Giáo án lớp 12 môn Toán - Phần 1: Tính đơn điệu của hàm số

Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 1 THUẦN GIÁO KHOA: 1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 f(x2) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 22 4 5y x x    b) 2 5 4 4 x y x   c) 2 4 3y x x   d) 3 22 2y x x x    e) 2(4 )( 1)y x x   f) 3 23 4 1y x x x    g) 4 21 2 1 4 y x x   h) 4 22 3y x x    i) 4 21 1 2 10 10 y x x   k) 2 1 5 xy x    l) 1 2 xy x    m) 11 1 y x    n) 22 26 2 x x y x     o) 13 1 y x x      p) 24 15 9 3 x x y x    Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 4 3 26 8 3 1y x x x     b) 2 2 1 4 x y x    c) 2 2 1 1 x x y x x      d) 2 2 1x y x   e) 2 3 2 x y x x    f) 3 2 2y x x    PHẦN 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 2 g) 2 1 3y x x    h) 22y x x  i) 22y x x  k) sin 2 2 2 y x x            l) sin 2 2 2 y x x x             Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Cho hàm số ( , )y f x m , m là tham số, có tập xác định D.  Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.  Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ax bx c2'    thì:  0 0' 0, 0 0 a b cy x R a               0 0' 0, 0 0 a b cy x R a              3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c   :  Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.  Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2 b a  )  Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c   với số 0:  1 2 0 0 0 0 x x P S            1 2 0 0 0 0 x x P S            1 20 0x x P    MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP 1. Tìm điều kiện để hàm số y f x( ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định).  Hàm số f đồng biến trên D  y x D0,    và y 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.  Hàm số f nghịch biến trên D  y x D0,    và y 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.  Nếu y ax bx c a2' ( 0)    thì: + ay x R 0' 0, 0        + ay x R 0' 0, 0        Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 3 2 2 ' 0 ' 0, 0 ' ' 0 ' 0, 0 ' 0, 0 ' ( ) ' 0, 0 y x a y ax bx c y x a dy x ad bc cad bcy cx d dy x ad bc c                                               2. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d3 2( )     đơn điệu trên khoảng ( ; )a b . Ta cĩ: y f x ax bx c2( ) 3 2     . Cách 1: a) Hàm số f đồng biến trên ( ; )a b  y x0, ( ; )    a b và y 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; )a b . Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( )    (*) thì f đồng biến trên ( ; )a b  h m g x ( ; ) ( ) max ( ) a b  Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( )    (**) thì f đồng biến trên ( ; )a b  h m g x ( ; ) ( ) min ( ) a b Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x( ) 0  khơng đưa được về dạng (*) thì đặt t x a . Khi đĩ ta cĩ: y g t at a b t a b c2 2( ) 3 2(3 ) 3 2          . – Hàm số f đồng biến trên khoảng a( ; )  g t t( ) 0, 0    a a S P 0 0 0 0 0 0            – Hàm số f đồng biến trên khoảng a( ; )  g t t( ) 0, 0    a a S P 0 0 0 0 0 0            b) Hàm số f nghịch biến trên ( ; )a b  y x0, ( ; )    a b và y 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; )a b . Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( )    (*) thì f nghịch biến trên ( ; )a b  h m g x ( ; ) ( ) max ( ) a b  Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( )    (**) thì f nghịch biến trên ( ; )a b  h m g x ( ; ) ( ) min ( ) a b Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 4 Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x( ) 0  khơng đưa được về dạng (*) thì đặt t x a . Khi đĩ ta cĩ: y g t at a b t a b c2 2( ) 3 2(3 ) 3 2          . – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a( ; )  g t t( ) 0, 0    a a S P 0 0 0 0 0 0            – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a( ; )  g t t( ) 0, 0    a a S P 0 0 0 0 0 0            Cách 2: dùng phương pháp hàm số (cho bài tốn cĩ m bậc 1) min max ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h m g x h m g x h m g x h m g x       Cách 3: tổng quát Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 5 ' 0 0 ( ; ] ' 0 ( ) 0 2 ' 0 0 [ ; ) ' 0 0 ( ) 0 2 ' 0 0 ( ; ] [ ; ) ' 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 [ ; ] ( ) 0 ' 0 0 ( ; ] ' 0 0 a af S a a af S a af af af af a af a                                                                       ( ) 0 2 ' 0 0 [ ; ) ' 0 ( ) 0 2 ' 0 0 ( ; ] [ ; ) ' 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 [ ; ] ( ) 0 S a af S a af af af af                                                     Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 6 3. Tìm điều kiện để hàm số ax by cx d    đơn điệu trên khoảng ( ; )a b . ( ; ) : 0 ( ; ) ( ; ) : 0 ( ; ) d cad bc da c d cad bc da c                             4. Tìm điều kiện để hàm số ax bx cy a d dx e 2 (2), ( , 0)    a) Đồng biến trên ( ; ) . b) Đồng biến trên ( ; )  . c) Đồng biến trên ( ; )  . Tập xác định: eD R d \        ,     adx aex be dc f xy dx e dx e 2 2 2 2 ( )'       Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 7 5. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d3 2( )     đơn điệu trên khoảng cĩ độ dài bằng k cho trước.  f đơn điệu trên khoảng x x1 2( ; )  y 0  cĩ 2 nghiệm phân biệt x x1 2,  a 0 0     (1)  Biến đổi x x d1 2  thành x x x x d 2 2 1 2 1 2( ) 4   (2)  Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. BÀI TẬP 1 Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) 3 5 13y x x   b) 3 23 9 1 3 x y x x    c) 2 1 2 xy x    Trường hợp 1 Trường hợp 2 Nếu: f x g x h m i( ) 0 ( ) ( ) ( )   Nếu bpt: f x( ) 0 khơng đưa được về dạng (i) thì ta đặt: t x   . Khi đĩ bpt: f x( ) 0 trở thành: g t( ) 0 , với: g t adt a d e t ad ae be dc2 2( ) 2 ( ) 2         a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e d g x h m x( ) ( ),          e d h m g x ( ; ] ( ) min ( )         a) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e d g t t ii( ) 0, 0 ( )         a aii S P 0 0 0( ) 0 0 0             b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e d g x h m x( ) ( ),          e d h m g x [ ; ) ( ) min ( )         b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e d g t t iii( ) 0, 0 ( )         a aiii S P 0 0 0( ) 0 0 0             c) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )    e d g x h m x ; ( ) ( ), ( ; )              e d h m g x [ ; ] ; ( ) min ( )          Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 8 d) 2 2 3 1 x x y x     e) 3 sin(3 1)y x x   f) 2 2 1x mx y x m     Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) 5 cot( 1)y x x    b) cosy x x  c) sin cos 2 2y x x x   Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó: a) 3 23 ( 2)y x mx m x m     b) 3 2 2 1 3 2 x mx y x    c) x my x m    d) 4mxy x m    e) 2 2 1x mx y x m     f) 2 22 3 2 x mx m y x m     Bài 4. Tìm m để hàm số: a) 3 23y x x mx m    nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) 3 21 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m     nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c) 3 21 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x       đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Bài 5. Tìm m để hàm số: a) 3 2( 1) ( 1) 1 3 x y m x m x      đồng biến trên khoảng (1; +). b) 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x      đồng biến trên khoảng (2; +). c) mxy m x m 4 ( 2)    đồng biến trên khoảng (1; +). d) x my x m    đồng biến trong khoảng (–1; +). e) 2 22 3 2 x mx m y x m     đồng biến trên khoảng (1; +). f) 22 3 2 1 x x m y x      nghịch biến trên khoảng 1 ; 2        . BÀI TẬP 2 Bài 1. Cho hàm số y m x mx m x3 21 ( 1) (3 2) 3      (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nĩ. Bài 2. Cho hàm số y x x mx3 23 4    (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;0) . Bài 3. Cho hàm số y x m x m m x3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1      cĩ đồ thị (Cm). Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 9 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) Bài 4. Cho hàm số y x m x m x m3 2(1 2 ) (2 ) 2       . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K (0; )  . Bài 5. Cho hàm số y m x m x x2 3 21 ( 1) ( 1) 2 1 3       (1) m( 1)  . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K ( ;2)  . Bài 6. Cho hàm số y m x m x x2 3 21 ( 1) ( 1) 2 1 3       (1) m( 1)  . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K (2; )  . Bài 7. Cho hàm số y x x mx m3 23    (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3. 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn cĩ độ dài bằng 1. Bài 8. Cho hàm số y x mx3 22 3 1    (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng x x1 2( ; ) với x x2 1 1  . Bài 9. Cho hàm số y x mx m4 22 3 1    (1), (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). Bài 10. Cho hàm số mxy x m 4   (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1  . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1) . Bài 11. Cho hàm số x x my x 22 3 (2). 1     Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng ( ; 1)  . Bài 12. Cho hàm số x x my x 22 3 (2). 1     Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; ) . Bài 13. Cho hàm số x x my x 22 3 (2). 1     Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) . Bài 14. Cho hàm số x mx my m x 2 22 3 (2). 2     Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng ( ;1) . Bài 15. Cho hàm số x mx my m x 2 22 3 (2). 2     Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; ) . Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 10 Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:  Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.  Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.  Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 sin , 0 6 x x x x với x    b) 2 1sin tan , 0 3 3 2 x x x với x     c) tan , 0 2 x x với x    d) sin tan 2 , 0 2 x x x với x     Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan , 0 tan 2 a a với a b b b      b) sin sin , 0 2 a a b b với a b       c) tan tan , 0 2 a a b b với a b       Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2sin , 0 2 xx với x     b) 3 3 5 sin , 0 6 6 120 x x x x x x với x      c) x x x với xsin cos 1, 0 2      Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 , 0xe x với x   b) ln(1 ) , 0x x với x   c) 1ln(1 ) ln , 0 1 x x với x x      d)  2 21 ln 1 1x x x x     Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 0tan 55 1,4 b) 01 7sin 20 3 20   c) 2 3log 3 log 4 HD: a) 0 0 0tan 55 tan(45 10 )  . Xét hàm số 1( ) 1 xf x x    . b) Xét hàm số 3( ) 3 4f x x x  . f(x) đồng biến trong khoảng 1 1; 2 2       và 0 1 7,sin 20 , 3 20  1 1; 2 2       . c) Xét hàm số ( ) log ( 1)xf x x  với x > 1. Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 11 THUẦN GIÁO KHOA: I. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D. a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0. b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0. b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0. Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1.  Tìm f (x).  Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.  Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. Qui tắc 2: Dùng định lí 2.  Tính f (x).  Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ).  Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, ). Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi. Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi. Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: PHẦN 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 12 a) 2 33 2y x x  b) 3 22 2 1y x x x    c) 3 21 4 15 3 y x x x    d) 4 2 3 2 x y x   e) 4 24 5y x x   f) 4 2 3 2 2 x y x    g) 2 3 6 2 x x y x      h) 23 4 5 1 x x y x     i) 2 2 15 3 x x y x     Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 4( 2) ( 1)y x x   b) 2 2 4 2 1 2 3 x x y x x      c) 2 2 3 4 4 1 x x y x x      d) 2 4y x x  e) 2 2 5y x x   f) 22y x x x   Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 2 1y x  b) 3 2 2 1 xy x   c) 4x xy e e  d) 2 5 5 2 lny x x x    e) 24siny x x  f) 2ln(1 )y x x   Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0. Chú ý:  Hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d    có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: + 3 20 0 0 0( )y x ax bx cx d    + 0 0( )y x Ax B  , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.  Hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b     = ( ) ( ) P x Q x (aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a  . Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: 00 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x  hoặc 00 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x   Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.  Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et. Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y f x ax bx cx d3 2( )     A. Kiến thức cơ bản  Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu  phương trình y 0  cĩ 2 nghiệm phân biệt. Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 13  Hồnh độ x x1 2, của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y 0  .  Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta cĩ thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. – Phân tích y f x q x h x( ). ( ) ( )  . – Suy ra y h x y h x1 1 2 2( ), ( )  . Do đĩ phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y h x( ) .  Gọi  là gĩc giữa hai đường thẳng d y k x b d y k x b1 1 1 2 2 2: , :    thì k k k k 1 2 1 2 tan 1    a B. Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số gĩc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuơng gĩc) với đường thẳng d y px q:   . – Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: k p (hoặc k p 1   ). 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d y px q:   một gĩc a . – Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: k p kp tan 1    a . (Đặc biệt nếu d  Ox, thì giải điều kiện: k tan a ) 3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB cĩ diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện IABS S  . 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị A, B sao cho IAB cĩ diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước). – Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện IABS S  . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB. Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 22/23/25 Mạc Đỉnh Chi- TP Cần Thơ https://www.facebook.com/vothanhbinhct 14 – Giải điều kiện: d I d     . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: d A d d B d( , ) ( , ) . 6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất). – Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (cĩ thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị). – Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB. 7. Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu và hồnh độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu. – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et. 8. Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị trên khoảng K1 ( ; )  hoặc K2 ( ; )  . y f x ax bx c2' ( ) 3 2    . Đặt t x a . Khi đĩ: y g t at a b t a b c2 2' ( ) 3 2(3 ) 3 2         9. Tìm điều kiện để hàm số cĩ hai cực trị x x1 2, thoả: a) x x1 2  b) x x1 2   c) x x1 2   y f x ax bx c2' ( ) 3 2    . Đặt t x a . Khi đĩ: y g t at a b t a b c2 2' ( ) 3 2(3 ) 3 2         Hàm số cĩ cực trị thuộc K1 ( ; )  Hàm số cĩ cực trị thuộc K2 ( ; )  Hàm số cĩ cực trị trên khoảng ( ; ) f x( ) 0  cĩ nghiệm trên ( ; ) . g t( ) 0  cĩ nghiệm t < 0 P S P 0 ' 0 0 0          Hàm số