 11: Cho hàm số 3 23 3 1y x mx m     . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: 8 74 0x y   . ĐS: 2.m  Câu 12: Cho hàm số 3 23y x x mx   . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: 2 5 0x y   . Giải: TXĐ: D  . 3 2 23 ' 3 6y x x mx y x x m       . Hàm số có cực đại, cực tiểu  0y  có hai nghiệm phân biệt 9 3 0 3m m       . Ta có: 1 1 2 123 3 3 3y x y m x m              . Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 5 Do đó đường thẳng  đi qua các điểm cực trị có phương trình 2 123 3y m x m      nên có hệ số góc 1 2 23k m  . d: 2 5 0x y   1 52 2y x    d có hệ số góc 2 12k  Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d    1 2 1 21 2 1 02 3k k m m           . Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I  d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 thỏa ycbt. Câu 13: (ĐH B-2007) Tìm m để hàm số :    3 2 2 33 3 1 3 1 y x x m x m C       có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của  C cách đều gốc tọa độ O. Giải: TXĐ: D  . Ta có:  2 2' 3 6 3 1y x x m     , 2 2' 0 2 1 0y x x m       Hàm số có cực trị ' 0y  có hai nghiệm phân biệt 2' 0 0m m     . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là    3 31 ; 2 2 , 1 ; 2 2A m m B m m      . O cách đều A và B        2 22 23 31 2 2 = 1 2 2OA OB m m m m           38 2m m  1 1 02 2m v m v m     . So sánh điều kiện ta được 1 1 2 2m v m   thỏa mãn ycbt. Câu 14: Cho hàm số  3 2 2 33 3 1y x mx m x m m      (1), m là tham số. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O. Giải: TXĐ: D  . Ta có:  2 2' 3 6 3 1y x mx m    . Hàm số có cực đại, cực tiểu 'y đổi dấu 2 lần ' 0y  có 2 nghiệm phân biệt  ' 0 9 0 m      Hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m. Khi đó, điểm cực đại của đồ thị là  1;2 2A m m  , điểm cực tiểu của đồ thị là  1; 2 2B m m   . Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O        2 2 2 23 1 2 2 3 1 2 2OB OA m m m m           . Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 6        2 2 2 2 21 2 2 9 1 2 2 2 5 2 0m m m m m m               2 .12 m m      So sánh điều kiện ta được 1 22m v m  thỏa mãn ycbt. Câu 15: Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m m      . Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. ĐS: 3 2 2 .3 2 2mm       Câu 16: (ĐH B-2012) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 33 3y x mx m   có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. Giải: TXĐ: D  . 2 0' 3 6 0 2xy x mx x m      Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 0m  . Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là    30;3 , 2 ; .A m B m m Suy ra 33OA m ,  , 2 .d B OA m Theo giả thiết   4 2148 , . 48 3 482 2OAB mS d B OA OA m m          (Thỏa ycbt). Câu 17: Cho hàm số 3 2 23 1y x x m m     . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ). ĐS: 3 .2mm   Câu 18: Cho hàm số 2 2 32 3( 1) 6y x m x mx m     . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho 2AB  . Giải: TXĐ: D  .  26 6 1 6y x m x m     .  2 1' 0 1 0 xy x m x m x m           . Hàm số có CĐ, CT  0y  có 2 nghiệm phân biệt  1m  . Khi đó các điểm cực trị là 3 2(1; 3 1), ( ;3 )A m m B m m  . Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 7 2AB   22 2 3 2 2 3( 1) (3 3 1) 2 ( 1) ( 1) 2m m m m m m              0; 2m m  (thoả điều kiện). Câu 19: Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1) 4 1y x mx m x m m       . Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O. Giải: TXĐ: D  . 2 23 6 3( 1)y x mx m    ; 1 30 1 1x m y my x m y m            . Khi đó hai điểm cực trị của hàm số là ( 1; 3)A m m  , ( 1; 1)B m m  .  ( 1; 3)OA m m   , ( 1; 1)OB m m   . OAB vuông tại O . 0OA OB    2 12 2 4 0 .2mm m m        Câu 20: Cho hàm số 2 2 32 3( 1) 6 .y x m x mx m     Tìm m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với (4;0)C . ĐS: 1m   . Câu 21: Cho hàm số 3 23( 1) 12 3 4y x m x mx m      . Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm 91; 2C      lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. Giải: TXĐ: D  . 2' 3 6( 1) 12y x m x m    . 2 2( 1) 4 0x m x m    . Hàm số có hai cực trị 0y  có hai nghiệm phân biệt  2' ( 1) 0 1m m      (*). Khi đó hai cực trị là 3 2(2;9 ), (2 ; 4 12 3 4)A m B m m m m    . ABC nhận O làm trọng tâm 3 22 2 1 03 193 24 12 6 4 02A B C OA B C O mx x x x m y y y y m m m                       (thoả (*)). Câu 22 : Cho hàm số 3 23 2 (1)y x x mx    . Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. Giải: TXĐ: D  . 23 6y x x m    . Hàm số có 2 cực trị  0y  có 2 nghiệm phân biệt  3m  . Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 8 Ta có: 1 2( 1). 2 23 3 3m my x y x          . Suy ra đường thẳng  đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình: 2 2 23 3m my x        .  cắt Ox, Oy tại 6 ;02( 3)mA m    , 60; 3mB      0m  . Tam giác OAB cân OA = OB 6 62( 3) 3m mm   9 36; ;2 2m m m     . So sánh điều kiện ta có 32m  . Câu 23: Cho hàm số 3 2 2(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x        (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Giải: TXĐ: D  . 