Giáo án lớp 12 môn Toán - Nguyên lý bù trừ và bài toán đếm số phần tử của một tập hợp

Nguyên lý bù trừ và bài toán đếm số phần tử của một tập hợp Lê quang Dũng – Trừơng THPT số 2 Phù cát – Đình định 1) Nguyên lý bù trừ : Với A1,A2 là hai tập hữu hạn phần tử : n(A1 A2) =n(A1)+n(A2)-n(A1 A2) Với A,B,C là ba tập hợp hữu hạn phần tử : n(A1 A2 A2)=n(A1)+n(A2)+n(A3) –( n(A1 A2) +n(A1 A3)+n(A2 A3))+n(A1 A2 A3) Tổng quát : n(Ai)= + + Minh họa : Cho tập hợp A1={2,3,7,9,10} , A2={ 1,2,3,9} , A3={2,4,9,10} Tập hợp Phần tử Số lượng A1 {2,3,7,9,10} 5 A2 { 1,2,3,9} 4 A3 {2,4,9,10} 4 A1 A2 {2,3,9} 3 A1 A3 {2,9,10} 3 A2 A3 {2,9} 2 A1A2 A3 {2,9} 2 A1 A2 A2 {1,2,3,4,7,9,10} 5+4+4-(3+3+2)+2=7 1) Các ví dụ áp dụng : ( ký hiệu C(n,k) =) Ví dụ 1 : Cho tập hợp M={1,2,3, ,100} , có bao nhiêu cách chọn một phần tử của M , chia hết cho 2 , hoặc cho 3 Giải : Gọi A là tập hợp các số chia hết có 2, hoặc chia hết cho 3 => n(A) = n(A1) +n(A2) –n(A1 A2) Ta có n(A1) =[ 100/2]=50 , n(A2)= [100/3]=33 , n(A1A2)=[100/6]=16 Nên n(A) =67 => số phần tử của tập hợp A là 67 . Ví dụ 2 : Từ một bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài ,có bao nhiêu cách rút ngẫu nhiên 13 quân bài, trong đó có 4 quân bài “tứ quý” . Giải : Số cách rút ra 13 quân bài có đúng một bộ tứ quý : N1= C(13,1).C(48,9) Số cách rút ra 13 quan bài có đúng 2 bộ tứ quý : N2= C(13,2).C(44,5) Số cách rút ra 13 quân bài có đúng 3 bộ tứ quý : N3= C(13,3). C(40,1) Số các cần tìm là : N=N1-N2+N3 = ? Ví dụ 3 : Cho tập hợp M={1,2,3, ,2014} , có bao nhiêu cách chọn một phần tử của M , so cho phàn tử đó chia hết cho ít nhất một trong 3 số 2,3,13 Giải : Gọi A là tập hợp các số chia hết có 2, hoặc chia hết cho 3 , hoặc chia hết cho 13 n(A)=n(A1)+n(A2)+n(A3) –( n(A1 A2) +n(A1 A3)+n(A2 A3))+n(A1 A2 A3) Ta có n(A1) =[ 2014/2]=1007 , n(A2)= [2014/3]=671 , n( A3)= [2014/13] =154 n(A1A2)=[2014/6]=335 ,n(A1A3)=[2014/26]=77 ,n(A2A3)=[2014/39]=51 , n(A1A2A3)=[2014/78]=25 => n(A) = 1394 => số phần tử của tập hợp A là 1394 Ví dụ 4 ( Bình định 2013-2014) Cho tập hợp M={1,2,3, ,2014} , Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử của M , tính xác suất để hai phần tử được chọn đều là số chia hết cho ít nhất một trong 3 số 2,3,13 . Giải : a) Gọi A là tập hợp các số chia hết có 2, chia hết cho 3 , hoặc chia hết cho 13 n(A)=n(A1)+n(A2)+n(A3) –( n(A1 A2) +n(A1 A3)+n(A2 A3))+n(A1 A2 A3) Ta có n(A1) =[ 2014/2]=1007 , n(A2)= [2014/3]=671 , n( A3)= [2014/13] =154 n(A1A2)=[2014/6]=335 ,n(A1A3)=[2014/26]=77 ,n(A2A3)=[2014/39]=51 , n(A1A2A3)=[2014/78]=25 => n(A) = 1394 Xác suất cần tìm là p(A)= =0,48.. Ví dụ 5 : : Bài toán phương trình nghiệm nguyên 1) Bao nhiêu nghiệm x + y + z = 15 trong đó mỗi ẩn là một số nguyên không âm ? Không có hạn chế nào khác , đây là một sự kết hợp với vấn đề lặp đi lặp lại . Bao nhiêu cách có thể được phân phối 15 giá trị cho ba biến ? C (17,15) = 136 . Nếu chúng ta bắt đầu áp dụng các hạn chế thì 2) Bao nhiêu nghiệm x + y + z = 15 với x ≤ 3 ? Chúng ta phải loại trừ các giải pháp trong đó x ≥ 4 . Có nghĩa là, ( 4 + x’) + y + z = 15 . C ( 17,15 ) - C ( 13,11 ) = 58 . 3) Bao nhiêu nghiệm x + y + z = 15 với x ≤ 3 và y ≤ 4 ? Không hạn chế : C ( 17,15 ) = 136 . Với x ≥ 4 : C ( 13,11 ) = 78 . Với y ≥ 5 : C ( 12,10 ) = 66 . Với x ≥ 4 và y ≥ 5 : C ( 8,6 ) = 28 . Chúng tôi kết hợp và nhận được các giải pháp với x ≤ 3 và y ≤ 4 : 136-78-66 +28 = 20 . 4) Bao nhiêu nghiệm x + y + z = 15 với x ≤ 3 và y ≤ 4 và z ≤ 8 ? Không hạn chế : C ( 17,15 ) = 136 . Với x ≥ 4 : C ( 13,11 ) = 78 . Với y ≥ 5 : C ( 12,10 ) = 66 . Với z ≥ 9 : C ( 8,6 ) = 28 . Với x ≥ 4 và y ≥ 5 : C ( 8,6 ) = 28 . Với x ≥ 4 và z ≥ 9 : C (4,2) = 6 . Với y ≥ 5 và z ≥ 9 : C ( 3,1) = 3 . Với x ≥ 4 và y ≥ 5 và z ≥ 9 : 0 . Chúng tôi kết hợp và nhận được các giải pháp với x ≤ 3 và y ≤ 4 và z ≤ 8 : 78-78-66-28 6 3-0 = 1 3) Bài tập tương tự : 1) Phương trình : x+y+z+t =15 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương , biết 3<x<7 , -2<y<2 ,-1<z<7,2<t<9 2) Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1000 chía hết cho ít nhất một trong các số 7,10,15 3) Có bao nhiêu bộ x,y,z không lớn hơn 1000 sao cho x+y+z chia hết cho 3