Giáo án lớp 12 môn Toán - Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số Dạng 1 : tiếp tuyến tại A : y = f(x) E Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y= f(x) tại điểm A có dạng : Ví dụ1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số : tại điểm M có hoành độ xM=4 HD : Ta có ; . Vậy phương trình tiếp tuyến : Ví dụ 2 : Cho hàm số :có đồ thị (C) và y = 2x2 +b có đồ thị (P) Tính b để (P) tiếp xúc với (C) .Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm . ĐS : b=1 thì y=1 b=-3 thì ; Dạng 2 : tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước của đồ thị (C) Cách 1 : Tìm tiếp điểm Gọi tiếp điểm , ta có (1) GiảI phương trình (1) tìm được x0 rồi suy ra y0 Dùng phương trình tiếp tuyến Cách 2 : Dùng điều kiện tiếp xúc Gọi phương trình tiếp tuyến là có dạng : y =kx +m . Tìm m bằng cách buộc hệ có nghiệm Ví dụ 3: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng : 2x+y-5 =0. Đs : Có 2 phương trình tiếp tuyến : y=-2x-2 ; y=-2x- Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) : Biết rắng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng : y=-x+10 ĐS : y=x ; Dạng 3 : tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y=f(x) đI qua M(xM; yM) Cách 1 : Gọi M0(x0;y0) : là tiếp điểm (Với y0= f(x0)) Phương trình tiếp tuyến D tại M0 có dạng Do D đI qua M(xM; yM) nên : (2) Giải (2) ta được x0 . Cách 2 : - Phương trình tiếp tuyến D có dạng : y=k(x-xM) + yM Dùng điều kiện tiếp xúc : để tìm k Ví dụ 5 : Cho hàm số : (C) . Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) . Biết rằng (d) đi qua M(0;3) ĐS : Ví dụ 6 : Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đi qua M(1;-6) ĐS : y=9x-15 Dạng 4 : Biện luận số tiếp tuyến với đường cong (C) : y= f(x) đI qua một điểm Phương pháp : Cho đồ thị hàm số có : y= f(x) và M(xM;yM). để biện luận số tiếp tuyến kẽ từ M đến (C) ta làm : - Viết phương trình đường thẳng D đI qua M có dạng : y= g(x) = k(x-xM)+yM (1) - Dùng hệ phương trình hoành độ tiếp điểm của D và (C) : (2) Số nghiệm của (2) là số hoành độ của tiếp điểm Ví dụ 7: Cho hàm số (C) Tìm các điểm trên trục 0y mà từ đó có thể kẻ ít nhất một tiếp tuyến đến (C) Gọi M(0;t) . Đường thẳng D đi qua M có dạng : y=kx +t Do D tiếp xúc với (C) có nghiệm Thay (2) vào (1) ta được (3) Từ M kẽ ít nhất một tiếp tuyến đến (C) có các TH: TH1: với t=0 thì (3) trở thành : TH2 : Với t0 . Để (3) có ít nhất một nghiệm . Vậy các điểm nằm trên 0y thoả mãn yêu cầu là M(0;t)với t Ví dụ 8 : Cho hàm số : y= . Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y=2 mà từ đó các có thể kẻ được 3tiếp tuyến đến (C) . ĐS : Vậy M(m;2) với Dạng 5 : Tìm điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau với đồ thị hàm số (C) : y = f(x) . Phương pháp : Gọi là điểm cần tìm . Phương trình đường thẳng đi qua M0 có dạng : y=k để đường thẳng tiếp xúc với (C) Có nghiệm . Thay (**) vào (*) ta được phương trình ẩn x có x0 là tham số . Khi đó ta buộc phương trình vừa nhận được phảI có 2 nghiệm Để 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì Kết luận . Ví dụ : Cho hàm số y (C) . Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm mà từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau . ví dụ 9 Cho Hypecbol (C) : y = và điểm M bất kỳ (C).Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận. tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận A và B a) CMR : M là trung điểm AB b) CMR : dt(IAB) = const c) Tìm M để chu vi (IAB) nhỏ nhất Giải + = TCĐ : x = 1 = 2 TCN : y = 2 I (1, 2) + Y = Gọi M (C) + tiếp tuyến tại M là (t) : y = + y(m) (t) : y = (x – m) + 2 + a) Ta có : = m = xM và A, M, B thẳng hàng nên M là trung điểm AB. b) dt(IAB) = IA.IB = = 2 c) Ta có IA.TB = 4 ; Chu vi (IAB) = IA + IB + AB = IA + IB + Dấu “=” xảy ra IA = IB = 2 Bài 1: Cho (C) : y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành góc 450 Giải Do tiếp tuyến của (C) tạo với Ox góc 450 nên hệ số góc k của tiếp tuyến thoả mãn = tg450 = 1k = 1. Vì < 0 x # 1nên k = -1. hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình Phương trình tiếp tuyến tại x1 = 0 là y = -1(x – 0) + 2 = -x + 2 Phương trình tiếp tuyến tại x2 = 2 là y = -1(x – 2) + 4 = -x + 6 Bài 2: Cho (C) : y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) // : y = 3x + 2 Giải Đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc (C) 3x + m = có nghiệm kép (3x + m)(2x + 1) = -4x – 5 có nghiệm kép 6x2 + (2m + 7)x + (m + 5) = 0 có nghiệm kép 4m2 + 4m – 92 = 0 m2 + m – 23 = 0 m = Vậy có 2 tiếp tuyến là y = 3x + Bài 3: Cho (C): y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = -2x Giải Đường thẳng y = x + m tiếp xúc (C) x + m = có nghiệm kép (x + 2m)(5x – 4) = 2(2x – 3) có nghiệm kép 5x2 + 2(5m – 4)x – (8m – 6) = 0 có nghiệm kép = (5m – 4)2 + 5(8m – 6) = 0 25m2 – 14 = 0 m = Vậy có hai tiếp tuyến : y = -2x là y = Bài 4: Cho (C) : y = . Viết phương trình tiếp tuyến tạo với : y = 3x góc 450 Giải Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến tạo với : y = 3x góc 450 nên = tg450 = 1 + Với k = -2 xét đường thẳng y = -2x + m tiếp xúc (C) = -2x + m hay 4x – 3 = (-2x + m)(x – 1) có nghiệm kép 2x2 + (2 – m)x + m – 3 = 0 = (2 – m)2 – 8(m – 3) = 0 = m2 – 12m + 28 = 0 m = 6 2 tiếp tuyến y = -2x + 6 + Với k = xét đường thẳng y = x + m tiếp xúc (C) = x + m hay 2(4x – 3) = (-x + 2m)(x – 1) có nghiệm kép x2 - (2m – 7)x + 2m – 6 = 0 = (2m – 7)2 – 4(2m – 6) = 0 = 4m2 – 36m + 73 = 0 vô nghiệm Vậy chỉ có 2 tiếp tuyến y = -2x + 6 tạo với y = 3x góc 450 Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0, 1) đến đồ thị (C) : y = Giải Đường thẳng đi qua A(0, 1) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 1 tiếp xúc với đồ thị (C): y = phương trình kx + 1 = có nghiệm kép (kx + 1)(2x – 1) = -4x + 3 có nghiệm kép 2kx2 – (k – 6)x – 4 = 0 có nghiệm kép k # 0 và = (k – 6)2 + 32k = k2 + 20k + 36 = 0 k = -2; k = -18 Vậy có 2 tiếp tuyến là y = -2x + 1 và y = -18x + 1 Bài 6: Tìm trên đường thẳng x = 3 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C) : y = Giải Lấy bất kỳ A(3, a) đường thẳng x = 3. Đường thẳng đi qua A(3, a) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – 3) + a tiếp xúc với (C) : y = phương trình k(x – 3) + a = có nghiệm kép [kx – (3k – a)](x – 2) = 2x + 1 có nghiệm kép kx2 – [5k – (a – 2)x] + [6k – (2a + 1)] = 0 có nghiệm kép k # 0 và = [5k – (a – 2)x]2 – 4k[6k – (2a + 1)] = 0 g(k) = k2 – 2(a – 12)k + (a – 2)2 = 0 và k # 0 Qua A(3, a) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có