2 23 2(2 1) ( 3 2)y x m x m m       . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung  PT 0y  có 2 nghiệm trái dấu  23( 3 2) 0m m    1 2m  . Câu 24: Cho hàm số  3 26 3 2 6.y x x m x m      Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành. Giải: TXĐ: D  .  2 2' 3 12 3 2 , ' 0 4 2 0y x x m y x x m          Hàm số có cực đại, cực tiểu ' 0y  có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x ' 2 0 2m m      . Biểu diễn:  2 ' 2 2 23xy y m x m     . Khi đó, hai điểm cực trị của hàm số là     1 2 1 1 2 2, 2 2 2 2 2 2x xA By m x m y m x m             . Theo Viet: 1 21 2 4. 2x xx x m    (*) Hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục hoành 1 2. 0y y          1 22 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 02 4 2 1 0m x m m x mm x x x x                     Từ (*) thay vào trên ta được        2 2 22 4 2 2.4 1 0 2 4 17 0 174 m m m m m m                  . Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 9 So Sánh điều kiện ta được 17 24 m   thỏa mãn ycbt. Câu 25: Cho hàm số 3 23 2y x x mx m     (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. ĐS: 3m Câu 26: Cho hàm số 3 2 21 1 ( 3)3 2y x mx m x    . Tìm các giá trị của m để hàm số có các điểm cực trị 1 2,x x với 1 20, 0x x  và 2 21 2 52x x  . Giải: TXĐ: D  . 2 2 3y x mx m     ; 2 20 3 0.y x mx m       YCBT  2 21 2 000 52 P S x x             3 2 1414 22 m m m          . Câu 27: (Dự bị 2006) Tìm các giá trị của m để đồ thị  C :    3 21 2 2 2y x m x m x m       . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số  C có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Giải: TXĐ: D  . 2 23 2(1 2 ) 2 , ' 0 3 2(1 2 ) 2 0 (1)y x m x m y x m x m            . Đặt 1t x   1x t  , thay vào (1) ta được:       2 23 1 2 1 2 1 2 0 3 4 2 5 7 0t m t m t m t t             . (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1  (2) có 2 nghiệm âm phân biệt.   24 5 00 5 7 5 70 0 .3 4 50 4 2 03 m m mP m S m                         Câu 28: Cho hàm số 3 2( 2) ( 1) 23my x m x m x      Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn 1 2 1x x  . Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 10 Giải: TXĐ: D  . 2 2( 2) 1y mx m x m      ; 0y   2 2( 2) 1 0mx m x m     (1) Đặt 1t x   1x t  , thay vào (1) ta được: 2( 1) 2( 2)( 1) 1 0m t m t m       2 4( 1) 4 5 0mt m t m      (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1  (2) có 2 nghiệm âm phân biệt. 0000 m P S          5 44 3m   . Câu 29: Cho hàm số : y = 3 2 21 ( 1) 13 x mx m m x     Tìm m để hàm số có hai cực trị 1 2, x x thoả mãn 1 21 x x  . Giải: TXĐ: D  2 22 1y x mx m m      . Đặt 1 1t x x t     ta được :  2 2' ( ) 2 1 3 2.y g t t m t m m       (1) có hai cực trị 1 2,x x thoả 1 21 x x  ( ) 0g t  có hai nghiệm 1 2, t t thoả 1 20 t t  ' 000SP       2 1 03 2 0 2.2 2 0 m m m m m             Vậy: Với 2m  thì hàm số (1) có hai cực trị 1 2, x x thoả mãn 1 21 .x x  Câu 30: Cho hàm số 3 23 2y x x mx    (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng 1.y x  Giải: TXĐ: D  Hàm số có CĐ, CT 2' 3 6 0y x x m     có 2 nghiệm phân biệt ; A Bx x' 9 3 0 3m m       (*). Biểu diễn: 1 1 2' 2 2 .3 3 3 3m my x y x                     Khi đó, hai điểm cực trị của hàm số là ; , 2 22 2 2 23 3 3 3; BA BAA x Bm m m mx xx                      Các điểm cực trị cách đều đường thẳng : 1y x      , ,d A d B    .     01 11 1 1 1 2 02 2 A B A BA A B BA A B B A A B B A B A Bx x y yx y x yx y x y x y x y x x y y                            Cực trị hàm số Luyện thi Đại học 2014 GV: Huỳnh Ái Hằng 0935 905 892 Page 11   2 22 2 2 2 2 03 3 3 3 A B A B A B m m m mx x x x L x x                                            2 02 2 2 23 32 2 .2 2 232 2 0 0.3 A B A B m mx x m x x mm                                                  Vậy giá trị cần tìm của m là: 0m  . Câu 31: Cho hàm số 3 23 2y x x   . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: 3 2y x  sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. Giải: TXĐ: D  Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2). Xét biểu thức ( , ) 3 2g x y x y   ta có: ( , ) 3 2 4 0; ( , ) 3 2 6 0.A A A A B B B Bg x y x y g x y x y            2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: 3 2y x  . Do đó MA + MB nhỏ nhất  3 điểm A, M, B thẳng hàng  M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: 2 2y x   Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 3 2 4 2;2 2 5 5y x x yy x          4 2; .5 5M     Câu 32: Cho hàm số  3 3 2 my x mx C   . Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của  mC cắt đường tròn tâm (1;1)I , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích IAB đạt giá trị lớn nhất. Giải: TXĐ: D  . 2' 3 3y x m  . Hàm số có CĐ, CT  PT ' 0y  có hai nghiệm phân biệt 0.m  Vì 1 . 2 23y x y mx   nên đường thẳng  đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương trình là: 2 2.y mx   Ta có   22 1, 14 1md I Rm    (vì m > 0)  luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt. Với 12m :  không đi qua I, ta có: