Giáo án lớp 12 môn Toán - Phương trình mặt phẳng trong không gian và các bài toán liên quan

Buổi 3: Phương trình mặt phẳng trong không gian và các bài toán liên quan I. Tóm tắt lý thuyết : 1. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng : ?Định nghĩa : Hai vectơ gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thẳng chứa chúng đều song song hoặc nằm trên (P) . ?Chú ý : * Mỗi mặt phẳng có vô số cặp vectơ chỉ phương . * hai mặt phẳng phân biệt có cùng cặp vectơ chỉ phương thì song song với nhau . * Một mặt phẳng (P) được hoàn toàn xác định khi biết điểm M0 mà nó đi qua và cặp vectơ chỉ phương . 2. vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . ?Định nghĩa : * Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) ?Chú ý : - Nếu là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì vectơ với đều là vectơ pháp tuyến của (P) . ?Nếu là vectơ pháp tuyến và là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì : với 3. Trong không gian Oxyz Phương trình mặt phẳng có dạng : với ?Nếu (P) là mặt phẳng có Phương trình tổng quát : thì vectơ pháp tuyến của (P)là ?Mặt phẳng (P) đi qua điểm Mvà có vectơ pháp tuyến có Phương trình tổng quát : . ?Chú ý : Nếu D=0 mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ . Nếu A = 0 ; mặt phẳng (P) có dạng : By +Cz +D =0 sẽ chứa hoặc song song với ox. Nếu B = 0 ; mặt phẳng (P) có dạng : Ax +Cz +D =0 sẽ chứa hoặc song song với oy. Nếu C = 0 ; mặt phẳng (P) có dạng : By +Cz +D =0 sẽ chứa hoặc song song với ox. 4.Lập phương trình mặt phẳng ?. Phương pháp : Để lập phương trình của mặt phẳng (p) ta làm như sau : Xác định một điểm Xác định vectơ chỉ phương của (P) Khi đó mặt phẳng (P) có dạng : . ?CHú ý : 1. mặt phẳng (P) đi qua có dạng : Khi đó ta đi xác định : A;B;C 2. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến có dạng : Để xác định (P) ta cần đi xác định D 3. mặt phẳng (P) //(Q) : có dạng : Để xác định (P) ta cần đi xác định E 4. phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn là mặt phẳng (P) đi qua ba điểm : có dạng : II Ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P), biết : a. (P) đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vtpt b. (P) đi qua điểm B(2, -1, 1) và có cặp vtcp , Giải a. Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : b. Gọi là vtpt của mặt phẳng (P, ta có : Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2, 1, 4), B(-2, -3, 2). Giải Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB được cho bởi : (P) : Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết : a. (P) đi qua điểm A(1, 3, -2) và song song với (Q) có phương trình : (Q) : x + y + z + 1 = 0 b. (P) đi qua điểm B(3,-2, 3) và song song với các trục Ox và Oy. c. (P) đi qua điểm C(-2, 3, 1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P1), (P2), biết : (P1): 2x + y + 2z – 10 và (P2) : 3x + 2y + z + 8 = 0 Giảia. Ta có : Vì (P) // (Q) : x + y + z + 1 = 0, nên phương trình của (P) có dạng : (P) : x + y + z + E = 0 Vì A(1, 3, -2) (P), ta có : 1 + 3 + 2.(-2) + E = 0 E = 0 Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là : (P) : x + y + z = 0 b. Ta có :Vì (P) song song với các trục Ox và Oy (P) // (Oxy), có dạng : (P) : z + E = 0Vì B(3, -2, 3) (P), ta có 3 + E = 0 E = -3 Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là : (P) : z – 3 = 0 c. Gọi theo thứ tự là vtcp của các mặt phẳng (P), (P1), (P2), ta có : Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1), (P2) nên nó nhận làm cặp vtcp, từ đó : Mặt phẳng(P)được cho bởi :(P): Ví dụ 4 : Lập phương trình mặt phẳng (P), biết : a. (P) đi qua hai điểm A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và cùng phương với trục Ox b. (P) đi qua điểm C(4, 3, 1) và chứa trục Oy c. (P) đi qua hai điểm A(1, 0, 1); B(2, 1, 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có phương