nghiệm k # 0 a 7 Bài 7 : Tìm trên Oy những điểm kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = Giải Lấy bất kỳ A(0, a) Oy, Đường thẳng đi qua A(0, a) với hệ số góc k có phương trình y = kx + a tiếp xúc với (C) : y = kx + a = có nghiệm kép (kx + a)(x – 1) = x + 1 có nghiệm kép kx2 – [k – (a – 1)]x – (a + 1) = 0 có nghiệm kép k # 0 và = [ k – (a – 1)]2 + 4(a + 1)k = 0 k # 0 và g(k) = k2 + 2(a + 3)k + (a - 1)2 = 0 Qua A(0, a) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm k # 0 Vậy từ các điểm A1(0, -1), A2(0, 1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) Bài 8 : Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C) : y = Giải Lấy bất kỳ A(a, 2) đường thẳng y = 2. Đường thẳng đi qua A(a, 2) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – a) + 2 tiếp xúc với (C) : y = k(x – a) + 2 = hay [kx – (ak – 2)](4x – 3) = 3x + 4 có nghiệm kép 4kx2 – [(4a + 3)k – 5]x + (3ak – 10) = 0 có nghiệm kép k # 0 và = [(4a + 3)k – 5]2 – 16k(3ak – 10) = 0 k # 0 và = g(k) = (4a – 3)2k2 – 10(4a – 13)k + 25 = 0 Qua A(a, 2) kẻ được tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có nghiệm kép k # 0 a 2 Bài 9 Tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) : y = Giải Lấy bấy kỳ A(a, 2a+1) y = 2x + 1 với hệ số góc k có phương trình y = k(x – a) + 2a + 1tiếp xúc với (C) : y = k(x – a) + 2a + 1 = hay [kx – (ak – 2a – 1)](x – 1) = (x + 3) có nghiệm kép kx2 – [(a + 1)k – 2a]x + [ak – (2a + 4)] = 0 có nghiệm kép k # 0 và = [(a + 1)k – 2a]2 – 4k[ak – (2a + 4)] = 0 k # 0 và g(k) = (a – 1)2.k2 – 4(a2 – a – 4).k + 4a2 = 0 Qua A(a, 2a+1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm k # 0 Vậy có 4 điểm A1(-1, -1), A2(0, 1); A3(1, 3); A4(2, 5) nằm trên đường thẳng y = 2x + 1 và kẻ được đngs 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 10: Tìm m để từ A(1, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến AB, AC đến đồ thị (C) : y = sao cho ABC đều ( ở đây B, C là 2 tiếp điểm ) Giải Đường thẳng đi qua A(1, 1) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – 1) + 1 tiếp xúc với đồ thị (C) k(x – 1) + 1 = có nghiệm kép[kx – 9k – 1)]x = m có nghiệm kép kx2 – (k – 1)x – m = 0 có nghiệm kép k # 0 và = (k – 1)2 + 2km = 0 k # 0 và g(k) = k2 + 292m – 1)k + 1 = 0 Do điểm A(1, 1) đường thẳng y = x là trục đối xứng của đồ thị (C) : y = nên nếu từ A kẻ được 2 tiếp tuyến AB, AC thì AB = AC Từ đó suy ra để có được ABC đều thì y = là hàm đồng biến và phương trình g(k) = 0 có 2 nghiệm phân biệt k1, k2 khác 0 và thảo mãn hệ thức = tg600 m = Bài 11: Cho hàm số (C) : y = . Tìm A(0, a) để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox Giải Đường thẳng đi qua A(0, a) với hệ số góc k có phương trình y = kx + a tiếp xúc (C) kx + a = hay (kx + a)(x – 1) = x + 2 có nghiệm kép g(x) = kx2 – [k – (a – 1)]x – (a + 2) = 0 có nghiệm kép k # 0 và = [k – (a – 1)]2 + 4(a + 2) = 0 k # 0 và h(k) = k2 + 2(a + 5)k + (a – 1)2 = 0 Từ A(0, a) kẻ được 2 tiếp tuyến h(k) = 0 có 2 nghiêm k phân biệt k1, k2 và khác 0 = 12(a + 2) > 0 và h(0) = (a – 1)2 # 0 -2 < a # 1 (1) Với điều kiện này thì toạ độ của các tiếp điểm là : x1 = y1 = k1x1 + a = x2 = y2 = k2x2 + a = Các tiếp điểm nằm về 2 phía của Ox y1y2 < 0 [ k1 + (a + 1)][k2 + (a + 1)] < 0 k1k2 + (a + 1)(k1 + k2) + (a + 1)2 = -4(3a + 2) (2) Từ (1) và (2) Đáp số < a # 1 Bài 12: Cho (C) : y = . Tìm m để Tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C) Giải + y = f(x) = x + + + Đạo hàm : + Tiếp tuyến TCĐ : x = + Tiếp tuyến TCX: y = 3(m2 – 16) = 4m2 m2 = -48 : Vô nghiệm Đs : m = 4 Bài 14: Cho đồ thị (C) : y = . Tìm các điểm A (C) sao cho Tiếp tuyến tại A với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của (C) Giải Y = f(x) = = x + 2 + TĐX : (1, 4) Đạohàm : = 1 - = 1 - Gọi A Đường thẳng (AI) có hệ số góc là : k = Do Tiếp tuyến tại A với đường thẳng (AI) nên -1 = .k = 1 - Bài 15: Cho (C) : y = . Viết phương trình Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng : 3y – x + 6 = 0 GiảiDo hệ số góc của : y = x – 2 là nên Tiếp tuyến có hệ số góc là (-3) Đường thẳng y = -3x + m Tiếp xúc với (C) = -3x + m có nghiệm kép 4x2 – (m – 9)x – (2m – 3) = 0 có nghiệm kép= (m – 9)2 + 16(2m – 3) = 0 m2 + 14m + 33 = 0 m = -11; m = -3Có 2 Tiếp tuyến là y = -3x – 11 và y = -3x – 3 Bài 16: Cho (C) : y = . Viết phương trình Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = x + 4 Giải Cách 1: y = = 2x – 3 + . Hoành độ Tiếp điểm là nghiệm của phương trình = 1 2 - = 1 Tiếp tuyến tại x = 1 có phương trình y = (x – 1) – 2 = x – 3 Tiếp tuyến tại x = 3 có phương trình y = (x – 3) + 4 = x + 1 Bài 17: Cho (C): y = . Viết phương trình Tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng : y = -x + 1 một góc 600 Giải Tiếp tuyến tạo với : y = -x + 1 một góc 600 nên vó hệ số góc k thoả mãn = tg600 k1 = = 2 - ; k2 = Xét (t): y = x + m Tiếp xúc (C) = x + m có nghệm kép x2 - x + (2m + 3) = 0 có nghiệm kép - 4. = 0= m2 - = 0 + Xét (t) : y = Tiếp xúc (C) = có nghiệm kép x2 + x – (2m + 3) = 0 có nghiệm kép + 4(2m+3) = 0 = m2 + m + + 33 = 0 Bài 18: Chứng minh rằng : từ điểm A(1, -1) luôn kẻ được 2 Tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị (C) : y = Giải Đường thẳng đi qua A(1, -1) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – 1) – 1 Tiếp xúc với (C) : y = k(x – 1) – 1 = có nghiệm kép [ kx – (k + 1)](x + 1) = x2 + x + 1 có nghịêm kép (k – 1)x2 – 2x – (k + 2) = 0 có nghiệm kép Do k1.k2 = -1 nên từ A(1, -1) luôn kẻ được 2 Tiếp tuyến nhau đến (C) Bài 19: Viết phương trình Tiếp tuyến từ A(6, 4) đến (C) : y = Giải : Đường thẳng đi qua A(6, 4) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – 6) + 4 Tiếp xúc (C) k(x – 6) + 4 = có nghiệm kép [kx – (6k – 4)](x – 2) = x2 – 2x + 1 có nghiệm kép (k – 1)x2 – 2(4k – 3)x + 3(4k – 3) = 0 có nghiệm kép Bài 20: Cho đồ thị (C): y = . Tìm trên trục Oy các điểm có thể kẻ được ít nhất 1 Tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải : Lấy bất kỳ điểm A(0, m) Oy. Đường thẳng đi qua A(0, m) với hệ số góc k có phương trình y = kx + m Tiếp xúc với (C) kx + m = có nghiệm kép (kx + m)(x + 1) = x2 – x + 1 có nghiệm kép (k – 1)x2 – [k – (m + 1)]x - (m + 1) = 0 có nghiệm kép Từ A(0, 1) kẻ được ít nhất 1 Tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có nghiệm k 1 m -1 Bài 21: Cho đồ thị (C) : y = . Tìm trên trục Oy các điểm có thể kẻ đến (C) hai Tiếp tuyến nhau Giải : Lấy bất kỳ điểm A(0, m) Oy. Đường thẳng đi qua A(0, m) với hệ số góc k có phương trình y = kx + m Tiếp xúc với (C) kx + m = có nghiệm kép (k – 2)x2 + [k + (m – 1)]x + ( m – 1) = 0 có nghiệm kép Từ A(0, m) kẻ đươck hai Tiếp tuyến nhau đến (C) g(k) = 0 có nghịêm k1, k2 phân biệt khác 2 thoả mãn k1k2 = -1 m = -3 Vậy từ các điểm A1(0, -3 - ) và A2(0, -3 + ) kẻ được 2 Tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị (C) Bài 22: Cho đồ thị (C) : y = . Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được đúng 1 Tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải: Lấy A(a, 0) Ox. Đường thẳng đi qua A(a, 0) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – a) Tiếp xúc với (C) k(x – a) = có nghiệm kép k(x – a)(x – 2) = x2 + x – 3 có nghiệm kép (k – 1)x2 – [(a – 2)k + 1]x - (2ak – 3) = 0 có nghiệm kép Từ A(a, 0 ) kẻ được đúng 1 Tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm k 1. Xét 3 khả năng có thể xảy ra: + Nếu a + 2 = 0 thì g(k) = 13- 4k = 0 k = ( thoả mãn) a = -2 + Xét a = 1 ( thoả mãn) + Xét a = ( thoả mãn) Kết luận : Từ A1(-2, 0); A2(1, 0); A3; A4thuộc Ox kẻ được đúng 1 Tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 23: Cho (C) : y = . Chứng minh rằng trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến (C) 2 Tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 450 Giải : Lấy bất kỳ điểm A(a, 7) đường thẳng y = 7. Đường thẳng đi qua A(a, 7) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – a) + 7 Tiếp xúc với (C) k(x – a) + 7 = có nghiệm kép[kx – (ak – 7)](x – 1) = 2x2 – x + 1 có nghiệm kép (k – 2)x2 - [(a + 1)k – 8]x + (ak – 8) = 0 có nghiệm kép (*) Từ A(a, 7) kẻ được 2 Tiếp tuyến phân biệt g(k) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và khác 2 a Với a thì hệ (*) k1 = 0, k2 = Hai Tiếp tuyến tạo với nhau góc 450 = tg450 = 1 a Bài 24: Cho (C) : y = x – 1 + . Tìm điều kiện cần và đủ để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất 1 điểm sao cho từ đó kẻ được 2 Tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị (C) Giải : Giả sử tồn tại 2 Tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau x1, x2 R sao cho k R sao cho k R để các PT có nghiệm Xét (1) : = k 1 - = k Nếu m = 1 thì = 1 x R x1, x2 để Với m 1 thì = k 1 – k = (x + 1)2 = Ta có (1) có nghiệm > 0 (m – 1)(1 – k) > 0 Tương tự suy ra (2) có nghiệm (m – 1) > 0 (m – 1)(k + 1)k > 0 Xét hệ điều kiện (3) Nếu m > 1 thì (3) Nếu m < 1 thì (3) k Vậy điều kiện cần và đủ để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất 1 điểm sao cho từ đó kẻ được 2 Tiếp tuyến là m > 1 Bài 25: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x3 – 3x2 biết tiếp tuyến với đường thẳng y = x Giải : Do tiếp tuyến với đường thẳng y = x nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng (-3) Gọi tiếp điểm có hoành độ x0 y’(x0) = 3x20 – 6x0 = -3 3(x0 - 1)2 = 0 x0 = 1 Phương trình tiếp tuyến tại x0 = 1 là y = -3(x – 1) + y(1) y = -3x + 1 Bài 26 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x3 – 3x2 + 1 biết tiếp tuyến // với đường thẳng : y = 9x + 2001 Giải : Do tiếp tuyến // với đường thẳng y = 9x + 2001 nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 Gọi tiếp điểm có hoành độ x0 y’(x0) = 3x02 – 6x0 = 9 x02 – 2x0 – 3 = 0 x0 = -1 hoặc x0 = 3 Tiếp tuyến tại x0 = -1 là y = 9(x + 1) – 3 = 9x – 6 Tiếp tuyến tại x0 = 3 là y = 9(x – 3) = 9x – 26 Bài 27: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A đến (C) : y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 5 Giải : Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình y = k + 4 tiếp xúc với (C) : y = f(x) Hệ có nghiệm f(x) = f’(x) + 4 2x3 – 3x2 + 5 = 6x(x – 1) + 4 (x – 1)(2x – 1) = 6x(x – 1) (x – 1)(4x2 - x + 1) Bài 28 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0, -1) đến (C) : y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 Giải : đường thẳng đi qua A(0, -1) với hệ số góc k có phương trình y = kx – 1 tiếp xúc với (C) : y = f(x) Hệ có nghiệm f(x) = f’(x).x - 1 f’(x).x – 1 – f(x) = 0 x2[4x + 3(m – 1)] = 0 Từ f’(x) = 6x2 + 6(m – 1)x + 6(m – 2) suy ra : Với x1 = 0 f(0) = 6(m – 2) tiếp tuyến (t1) : y = 6(m – 2)x -1 Với x2 = = (3m2 – 22m + 35) y = (3m2 – 22m + 35)x – 1 Bài 29: Cho hàm số (C): y = f(x) = x3 – 3x2 + 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A đến (C) b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến nhau Giải : a) Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình y = k - 2 tiếp xúc với (C) : y = f(x) Hệ phương trình có nghiệm f(x) = f’(x) - 2 f’(x) - 2 – f(x) = 0 3x3 – 16x2 + 23x – 6 = 0 b) Lấy bất kỳ M(m, -2) đường thẳng y = -2 Đường thẳng đi qua M(m, -2) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – m) – 2 tiếp xúc (C) : y = f(x) Hệ có nghiệm f(x) = f’(x)(x – m) – 2 f’(x)(x – m) – 2 – f(x) = 0 (x – 2)[2x2 – (3m – 1)x + 2] = 0 Do không thể có tiếp tuyến nào với tiếp tuyến y = -2 // Ox nên để từ M(m, -2) kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C) thì g(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x1, x2 vuông góc với nhau Ta có : -1 = y’(x1).y’(x2) = (3 - 6x1)(3 - 6x2) = 9x1.x2[x1.x2 – 2(x1 + x2) + 4] = 9[1 – (3m – 1) + 4] = 9[6 – 3m] = 54 – 27m m = Với m = thì = (3m – 1)2 – 16 (3.2 – 1)2 – 16 = 9 > 0 Bài 30 Cho (C) : y = -x3 + 3x +2 Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Giải : Lấy bất kỳ A(a, 0) Ox. đường thẳng đi qua A(a, 0) với hệ số góc k có phương trình y = (x – a) tiếp xúc với (C) : y = f(x) Hệ phương trình có nghiệm f(x) = f’(x)(x – a) f(x) – f’(x)(x – a) = 0 2x3 – 3ax2 + 3a + 2 = 0 (x + 1)[2x2 – (3a + 2)x + 3a + 2] = 0 (x + 1).g(x) = 0 Từ điểm A(a, 0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và khác (-1) Bài 31 Cho (C) : y = x3 - 12x +12. Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải : lấy bất kỳ M(m, -4) đường thẳng y = -4. Đường thẳng đi qua M(m, -4) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – m) – 4 tiếp xúc với đồ thị (C) Hệ phương trình có nghiệm f(x) - f’(x)(x – m) – 4 f’(x)(x – m) – f(x) – 4 = 0 (x – 2)[2x2 – (3m - 4)x – (6m – 8)] = 0 (x – 2)g(x) = 0 Từ điểm M(m, -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đi qua (C) g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và khác 2 Bài 32: Cho đồ thị (C) : y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1, 0), b(-1, 0) với nhau Giải : Do A(1, 0) (C); B(-1, 0) (C) nên các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau y’(1).y’(-1) = (4m – 4)(-4m + 4) = -1 -16m2 + 32m – 15 = 0 m = hoặc m = Bài 33 Cho đồ thị (C) : y = f9x) = -x4 + 2x2. Viết phương trình tiếp tuyến tại A Giải :Đạo hàm : = (x) = -4x3 + 4x = - Phương trình tiếp tuyến tại x0 = là Y = + Y = -4 + 0 = -4x + 8 Bài 34: Cho đồ thị (C) : y = f(x) = x4 - x2 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua O(0, 0) đến đồ thị (C) Giải : Đường thẳng đi qua O(0, 0) với hệ số góc k có phương trình y = kx tiếp xúc với đồ thị (C) : y = f(x) có nghiệm f(x) = .x .x – f(x) = 0 (2x3 – x)x - = 0 x4 - x2 = 0 x2(3x2 – 1) = 0 x Tại x1 = 0 tiếp tuyến (t1) : y = (0).x y = 0 Tại x2 = tiếp tuyến (t2) : y = .x = x Tại x3 = tiếp tuyến (t3) : y = .x = x Bài 36 Cho đồ thị (C) : y = f(x) = (2 – x2 )2 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0, 4) đến đồ thị (C) Giải: Đường thẳng đi qua A(0, 4) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 4 tiếp xúc với đồ thị (C) : y = f(x) Hệ có nghiệm f(x) = (x).x + 4 (x).x + 4 – f(x) = 0 (4x3 – 8x)x + 4 – 4(4 – 4x2 + x4) = 0 x2(3x2 – 4) = 0 Bài 37: Cho (C) : y = f(x) = x4 – 3x2 + . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A đến đồ thị (C) Giải : Đường thẳng đi qua Avới hệ số góc k có phương trình y = kx + tiếp xúc với đồ thị (C) : y = f(x) Hệ phương trình : có nghiệm f(x) = (x).x + (x).x + - f(x) = 0 = 0 x2(x2 – 2) = 0 x Với x1 = 0 tiếp tuyến (t1) : y = + 4 y = Với x2 = - tiếp tuyến (t2) : y = x + 4 y =2x + Với x3 = tiếp tuyến (t3) : y = x + 4 y =-2x + Bài 38: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = x4 – x2 + 1 Tìm các điểm A Oy kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải: Lấy bất kỳ A(0, a) (C). Đường thẳng đi qua A(0, a) với hệ số góc k có phương trình y = kx + a tiếp xúc với đồ thị (C) có nghiệm (*) + điều kiện cần : Để ý rằng f(-x) = f(x) x R f(x) là hàm chẵn đồ thị (C) nhận Oy làm trục đối xứng. Do A(0, a) trục đối xứng Oy nên nếu từ A(0, a) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến nhánh bên trái của (C) thì cũng kẻ được bấy nhiêu tiếp tuyến đến nhánh bên phải của (C). Suy ra tổng số các tiếp tuyến có hệ số góc k # 0 luôn là 1 số chẵn. Vậy để từ A(0, a) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì điều kiện cần là hệ phương trình (*) có nghiệm k = 0 Thế k = 0 vào hệ (*) + điều kiện đủ Nếu a = 1 thì (*) Vậy từ A(0, 1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Nếu a = thì (*) Vậy từ A(0, ) chỉ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) Kết luận : từ các điều kiện cần và đủ Đáp số : A(0, 1) Bài 1. Cho đồ thị (C) : y = -x4 + 2x2 – 1 Tìm tất cả các điểm Oy kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A đến đồ thị (C) Y = f(x) = x4 – 7x2 + 10 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(1, 1) đến đồ thị (C) Y = f(x) = x4 – x3 + 2x2 – 1 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x3 – 3x2 biết tiếp tuyến với đường thẳng y = x ĐS : y = -3x + 1 Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x3 – 3x2 + 1 biết tiếp tuyến // với đường thẳng : y = 9x + 2001 ĐS Tiếp tuyến tại x0 = -1 là y = 9(x + 1) – 3 = 9x – 6 Tiếp tuyến tại x0 = 3 là y = 9(x – 3) = 9x – 26 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A đến (C) : y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 5 Giải Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình y = k + 4 tiếp xúc Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0, -1) đến (C) : y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 Giải Đường thẳng đi qua A(0, -1) với hệ số góc k có phương trình y = kx – 1 tiếp xúc với (C) : y = f(x) Hệ có nghiệm f(x) = f’(x).x - 1 f’(x).x – 1 – f(x) = 0 x2[4x + 3(m – 1)] = 0 Từ f’(x) = 6x2 + 6(m – 1)x + 6(m – 2) suy ra : Với x1 = 0 f(0) = 6(m – 2) tiếp tuyến (t1) : y = 6(m – 2)x -1 Với x2 = = (3m2 – 22m + 35) y = (3m2 – 22m + 35)x – 1 Bài 8: Cho hàm số (C): y = f(x) = x3 – 3x2 + 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A đến (C) b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến nhau Bài 9 Cho (C) : y = -x3 + 3x +2 Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 10 Cho (C) : y = x3 - 12x +12. Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) ĐS Bài 11: Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x – 1 Từ 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C) Bài 12 : Cho (Cm) : y = 2x3 + 3mx2 + 6(m – 1)x – 1 1) Khảo sát và vẽ m = 2 2) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A(0, -1) đến (C2) 3) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu Bài13: 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = f(x) = x3 – 3x2 + 2 2) Viết phương trình tiếp tuyến với Đồthị biết tiếp tuyến 5y – 3x + 4 = 0 2) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1, 2) Bài 14 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = x3 + 3x + 2 2) Tìm trên ox những điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Bài 15 : Cho (Cm): y = (m+ 2)x3 + 3x2 + mx – 5 1) Khảo sát , vẽ m = 0 2) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu 3) CMR : Từ A(1, -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C0) Bài 16 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) Tìmtrên Oy các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) Bài 17 : 1) Khảo sát và vẽ (C) : y = 2) TìmM (C) cách đều hai trục toạ độ Ox, Oy 3) Viết tiếp tuyến đi qua A(-6, 5) đến (C) Bài 18: 1) Khảosát và vẽ (C) : y = 2) Biện luận số nghiệm phương trình : x2 + (1 – m)x + 1 – m = 0 3) Tìm k để tồn tại ít nhất 1 tiếp tuyến của (C) // y = kx + 2. Từ đó tìm k để mọi tiếp tuyến của (C) cắt đường y = kx + 2 Bài 19 : Khảosát và vẽ (C) : y = . Tìm những điểm Oy để từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với Đồ thị Bài 201) Khảosát và vẽ (C) : y = 2) Viết phương trình tiếp tuyến của Đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến // (d) : y = -x Bài 21 :1)Khảosát và vẽ y = 2) Tìm trên (d): y = 4 các điểm từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới Đồ thị và góc gữa 2 tiếp tuyến đó bằng 450 Bài 221)Khảosát và vẽ y = (C) 2) Viết phương trình (d) đi qua M sao cho (d) (C) = A B và M là trung điểm của AB Bài 231)Khảosát và vẽ y = (C) 2) Tìm A (C) để tiếp tuyến của Đồ thị tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và qua tâm đối xứng của Đồ thị Bài 24 :1) Tìm m để y = có cực đại , cực tiểu 2) Khảosát và vẽ khi m = 1. CMR : tại mọi điểm Đồ thị tiếp tuyến luôn cắt 2 Tiệm cận tại 1 tam giác có diện tích không đổi Bài 251)Khảosát và vẽ y = khi m = 1 2) Tìm những điểm Oy để từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến tới Đồ thị ở (1) vuông góc với nhau 3) Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu Bài 27 : 1)Khảosát và vẽ (C) :y