Giáo án lớp 12 môn Toán - Tiếp tuyến đường tròn và các bài toán liên quan

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 Kỹ năng: TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I- LÝ THUYẾT- PHƯƠNG PHÁP: 1) Tiếp tuyến của ( )C tại ( )0 0 0;M x y ( 0M : tiếp điểm) Tiếp tuyến của ( )C tại 0 0 0( ; )M x y có phương trình: ( ) ( )0 0 0 0 0 xx yy a x x b y y c+ − + − + + = (Công thức phân đôi toạ độ) Nhận xét: ( ) ( )0 0 0 0 0 0∆ ; ;Râ rµng tiÕp tuyÕn ®i qua vµ cã 1 vect¬ ph¸p M x y IM x a y b


 = − − ( )( ) ( )( )0 0 0 0∆ : 0 x a x x y b y y− − + − − = 2) Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước: Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng ∆ : 0+ + =ax by c là tiếp tuyến của ( ) ( ),∆dC I R⇔ = Lưu ý: Để tiện trong việc tìm phương trình tiếp tuyến của ( )C , chúng ta không nên xét phương trình đường thẳng dạng = +y kx m (tồn tại hệ số góc k ). Vì như thế dẫn đến sót trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng =x C (không có hệ số góc). Nhắc: = + = * §−êng th¼ng cã hÖ sè gãc . * §−êng th¼ng (vu«ng gãc ) kh«ng cã hÖ sè gãc. y kx m k x C Ox ( )0 0 0;Do ®ã, trong qu¸ tr×nh viÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) tõ 1 ®iÓm (ngoµi (C)) ta cã thÓ thùc hiÖn b»ng 2 p.ph¸p: M x y * Ph−¬ng ph¸p 1: ( )0 0 0; :Gäi ®−êng th¼ng bÊt k× qua vµ cã hÖ sè gãc M x y k ( )0 0 y y k x x− = − 0 . , = ¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, gi¶i ®−îc * NÕu kÕt qu¶ 2 hÖ sè gãc (t−¬ng øng 2 tiÕp tuyÕn), bµi to¸n gi¶i quyÕt xong. * NÕu gi¶i ®−îc 1 hÖ sè gãc th× xÐt ®−êng th¼ng (®©y lµ tiÕp tu k k k x x yÕn thø hai). * Ph−¬ng ph¸p 2: ( ) ( ) ( )2 2 0 0 0; 0 ∆ ;Gäi lµ 1 v.t ph¸p cña ®.th¼ng ®i qua n a b a b M x y  + > ( ) ( )0 0 0 a x x b y y− + − = , .¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta ®−îc 1 ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai theo a b Nhận xét: Ph−¬ng ph¸p 2 tá ra hiÖu qu¶ vµ khoa häc h¬n. 3. Vị trí tương đối của hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: Cho hai đường tròn ( )1C có tâm 1I , bán kính 1R và ( )2C có tâm 2I , bán kính 2R . Trường hợp Kết luận Số tiếp tuyến chung ( )1C không cắt ( )2C (ngoài nhau) 4 Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 R 2R 1 I 2I 1 1 2 1 2+ < R R I I I 1 I 2 R 1 R 2 1 2 1 2+ = R R I I ( )1C tiếp xúc ngoài với ( )2C 3 I 1 I 2 R 1 R 2 1 2 1 2 1 2+ > > − R R I I R R ( )1C cắt ( )2C tại hai điểm phân biệt 2 I1 I2R1 R2 1 2 1 2− = R R I I ( )1C tiếp xúc trong với ( )2C 1 II- BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài tập: Cho đường tròn (C): ( ) ( )2 22 1 25− + − =x y . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau: a) Tại điểm ( )5; 3M − b) Biết tiếp tuyến song song ∆ : 5 12 2 0− + = x y c) Biết tiếp tuyến vuông góc ∆ : 4 2 0+ + = 3x y Bài giải: Đường trong (C) có tâm ( )2;1I , bán kính 5=R . a) Tiếp tuyến tại ( )5; 3M − nhận ( )3; 4= −IM


 làm vectơ pháp tuyến: Tiếp tuyến có phương trình: ( ) ( )3 5 4 3 0 3 4 27 0.− − + = ⇔ − − =x y x y b) Do tiếp tuyến song song ∆ : 5 12 2 0− + = x y nên tiếp tuyến có dạng : 5 12 0− + = d x y m . Do d tiếp xúc với (C) nên ( ) 672 , 5 2 65 6313 =−  = ⇔ = ⇔ − = ⇔  = − d mm I d R m m . Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm 1 : 5 12 63 0− − = d x y , 2 : 5 12 67 0− + = d x y . Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 c) Do tiếp tuyến vuông góc ∆ : 5 12 2 0− + = x y nên tiếp tuyến có dạng : 12 5 0+ + = d x y n . Do d tiếp xúc với (C) nên ( ) 8217 , 5 17 65 4813 = −+  = ⇔ = ⇔ + = ⇔  = d nn I d R n n . Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm 1 : 12 5 82 0+ − = d x y , 2 : 12 5 48 0+ + = d x y . Bài tập vận dụng: Bài tập: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 2 2 4 2 0+ − − =x y x y tại giao điểm của (C) và đường thẳng ∆ : 0+ = x y . Bài tập: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 2 2 4 2 0+ − − =x y x y xuất phát từ ( )3; 2A − . Bài giải: C) có tâm ( )2;1I và 5=R . Cách 1: Gọi ( ) ( )2 2; 0= + > n a b a b là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm: ( ) ( )∆ : 3 2 0 3 2 0 a x b y ax by a b− + + = ⇔ + − + = . ∆ là tiếp tuyến của (C) ( ) ( )2 2 2 2 2 3 2 ;∆ 5 3 5d a b a b I R b a a b a b + − + ⇔ = ⇔ = ⇔ − = + + ( )2 2 2 2 2 2 2 2 9 6 5 2 3 2 0 1 1 2 2  = ⇔ = ⇔ − + = + ⇔ − − = ⇔   = − ⇔ = −  b b a ab ab a a b b ab a b b a a TH 1: 2=b a . Lúc đó ( ) ( ) ( )∆ : 3 2 2 0 3 2 2 0 2 1 0a x a y x y x y− + + = ⇔ − + + = ⇔ + + = (do 0≠a ) TH 2: 1 2 = −b a Lúc đó ( ) ( ) ( )1 1∆ : 3 2 0 3 2 0 2 8 0 2 2 a x a y x y x y− − + = ⇔ − − + = ⇔ − − = (do 0≠a ) Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A. 1∆ : 2 1 0+ + = x y , 2∆ : 2 8 0− − = x y . Cách 2: Xác định tọa độ các tiếp điểm. Gọi ( )0 0 0;M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C). Suy ra: 2 2 0 0 0 00 0 0 0 0 4 2 0( ) . 0  + − − =∈  ⇔  ⊥ =  x y x yM C M A M I M A M I







 Từ đây, giải ra hai tiếp điểm Bài tập: Cho đường tròn (C): ( ) ( )2 21 2 9+ + − =x y và điểm ( )2; 1M − . a) Chứng tỏ qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến 1∆ và 2∆ với (C). Hãy viết phương trình của 1∆ và 2∆ . b) Gọi 1M và 2M lần lượt là hai tiếp điểm của 1∆ và 2∆ với (C), hãy viết phương trình 1 2M M . Bài giải: C) có tâm ( )1;2I − và 3=R . a) Ta có ( )3; 3 3 2 3IM IM R


 − ⇒ = > = nên M nằm ngoài (C). Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C). Cách 1: Gọi ( ) ( )2 2; 0= + > n a b a b là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên) Cách 2: Gọi ( )0 0 0;M x y là tiếp điểm. Lúc đó, tiếp tuyến của (C) tại 0M có dạng ∆ : ( )( ) ( )( )0 01 1 2 2 9+ + + − − =x x y y . Mặt khác do ∆ qua ( )2; 1M − nên: ( )( ) ( )( )0 0 0 02 1 1 1 2 2 9 0+ + + − − − = ⇔ − =x y x y (1) Do ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0; ( ) 1 2 9∈ ⇔ + + − = (2)M x y C x y Từ (1) và (2), giải hệ: ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 0 00 0 0 1, 1 2, 21 2 9 − = = − = − ⇔  = − = −+ + − =  x y x y x yx y Suy ra hai tiếp điểm ( ) ( )1 21; 1 , 2; 2 M M− − − − TH 1: Tiếp tuyến 1∆ qua ( )2; 1M − và ( )1 1; 1M − − có phương trình: 1= −y . TH 2: Tiếp tuyến 2∆ qua ( )2; 1M − và ( )2 2; 2M − − có phương trình: 2 1 4 6 0 2 2 2 1 − + = ⇔ − − = − − − + x y x y . b) Theo trên, hai tiếp điểm là ( ) ( )1 21; 1 , 2; 2 M M− − − − . Cách 1: Phương trình 1 2 2 2 : 0 1 2 1 2 + + = ⇔ − = − + − + x y M M x y . Cách 2: (Không cần xác định tọa độ 1 2, M M ) Gọi ( ) ( )1 1 1 2 2 2; , ; M x y M x y . Tiếp tuyến của (C) tại 1M : ( )( ) ( )( )1 11 1 2 2 9+ + + − − =x x y y . Mặt khác do ∆ qua ( )2; 1M − nên: ( )( ) ( )( )1 1 1 12 1 1 1 2 2 9 0+ + + − − − = ⇔ − =x y x y (3) Tương tự, tiếp tuyến của (C) tại 1M : ( )( ) ( )( )2 21 1 2 2 9+ + + − − =x x y y . Mặt khác do ∆ qua ( )2; 1M − nên: ( )( ) ( )( )2 2 2 22 1 1 1 2 2 9 0+ + + − − − = ⇔ − =x y x y (4) Từ (3), (4) dễ thấy 1 2, ∆ : 0∈ − = M M x y hay đường thẳng 1 2 : 0− = M M x y . Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn: 2 2 1( ) : 2 3 0+ − − =C x y x và 2 2 2( ) : 8 8 28 0+ − − + =C x y x y Bài giải: Ta có ( )1C có ( )1 1 1;0 2   = T©m B¸n kÝnh I R và ( )2C có ( )2 2 4;4 2   = T©m B¸n kÝnh I R Ta có: ( )1 2 1 2 1 23;4 5 4I I I I R R


 = ⇒ = > = + . Vậy ( )1C và ( )1C ngoài nhau nên tồn tại 4 tiếp tuyến chung cần tìm. Gọi ( )2 2∆ : 0 0+ + = + > ax by c a b là tiếp tuyến chung của ( )1C và ( )2C . Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 5 Lúc đó, theo giả thiết: ( ) ( ) 2 22 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2;∆ ;∆ 4 4 4 4 22 (1)d d (2) a c a c a bI R a b I R a b c a b c a b a b  + =  + = += +   ⇔ ⇔   = + + + + = +  = + Từ (1) và (2) suy ra: ( ) 3 4 04 4 4 4 5 4 4 4 2 + =+ = + + + = + + ⇔ ⇔ − − + = − + + =  a ba c a b c a c a b c a b a c a b c c TH 1: 4 3 4 0 3 + = ⇔ = −a b a b . Lúc đó, (1) trở thành: 2 2 14 4 16 4 10 2 3 3 9 3 3 2  =− = + ⇔ − = ⇔  = − c bb c b b b c b c b * Với 14 4 , 3 3 = = − c b a b tiếp tuyến 1 4 14 ∆ : 0 4 3 14 0 3 3 − + + = ⇔ − + + = bx by b x y . * Với 4 2 , 3 = − = − c b a b tiếp tuyến 2 4 ∆ : 2 0 4 3 6 0 3 − + − = ⇔ − + − = bx by b x y . TH 2: 5 4 2 − − = a b c . Lúc đó, (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 2 3 4 4 3 4 4 2 0 2 9 24 16 16 16 7 24 0 24 74 7 7 − − + = + ⇔ + = + ⇔ + = + = ⇒ = − ⇔ + + = + ⇔ − = ⇔  = ⇒ = −  a b a a b a b a b a b a b a c b a ab b a b a a b a b c b * Với 2 , 0= − = c b a , tiếp tuyến 3∆ : 2 0 2 0− = ⇔ − = by b y . * Với 74 24 , 7 7 = − = c b a b , tiếp tuyến 4 24 74 ∆ : 0 24 7 74 0 7 7 + + = ⇔ + − = bx by b x y . Kết luận: Vậy tồn tại 4 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: 1∆ : 4 3 14 0− + + = x y , 2∆ : 4 3 6 0− + − = x y , 3∆ : 2 0− = y , 4∆ : 24 7 74 0+ − = x y Bài tập vận dụng: Bài tập: Cho đường tròn (C): 2 2 6 2 6 0+ − + + =x y x y và điểm ( )1;3A . a) Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C). b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A. Bài tập: Lập phương trình tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau: a) 2 21( ) : 6 5 0+ − + =C x y x và 2 2 2( ) : 12 6 44 0+ − − + =C x y x y . b) 2 21( ) : 2 2 3 0+ + − − =C x y x y và 2 2 2( ) : 4 4 16 20 21 0+ − − + =C x y x y c) 2 21( ) : 1+ =C x y và 2 2 2( ) : 4 5 0+ − − =C x y y Bài tập: (Đề dự bị 2002) Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 Cho hai đường tròn: ( ) ( )2 2 2 21 2: 10 0, : 4 2 20 0+ − = + + − − = C x y x C x y x y a) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của ( ) ( )1 2, C C và có tâm nằm trên đường thẳng 6 6 0+ − =x y . b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( ) ( )1 2, C C . Bài tập: (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( ) ( )2 2 2 21 2: 4 5 0, : 6 8 16 0+ − − = + − + + = C x y y C x y x y Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( ) ( )1 2, C C . Bài tập: Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( ) 2 2: 2 3 4 4 0+ − + + =C x y x y và tạo với trục tung một góc 060 . Bài tập: Cho đường tròn (C): 2 2 12 4 36 0+ − − + =x y x y . Viết phương trình đường tròn (C’) tiếp xúc với hai trục tọa độ, đồng thời tiếp xúc ngoài với (C). Bài tập: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 2 2( ) : 25+ = C x y , biết rằng tiếp tuyến đó hợp với đường thẳng 2∆ : 2 1 0 cos 5 + − = = mét gãc mµ x y α α . Bài giải: (C) có tâm ( )0;0O và 5=R . Gọi ( ) ( )2 2; 0= + > dn a b a b  là một vectơ pháp của đường thẳng d cần tìm. Đường thẳng ∆ có một vectơ pháp là ( )∆ 1;2n  = . Do góc giữa đường thẳng d và ∆ là α với 2 5 =cosα nên suy ra: ∆ 2 2 2 2 ∆ . 2 2 2 2 . 55 + = ⇔ = ⇔ + = + + cos d d n n a b α a b a b n n a b     ( ) ( )2 2 2 2 0 4 4 4 4 3 0 3 4 a a ab b a b a b a b a = ⇔ + + = + ⇔ − = ⇔  =  TH 1: ( ) ( )0 0; 0 da n b b  = ⇒ = ≠ , chọn ( )0;1 : 0dn d y m  = ⇒ + = . Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: ( ) 5 , 5 51 d mm O d R m = = ⇔ = ⇔  = − Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến 1 2: 5 0, : 5 0+ = − = d y d y . TH 2: ( )3 3; 0 4 4  = ⇒ = ≠    db a n a a a  , chọn ( )4;3 : 4 3 0dn d x y n  = ⇒ + + = . Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên ( ) 25 , 5 255 d nn O d R n = = ⇔ = ⇔  = − Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến 3 4: 4 3 25 0, : 4 3 25 0+ + = + − = d x y d x y . Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 Bài tập: (Khối A- 2013) Cho đường thẳng ∆ : 0.− =x y Đường tròn (C) có bán kính 10=R cắt ∆ tại A và B sao cho 4 2.=AB Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C). Bài giải: Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến tại A và B của (C), H là giao điểm của AB và IM. Khi đó ( )0;M t , với 0≥t ; H là trung điểm của AB. Suy ra 2 2. 2 = = AB AH 2 2 2 1 1 1 2 10.= + ⇒ =AM AH AM AI Do đó 2 2 4 2.= − =MH AM AH Mà ( ),∆ 2 = =d t MH M , nên 8=t . Do đó ( )0;8 .M Đường thẳng IM qua M và vuông góc với ∆ nên có phương trình 8 0+ − =x y . Do đó, tọa độ điểm H thỏa mãn hệ: ( ) 0 4;4 . 8 0 − = ⇒ + − = x y H x y Ta có 2 2 1 2 4 = − = =IH IA AH HM , nên ( )1 5;3 . 4 = ⇒IH HM I





 Vậy phương trình đường tròn (C): ( ) ( )2 25 3 10.− + − =x y Bài toán: XÁC ĐỊNH ĐIỂM MÀ TỪ ĐÓ KẺ ĐƯỢC TIẾP TUYẾN VÀ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài tập: (Đề dự bị 2002) Cho đường thẳng : 1 0− + =d x y và ( ) 2 2: 2 4 0+ + − =C x y x y . Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( )C tại A và B sao cho góc AMB bằng 060 . Bài giải: Cách 1: Bước 1: Gọi ( ); 1+ ∈M t t d . Xét tam giác IAM vuông tại A, có góc IMA bằng 030 : Ta có: 0 sin 2 sin sin 30 = ⇔ = = = IA IA R IMA IM R IM IMA Bước 2: Giải phương trình 2 ...= ⇒IM R M


 Cách 2: Tiến hành tương tự như trên, Xét tam giác IAM vuông tại A, có góc IMA bằng 030 : Ta có: 0 sin 2 sin sin 30 = ⇔ = = = IA IA R IMA IM R IM IMA ( ) ( ) ( ) ( )2 2/ ,2 : 1 2 20⇔ ∈ ≡ + + − =M C I R x y 300 B A M I d Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 Suy ra, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) ( )2 2/ 1 2 20 : 1 0   + + − =    − + =  C x y x yd . Từ đây giải ra M. Nhận xét: Cách giải 1 tương đối dễ hình dung, nhưng cách giải 2 tốt hơn vì mang tính chất hình học và giải tích, để các bài toán biện luận số giao điểm sau này. Mở rộng: Cho đường thẳng : 1 0− + =d x y và đường tròn ( ) 2 2: 2 4 0+ + − =C x y x y . Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( )C tại A và B sao cho góc AMB bằng 045 . Kỹ thuật xử lí: Gọi 045=α . Xét tam giác IAM vuông tại A, có góc IMA bằng 2 α : Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin sin 2 2 2 2 1 cos − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − α IA α IA α IA IM IM IM IA IM α Từ đây giải ra M. Bài tập: (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( ) 2 2 3: 2 + =C x y và parabol 2( ) : =P y x . Tìm trên (P) điểm M sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C) và hai tiếp tuyến này tạo với nhau một góc 600. Bài giải: Cách 1: Gọi ( )20 0; ( )∈M x x P và A, B là hai tiếp điểm. Dễ thấy yêu cầu bài toán khi và chỉ khi  060 2 6.= ⇔ = =AMB OM OA Từ đó ta tìm được { }0 2; 2∈ −x . Vậy có hai điểm thỏa y.c.b.t là ( ) ( )1 22; 2 , 2; 2− M M . Cách 2: Tương tự cũng tính được  060 2 6.= ⇔ = =AMB OM OA Suy ra ( ) ( )/ ; 6∈ ≡M C O vậy điểm M là giao điểm của hai đường: ( )/ 2 2: 6+ =C x y và 2( ) : =P y x . Bài tập: (ĐH D-2007) Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 9− + + =C x y và : 3 4 0− + =d x y m . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ P có thể kẻ được hai tiếp tuyên PA, PB (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. M 300 B A M I d α 2 I B A M Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 Bài giải: ( )1; 2 3 ∆ 2 2 6 ' 6. (C) cã t©m vµ b¸n kÝnh . Ta cã PAB ®Òu nªn P thuéc ®−êng trßn (C') t©m I b¸n kÝnh I R IP IA R R − = = = = ⇔ = Nhận xét: Điểm P là điểm chung của (C’) và d. ( ) 19 , 6 41 Trªn d cã duy nhÊt mét ®iÓm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n khi vµ chØ khi d tiÕp xóc víi (C') t¹i P d m I d m = ⇔ = ⇔  = − Bài tập: (ĐH A-2011) Cho đường thẳng : 2 0∆ + + =x y và (C): 2 2 4 2 0+ − − =x y x y . Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆ . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10. Bài giải: Đường tròn (C) có tâm ( )2;1I và 5=R . Tứ giác MAIB có   090MAI MBI= = và . 10= ⇒ = =MAIBMA MB S IA AM 10 2 5 5 ⇒ = = =MA MB và 2 2 5= + =IM IA MA Do ( ): 2 0 ; 2∈∆ + + = ⇒ − −M x y M t t Lúc đó: ( ) ( )2 22 2 25 2 3 25 3 = = ⇔ − + − − = ⇔  = − t IM t t t Kết luận: Có hai điểm M thỏa y.c.b.t là ( )2; 4−M và ( )3;1−M . Bài tập: Cho đường tròn ( ) ( )2 2 27( ) : 3 2 2 − + + =C x y có tâm I và d: 5 0.+ + =x y Từ điểm M thuộc d, kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M sao cho diện tích của tam giác IAB bằng 27 3 . 8 Bài giải: Đường tròn (C) có tâm ( )3; 2I − và có bán kính 3 3 . 2 =R Ta có ( ); 5 .M d M m m∈ ⇒ − − Ta có:      0 2 2 0 601 1 2 3 . . .sin . .sin sin 2 2 2 120 .  = = = ⇒ = = ⇒   = S IAB IAB AIB S IA IB AIB R AIB AIB R AIB Trường hợp 1:    0 060 30 3 2= ⇒ = ⇒ = = cos IA AIB AIM IM AIM ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 5 2 18 2 18 18 0 0; 5 . m m m m M ⇔ − + − − + = ⇔ + = ⇔ = ⇒ − Trường hợp 2:    0 0120 60 3 6= ⇒ = ⇒ = = cos IA AIB AIM IM AIM Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 ( ) ( ) 2 3 2; 3 2 5 2 18 54 3 2 3 2;3 2 5 M m m M  − − ⇔ + = ⇔ = ± ⇒  − − Vậy ( ) ( )0; 5 ; 3 2; 3 2 5 M M− − − hoặc ( )3 2;3 2 5 .M − − Bài toán: PHƯƠNG TRÌNH QUA CÁC TIẾP ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài toán cơ sở: Bài tập: (ĐH B-2006) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 6 6 0+ − − + =C x y x y và điểm ( )3;1−M . Gọi 1 2, T T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( )C . Viết phương trình 1 2TT . Gợi ý: ( ) ( )0 0 0 0 1;3 2, 2 5 ( ) ( ) ; . 0 3; §−êng trßn (C) cã t©m vµ b¸n kÝnh nªn M n»m ngoµi (C). NÕu lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn kÎ tõ M ®Õn (C) th×: Ta cã: I R MI R T C T C T x y MT IT MT IT MT x y












 = = > ∈ ∈   ⇒  ⊥ =   = + −( ) ( )0 0 2 2 0 0 0 0 0 02 2 0 0 0 0 1 2 1 , 1; 3 . 2 6 6 0 2 3 0 2 4 0 Do ®ã, ta cã: (1) VËy, täa ®é c¸c tiÕp ®iÓm vµ cña c¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ M ®Õn (C) ®Òu tháa m·n ®¼ng thøc (1). Do IT x y x y x y x y x y x y T T

 = − −  + − − + = ⇒ + − = + + − = 1 2 : 2 3 0.®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng TT x y+ − = Bài tập: (ĐHGTVT) Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 4 4 0+ − − − =C x y x y và điểm ( )2;2A . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm A . Giả sử hai tiếp điểm là M, N, tính AMNS . Gợi ý: Cách 1: Viết phương trình tiếp tuyến 1∆ , ∆2 của (C) qua A như trên. Xác định tọa độ M, N tương ứng là các tiếp điểm của 1∆ , ∆2 và (C). Tính AMNS . Cách 2: Dùng công thức phân đôi tọa độ, suy ra phương trình MN là: 4 0+ =x . Xét ( ) 22∆ : , dIMH MH IM I MN= −    ( ) 22 , 2dR I MN MN MH= − ⇒ =   Từ đó suy ra: ( )1 , . 2 dAMNS A MN MN= ∆2 ∆1 I A N M Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 11 Bài tập: Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 3 1 9− + − =C x y và đường thẳng ( ) :d 10 0+ − =x y . Từ điểm M trên ( )d kẻ hai tiếp tuyến đến ( )C , gọi ,A B là hai tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M sao cho độ dài đoạn 3 2=AB . Bài giải: Đường tròn (C) có tâm ( )3;1 ,I bán kính 3R OA= = . Gọi = ∩H AB IM , do H là trung điểm của AB nên 3 2 2 =AH . Suy ra: 2 2 9 3 2 9 2 2 = − = − =IH IA AH và 2 6 3 2 2 = = = IA IM IH Gọi ( ) ( );10 − ∈M a a d ta có ( ) ( )2 22 18 3 9 18= ⇔ − + − =IM a a 2 22 24 90 18 12 36 0 6− + = ⇔ − + = ⇔ =a a a a a Vậy ( )6;4M . Bài tập: Cho ∆ : 5 2 19 0− − =x y và đường tròn 2 2( ) : 4 2 0.+ − − =C x y x y Từ một điểm M nằm trên đường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn ( )C (A và B là hai tiếp điểm). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB, biết rằng 10.=AB Bài giải: Đường tròn (C) có tâm ( )2;1 ,I bán kính 5.=R Gọi .= ∩H MI AB Ta có 1 10 . 2 2 = =AH AB Trong tam giác vuông MAI (tại A) với đường cao AH ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 5 10. 10 5 = + ⇒ = − ⇒ = ⇒ =AM MI AH AI AM AM Ta có 5 3 ∆ : 5 2 19 0 ∆ : 2 5 − − − − = ⇔ = x y x y ( )5 2 ; 3 5M m m⇒ + + Khi đó: ( ) ( )2 210 3 2 2 5 10MI m m= ⇔ + + + = 229 32 3 0 1⇔ + + = ⇔ = −m m m hoặc 3 . 29 = −m Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB là đường tròn đường kính MI. + Với 1= −m ta có ( )3; 2 .M − Khi đó, phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆AMB là: 2 2 5 1 5 . 2 2 2    − + + =        x y + Với 3 29 = −m ta có 139 72 ; . 29 29       M Khi đó, phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆AMB là: 2 2 197 101 5 . 58 58 2    − + − =        x y x d H MA B I O y A B M H Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 12 Bài tập: Cho đường tròn (T): 2 2 2 4 8 0+ − + − =x y x y và điểm ( )7;7M . Chứng minh rằng từ M kẻ đến (T) được hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Bài giải: ( ) ( )2 2( ) 1 2 13T x y⇔ − + + = ⇒ Tâm (T) là ( )1; 2 ;I − bán kính 13R = . Ta có: ( )6;9 117 13IM IM


 ⇒ = > . Suy ra điểm M nằm ngoài (T). Vậy từ M kẻ đến (T) được 2 tiếp tuyến.Gọi = ∩K MI AmB . Ta có ,= = ⇒MA MB IA IB MI là đường trung trực của AB ⇒ KA=KB    KAB KBA KAM KBM K⇒ = = = ⇒ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Phương trình MI: 1 2 2 3 = +  = − + x t y t , ( )∩MI T tại ( )1 3;1K và ( )2 8; 12K − − . Ta có 1 2.<AK AK Vậy 1≡K K , tức là ( )1 3;1K . Bài tập: (Trung tâm Tô Hoàng, Bách Khoa, Hà Nội) Cho đường tròn (C): ( )2 24 4− + =x y và ( )1; 2−M . Tìm tọa độ N thuộc Oy sao cho từ N kẻ được 2 tiếp tuyến NA, NB đến (C) đồng thời đường thẳng AB đi qua M (A, B là các tiếp điểm). Bài giải: (C) có tâm ( )4;0I . Gọi ( )0;N b . Gọi các tiếp điểm là ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 1 1; , ; 4; ; ;⇒ = − = − A x y B x y IA x y NA x y b



 . NA là tiếp tuyến của (C) ( ) ( )1 1 1 1. 0 4 0⇒ = ⇔ − + − =NA IA x x y y b



 ( )2 21 1 1 1 1 1 4 4 16 0 4 12 0 ⇔ − + + − − = ⇔ − − = x y x by x by Suy ra: : 4 12 0∈ − − =A d x by . Tương tự, : 4 12 0∈ − − =B d x by . Vậy phương trình AB: 4 12 0− − =x by . Do ( )4 0;4 .∈ ⇔ = ⇒M AB b N Bài tập: (THPT Nguyễn Tất Thành, ĐHSP Hà Nội ) Cho đường thẳng 2 4 0− + =d:x y và hai điểm ( ) ( )0;1 , 4;1 . A B Viết phương trình đường tròn qua A, B, biết các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường thẳng d. Bài giải: Cách 1: Đường tròn có tâm ( );I a b , bán kính R . Giao của hai tiếp tiếp tuyến là ( )2 4;− ∈M t t d . Điều kiện: ( ), , ,⊥ ⊥ ⊥ = = AI AM BI BM IM AB AI R BI . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 4; 1 , 2 8; 1 , 2 4 ; , ; 1= − − = − − = − − − = − AM t t BM t t IM t a t b AI a b










 . m K I B M A Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 13 Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 222 2 2 4 1 1 0 2 4 2; 34 2 8 1 1 0 2.2 2 1 0 14 2 4 0 0 2 2 81 − + − − = = −   = =− − + − − =  ⇔  + − = ⇔ = −− − + − =    = + − =+ − =  a t b t a t a ta t b t b bt a t b Ra b R Đường tròn có tâm ( )2; 1−I và 2 8=R nên có phương trình: ( ) ( )2 22 1 8.− + + =x y Cách 2: Đường trung trực AB là 2=x cắt đường thẳng : 2 4 0− + = d x y tại ( )2;3M . Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực của AB nên ( )2;I b . Điều kiện: ⊥IA MA với ( ) ( )2; 1 , 2;2 .= − = AI b AM




 Suy ra: ( ). 0 2.2 2 1 0 1= ⇔ + − = ⇔ = −AI AM b b




 . Đường tròn có tâm ( )2; 1−I và 2 2 8= =R AI nên có phương trình: ( ) ( )2 22 1 8.− + + =x y Bài tập: Cho đường tròn 2 2( ) : 2 4 0+ − + = C x y x y . Tìm tọa độ các điểm M trên d: 0− =x y , biết từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm) và đường thẳng AB hợp với d một góc φ với 3 cos 10 =φ . Bài giải: Đường tròn (C) có tâm ( )1; 2−I , bán kính 5.=R Gọi ( );M m n và ( )0 0;T x y là tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Khi đó ta có: ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 2 0. 0 2 4 0  − − + + − ==  ⇔  ∈ + − + =  x x m y y mIT MT T C x y x y




 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 02 2 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0. 2 4 0  + − + − − − = ⇔ ⇒ − + + + = + − + = x y m x m y m m x m y m x y x y Suy ra phương trình AB: ( ) ( )1 2 0− + + + =m x m y m . Mặt khác AB tạo với d một góc φ với 3 cos 10 =φ , nên ta có: ( ) ( ) 2 2 2 01 2 3 0 1102 1 2 =− − −  = ⇔ + = ⇔  = −− + + mm m m m mm m Thử lại, ta thấy cả hai trường hợp này đều có =IM R , tức là ( )∈M C . Kết luận: Không tồn tại M thỏa yêu cầu bài toán. Bài tập: Cho đường tròn (C): 2 2 2 4 0+ − + =x y x y và đường thẳng d: 0− =x y . Tìm tọa độ các điểm M trên đường thẳng d, biết từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp tuyến) và khoảng cách từ ( )1; 1−N đến AB bằng 3 5 . Bài giải: Gọi ( ); ∈M n m d và ( )0 0;A x y . Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014