trình :(Q) : x + 2y + 3z + 3 = 0 GiảI a. Gọi là vtpt của mặt phẳng (P), ta có : chọn Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : b. Gọi là vtpt của mặt phẳng (P), ta có : chọn Mặt phẳng (P) được cho bởi :(P) : c. Gọi , theo thứ tự là vtpt của (P) và (Q), ta được : Ta có : Mặt phẳng (P) được cho bởi : (P) : Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm : a. A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) và C(0, 0, 6) b. A(1, 1, 0), B(1, 0, 0) và C(0, 1, 1) Giải a. Nhận xét rằng A, B, C theo thứ tự thuộc ba trục toạ độ, do đó: (ABC) : (ABC) : 6x + 3y + z – 6 = 0 III: Bài tập : Bài 1 : Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB với ĐS : Bài 2 : Lập phương trình mặt phẳng (P) biết rằng : mặt phẳng (P) đi qua điểm và song song với mp (Q) : mặt phẳng (P) đi qua điểm và song song với trục ox , oy mặt phẳng (P) đi qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng và ĐS : a. b. c. Vì mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1) ; (P2) nên nhận làm cặp vectơ chỉ phương . Do đó . Suy ra Bài3. Lập phương trình mặt phẳng (P), biết : a. (P) đi qua đi ểm A(2, 2, 3) và có vtpt b. (P) đi qua đi ểm B(4, 1, -1) và có cặp vtcp , Bài4.Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(5, 1, 4), B(1, -3, 2). Bài5.Lập phương trình mặt phẳng (P) biết : a. (P) đi qua đi ểm A(2, 3, -2) và song song với (Q) có phương trình : (Q) : 2x + 3y + z + 5 = 0 b. (P) đi qua đi ểm B(-3,-2, 4) và song song với các trục Ox và Oy. c. (P) đi qua đi ểm C(2, -3, 4) và vuông góc với hai mặt phẳng (P1), (P2), biết : (P1): x + 2y + 2z – 10 và (P2) : x + 4y + 2z + 8 = 0 Bài6.Lập phương trình mặt phẳng (P), biết : a. (P) đi qua hai đi ểm A(4, 1, -1), B(-3, 1, -1) và cùng phương với trục Ox b. (P) đi qua đi ểm C(-4, 5, 2) và chứa trục Oy c. (P) đi qua hai đi ểm A(-1, 0, 1); B(-2, 1, -2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có phương trình : (Q) : 4x + 2y + 3z + 3 = 0 5 : Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB với 6 : Lập phương trình mặt phẳng (P) biết rằng : mặt phẳng (P) đi qua đi ểm và song song với mp (Q) : mặt phẳng (P) đi qua đi ểm và song song với trục ox , oy mặt phẳng (P) đi qua đi ểm và vuông góc với hai mặt phẳng và 7: Cho điểm và đường thẳng (d) có phương trình : . Lập phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa (d) 8: Cho điểm và đường thẳng (d) có phương trình : a. b. lập phương trình đường thẳng đI qua M và d 9 : Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và song song mặt phẳng (Q) cho trước : Buổi 5 : phương trình Chùm mặt phẳng và ứng dụng Phương pháp : Cho hai mặt phẳng với với Để xét vị trí tương đối của ta sử dụng kết quả sau : Phương pháp : Cho hai mặt phẳng với với Thoả mãn khi đó : và phương trình đường thẳng (d) có dạng : ?Tập hợp tất cả các mặt phẳng cùng đi qua đường thẳng (d) gọi là một chùm mặt phẳng . ?Đường thẳng (d) được gọi là trục của chùm . ?Các mặt phẳng được gọi là mặt phẳng cơ sở của chùm . ? Phương trình chùm có dạng : với .(1) Khi đó mặt phẳng (P) có vtpt : Dạng 1 : chứng minh họ mặt phẳng (Pm) luôn đi đường thẳng cố định ta làm như sau : ?Biến đổi phương trình của họ (Pm) về dạng : ? Vậy họ (Pm) luôn đi qua một đường thẳng (d) cố định có phương trình : Dạng 2 : Chứng minh mặt phẳng (P) thuộc chùm mặt phẳng (Pm) cho trước . Giả sử : (P) : (Pm) : . Khi đó chúng ta xét hệ phương trình : nghiệm m Vậy (P)thuộc chùm mặt phẳng (Pm) ứng với m=m0 Ví dụ : Cho chùm mặt phẳng (Pm) có phương trình : a. Chứng minh rằng mặt phẳng thuộc chùm mặt phẳng (Pm) b. Xác định để mặt phẳng : thuộc chùm (Pm) ĐS : a.Vậy (P) thuộc chùm mặt phẳng (Pm) ứng với m=-2 b. phương trình chùm mặt phẳng (Pm) có dạng : . Do vậy chùm mặt phẳng (Pm) được tạo bởi trục (d) có phương trình : khi đó lấy 2 điểm phân biệt thuộc (d) Để (Q) thuộc chùm (Pm) ta được : Dạng 3 : Tìm điều kiện của tham số để mặt phẳng (P) thuộc chùm mặt phẳng (Pm) cho trước : ? Xác định phương trình của trục (d) của chùm mặt phẳng (Pm) ? Lấy 2 điểm A; B; thuộc (d) ? Để (P) thuộc (Pm) giá trị của tham số Ví dụ : Xác định n ; m để mặt phẳng (P) : thuộc chùm mặt phẳng : .ĐS : Dạng 4 : mặt phẳng của chùm đi qua một điểm M cho trước . Khi đó ta làm : ? Thay toạ độ điểm M vào (1) ta nhận được mối liên hệ giữa . Kí hiệu : (2). ? Thay (2) vào (1) ta nhận được phương trình mặt phẳng cần tìm . Ví dụ : Cho điểm và đường thẳng (d) có phương trình : . Lập phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa (d) HD : chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát : Gọi (P) là mặt phẳng điqua A và chứa (d) .ĐS : Ví dụ : Cho điểm và đường thẳng (d) có phương trình : a. b. c, ĐS : a. b. c. Dạng 5 : mặt phẳng của chùm song song với một mặt phẳng (Q) cho trước : ? Xác định vectơ pháp tuyến của (Q) ? mặt phẳng của chùm song song với mặt phẳng (Q) (3) ?Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và song song mặt phẳng (Q) cho trước : ĐS : Dạng 6 : mặt phẳng của chùm vuông góc với một mặt phẳng (Q) cho trước : ? Xác định vectơ pháp tuyến của (Q) ? mặt phẳng của chùm vuông góc với mặt phẳng (Q) (3) ?Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : a. và ĐS : b. và ĐS : HD :a .Gọi là vectơ pháp tuyến của (Q) Gọi (P) là mặt phẳng cần Xác định : ?(P) chứa (d) (P) thuộc chùm mặt phẳng Xác định bởi (d) có dạng : (1) . Khi đó : có vectơ pháp tuyến ?mặt phẳng (P) vuông góc (Q) (3) Thay (3) vào (1) ta được : Dạng 7 : Mặt phẳng của chùm song song với một đường thẳng cho trước : ? Xác định vectơ chỉ phương của ? mặt phẳng của chùm song song với một đường thẳng cho trước (3) ?Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và song song với đường thẳng : và ĐS : Dạng 8 : Mặt phẳng của chùm vuông góc với một đường thẳng cho trước : ? Xác định vectơ chỉ phương của ? mặt phẳng của chùm vuông góc với một đường thẳng cho trước : (3) ?Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với đường thẳng : a. và ĐS : Dạng 9 : mặt phẳng của chùm tạo với một mặt phẳng (Q) một góc bất kỳ : ? Xác định vectơ pháp tuyến của (Q) ?mặt phẳng của chùm tạo với mặt phẳng(P) một góc (3) ? Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm Ví dụ : Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phương trình và . Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc với ĐS : và Dạng 10 : mặt phẳng của chùm tạo với một đường thẳng một góc bất kỳ : ? Xác định vectơ chỉ phương của ?mặt phẳng của chùm tạo với một đường thẳng một góc (3) ? Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm Ví dụ : lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tạo với đường thẳng một góc bằng 600 . và ĐS : Dạng 11 : Khoảng cách từ điểm cho trước đến mặt phẳng của chùm bằng m. ta làm như sau : ?Ta có : (3) ? Thay (3) vào (1) ta được phương trình mặt phẳng cần tìm Phương trình đường thẳng 5.1. phương trình đường thẳng điqua một điểm và biết vectơ chỉ phương . 5.2. phương trình đường thẳng điqua 2 điểm 5.3. phương trình đường thẳng được coi là giao tuyến của 2 mặt phẳng Bài tập : Bài 1 : Lập phương trình chính tắc của đường thẳng qua và song song đường thẳng ĐS : Bài 2 : Lập phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng ĐS : Bài 3 : Lập phương trình đường thẳng (d) điqua điểm A(2;0;-3) và vuông góc với 2 đường thẳng và HD: Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của Ta có ; . Theo giả thiết . Vậy phương trình đường thẳng điqua và nhận làm vectơ chỉ phương . Bìa 4 : Lập phương trình đường thẳng điqua điểm song song mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d: . HD: Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của và vectơ pháp tuyến của (P) . Theo giả thiết : =(2;5;-3) Vậy phương trình đường thẳng điqua và nhận làm vtcp. Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng dưới dạng phương trình tổng quát thì ta thực hiện : và .. ĐS Bài 5 : Lập phương trình đường thẳng (d) điqua và vuông góc với 2 đường thẳng Đs : Dạng 1 : Lập phương trình đường thẳng (d) điqua M và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước ta làm như sau : Cách 1 : ?Xác định các vtcp của các đường thẳng ? Gọi là một vtcp của đường thẳng (d) . Ta có : ?Viết phương trình đường thẳng (d) điqua M và nhận làm vtcp . Cách 2 : ? lập phương trình mặt phẳng (P1) điqua M và ? lập phương trình mặt phẳng (P2) điqua M và ? Khi đó đường thẳng d là giao tuyến của Chú ý : - Khi lập phương trình chính tắc hoặc tham số của đường thẳng d ta sử dụng cách 1 .còn khi viết phương trình tổng quát ta dùng cách 2 Dạng 2 : Lập phương trình đường thẳng (d) điqua M và vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng cho trước ta làm như sau : Cách 1 : ? lập phương trình mặt phẳng (P1) điqua M và ? lập phương trình mặt phẳng (P2) điqua M và ? Khi đó đường thẳng d là giao tuyến của với và d1 không song song với d2 Cách 2 : ? lập phương trình mặt phẳng (P) điqua M và ? Xác định Nếu không tồn tại giao điểm thì kết luận vô nghiệm . Nếu có vô số giao điểm thì kết luận có vô số đường thẳng trong (P) điqua M cắt d2 Nếu có nghiệm duy nhất ta thực hiện bước 3 . ? Viết phương trình đường thẳng d điqua M và nhận làm vtcp . Cách 3 : Dùng trong trường hợp là phương trình tham số . ? Giả sử .Khi đó toạ độ điểm N thoả mãn phương trình tham số của . Từ đó suy ra . ? vì suy ra toạ độ điểm N. ? lập phương trình đường thẳng d điqua N và nhận làm vtcp . Chú ý : - Khi lập phương trình chính tắc hoặc tham số của đường thẳng d ta sử dụng cách 2 hoặ 3 .còn khi viết phương trình tổng quát ta dùng cách 1 Dạng 3 : lập phương trình đường thẳng điqua M và cắt cả 2 đường thẳng Cách 1 : ? Lập phương trình mặt phẳng điqua M và ? Lập phương trình mặt phẳng điqua M và Khi đó với (P1) không song song hoặc trùng (P2) và d không song song Cách 2 : ? Lập phương trình mặt phẳng điqua M và ? Xác định Nếu không tồn tại giao điểm thì kết luận vô nghiệm . Nếu có vô số giao điểm thì kết luận có vô số đường thẳng trong (P) điqua M cắt d2 Nếu có nghiệm duy nhất ta thực hiện bước 3 . ? Viết phương trình đường thẳng d điqua M và nhận làm vtcp . Chú ý : - Khi lập phương trình chính tắc hoặc tham số của đường thẳng d ta sử dụng cách 2.còn khi viết phương trình tổng quát ta dùng cách 1 Dạng 4 : lập phương trình đường thẳng d điqua M vuông góc và nằm trong mặt phẳng ta làm như sau : ? Lập phương trình mặt phẳng điqua M và vuông góc mặt phẳng điqua M và nhận làm vtpt . ?Khi đó đường thẳng Ví dụ1 : Cho mặt phẳng và đường thẳng d có phương trình : Và a. Xác định ĐS : b. Lập phương trình đường thẳng điqua M vuông góc với d và nằm trong ĐS : phương trình đường thẳng Ví dụ2 : Cho mặt phẳng và đường thẳng d có phương trình : Và a. Xác định ĐS : b. Lập phương trình đường thẳng điqua M vuông góc với d và nằm trong ĐS : b. Ví dụ 3 : Cho mặt phẳng và đường thẳng d có phương trình : Và a. Xác định b. Lập phương trình đường thẳng điqua M vuông góc với d và nằm trong Chú ý : Chứng minh 2 đường thẳng chéo nhau . Dạng 5 : Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều 2 đường thẳng chéo nhau . ?Với d1 ; d2 ta xác định được VTCP và điểm điqua ; Xác định toạ độ trung điểm ?phương trình mặt phẳng (P) được Xác định bởi điqua N và nhận làm vtpt Ví dụ 1 : Cho 2 đường thẳng : Chứng minh 2 đường thẳng chéo nhau . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều d1 ; d2 Dạng 6 : Lập phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau . ?Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau , Khi đó vtcp của d thoã mãn : ?Gọi (P1) là mặt phẳng chứa d và d1 .Khi đó (P1) điqua và nhận ?Gọi (P2) là mặt phẳng chứa d và d2 .Khi đó (P2) điqua và nhận ?phương trình đường thẳng (d) chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng Chú ý : Lập phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhauvà vuông góc nhau . ? Dựng mặt phẳng (P1) thoã mãn : ? Dựng mặt phẳng (P1) thoã mãn : ?phương trình đường thẳng (d) chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng Ví dụ : Cho 2 đường thẳng a.Chứng minh rằng 2 đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau . b. lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều ĐS: Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của ĐS Ví dụ2 : Cho 2 đường thẳng a.Chứng minh rằng 2 đường thẳng chéo nhau b. Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của ĐS : Dạng 7 : Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm trong (P) phương pháp : ?Lập phương trình mặt phẳng (Q) thoã mãn : ?đường thẳng (d1) chính là giao tuyến của (P) và (Q) . Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng qua A vuông góc với và nằm trong mặt phẳng với và HD : Viết phương trình mặt phẳng (Q) điqua A và nhận Và ĐS : Dạng 6 :Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp : Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ta làm như sau : ? Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P) ; ?Biện luận số nghiệm của hệ phương trình ; Chú ý : Chứng minh rằng đường thẳng (d) // (P) ta làm như sau : ? lấy điểm rồi chỉ ra ? suy ra (d) //(P) Chứng minh rằng đường thẳng (d) (P) ta làm như sau : ? lấy điểm rồi chỉ ra ? suy ra (d) (P) Biện luận theo tham số vị trí tương đối của (d) và mặt phẳng (P) ta làm như sau : ? Chuyển phương trình đường thẳng (d) về dạng tham số ? Thay (d) vào (P) , rồi biện luận theo t Ví dụ : Biện luận theo m vị trí tương đối của (P) và (d) và Trong TH bài toán yêu cầu vị trí tương đối cụ thể của đường thẳng và mặt phẳng thì ta sử dụng vtcp của đường thẳng và vtpt của mặt phẳng ? Cho đường thẳng có vtcp và điqua ; có vtpt 5.1 5.2 5.3 Dạng 7 :Vị trí tương đối của hai đường thẳng Phương pháp : Cho 2 đường thẳng và (d2) có phương trình : có vtcp và điqua có vtcp và điqua Để xét vị trí tương đối của (d1) và ta làm như sau : ? (d1) và (d2) đồng phẳng khi và chỉ khi * và * * ? chéo nhau Ví dụ : Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau : a. ĐS : b. ĐS : c. ĐS : cắt Bài tập : Bài 1 : Lập phương trình tham số , chính tắc , tổng quát của đường thẳng (d) điqua điểm và vuông góc với 2 đường thẳng : a. ; b. ; c. ; Bài 2 : Lập phương trình tham số , chính tắc , tổng quát của đường thẳng (d) điqua điểm và vuông góc với đường thẳng và song song với mặt phẳng (P) : a. và ; b. và ; Bài 3 : Lập phương trình đường thẳng (d) điqua điểm và cắt đường thẳng và song song với mặt phẳng (P) : Bài 4 : Lập phương trình tham số , chính tắc , tổng quát của đường thẳng (d) điqua điểm và cắt 2 đường thẳng biết rằng : a. và ; b. và ; Bài 4 : Lập phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả 2 đường thẳng biết rằng : a. b. Bài 5 : Cho 2 đường thẳng có phương trình : CMR cắt nhau . Tìm toạ đọ giao điểm ĐS : Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa ĐS 19x+2y-11z+123=0 Bài 6 : Cho 2 đường thẳng có phương trình : CMR cắt nhau . Tìm toạ đọ giao điểm ĐS : Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa ĐS Bài 7 : Cho 2 đường thẳng có phương trình : a.CMR chéo nhau . b. viết phương trình đường vuông góc chung của c.Viết phương trình mặt phẳng cách đều . Bài 8 : Lập phương trình halogenình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) . a. b. Bài 9 : cho mặt phẳng (P) a, Viết phương trình hình chiếu vuông góc của lân mặt phẳng (P) Tìm toạ độ giao điểm của b. Viết phương trình mặt phẳng (P1) chứa và vuông góc (P) Buổi Phương trình mặt cầu. Mặt cầu đi qua các điểm I. Phương pháp Dạng 1 Gọi (S) là mặt cầu thoả mãn điều kiện đầu bài. Chúng ta lựa chọn phương trình dạng tổng quát hoặc chính tắc. Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 hay: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by- 2cz + d = 0 Mặt cầu tâm O(0; 0; 0), bán kính R có phương trình: x2 + y2 + z2 = R2 Mặt cầu đi qua các điểm cho trướnc: Sử dụng công thức tính khoảng cách hai điểm để lập phương trình hoặc hệ phương trình. Giải phương trình hay hệ phương trình ấy để tìm tâm, rồi quy ra bán kính của mặt cầu cần tìm. Ví dụ: Viết phương tình mặt cầu nếu biết: a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính R = b) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3). c) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3), B(2; 1; 5). d) Qua bốn điểm A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2). Dạng 2. Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để thiết lập phương trình, từ đó suy ra tâm và bán kính của mặt cầu can tìm. Ví dụ: a) Viết phwong trình mặt cầu tiếp xúc nếu biết tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc mặt phẳng 2x – y – 3z + 1 = 0. b) Viết phương trình mặt cầu bán kính R = 3 và tếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3). Dạng 3 . Phương trình x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 a) Xét phương trình: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 * a2 + b2 + c2 – d < 0 : * a2 + b2+ c2 – d = 0 : Phương trình của điểmI(a; b; c) * a2 + b2+ c2 – d > 0 : Phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R = b) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng lớn hơn bán kính: Mặt cầu không cắt mặt phẳng. Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng bằng bán kính: Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng Khoảng cách từ tâm đế mặt phẳng nhỏ hơn bán kính: Mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn. Ví dụ: Phương trình bào sau đây là phương trình của một mặt cầu. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu trong trường hợp đó: a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0; b) x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – z+ 10 = 0; c) 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x- 3y + 15z- 2 = 0; d) x2 + y2 + z2 + 4x – 2y – 6z + 14 = 0. Dạng4 . Mặt phẳng tiếp xúc nặt cầu Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến (P) bằng bán kính. Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm thì là một pháp vectơ của (P). Ví dụ: a) Với giá trị nào của a thì mặt phẳng x + y + z + a = 0 tiếp xúc với mặt cầu x2 + y2 + z2 = 12? Hãy xác định tiếp điểm. b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với bmặt cầu 9x – 3)2 + (y – 1)2 + (z + 2)2 = 24 tại điểm M(-1; 3; 0) Dạng 5. Đường tròn trong không gian Đương tròn trong không gian là giao điểm của một mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) Phương trình của đường tròn có dạng: Tâm H của đường tòn là hình chiếu của tâm I của mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P) Bán kính đường tròn bằng ; trong đó R là bán kính mặt cầu (S); l là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Ví dụ 1: Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn cho trong hệ trục toạ độ Decartes vuông góc Oxyz trong không gian Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho đường tròn (C) xác định bởi hệ phương trình: a) Bài 2. Hình tính Parabol Ví dụ 2.1: Cho Parabol y2 = 4x. Một đường thẳg bất kỳ đi qua tiêu điểm của parabol đã cho và cắt parabol đó tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của parabol là một đại lượng không đổi Giải a) ta có tham số tiêu điểm của parabol đã cho là p = 2 và tiêu điểm là F(1; 0) Đường thẳng qua F có phương tình dạng: y = kx – k Toạ độ giao điểm của parabol và đường thẳng trên là nghiệm của hệ phương trình Suy ra phương trình tung độ giao điểm của chúng la: