Giáo án lớp 12 môn Toán - Vấn đề 7: Phương trình tiếp tuyến

1 VẤN ĐỀ 7. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Dạng 1. Phương trình tiếp tại một điểm  Phương trình tiếp tuyến tại  0 0;M x y thuộc    : C y f x có dạng   0 0 0' .y f x x x y   1. Cho hàm số 3 23 2y x x   có đồ thị  .C Viết phương trình tiếp của  C biết a) Tiếp điểm có hoành độ 0 1.x   Đáp số: 3 3.y x   b) Tiếp điểm có tung độ 0 2.y  Đáp số: 2, 9 7.y y x   c) Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Đáp số: 3 3.y x   Dạng 2. Phương trình tiếp qua một điểm  Để lập phương trình tiếp tuyến của hàm số  y f x có đồ thị  C đi qua điểm  ; ,A AA x y ta có hai cách: Cách 1: Bước 1: Gọi tiếp điểm là   0 0;M x f x  Phương trình tiếp tuyến tại M là     0 0 0' .y f x x x f x   Bước 2: Vì điểm tiếp tuyến đi qua điểm  ;A AA x y nên     0 0 0' .A Ay f x x x f x   Bước 3: Từ đó tìm được 0x và suy ra được phương trình tiếp tuyến.  Chú ý: Đồ thị hai hàm số  y f x và  y g x tiếp xúc nhau  hệ        ' ' f x g x f x g x    có nghiệm. Cách 2: Bước 1: Gọi đường thẳng qua điểm A là  : .A Ad y k x x y   Bước 2: d là tiếp tuyến của  C  hệ sau có nghiệm           1 ' 2 A Af x k x x y f x k      Bước 3: Thay  2 vào  1 x k   Phương trình tiếp tuyến. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3 2,y x x   biết tiếp tuyến đi qua điểm  1;4 .A  Đáp số: 9 7 4; . 4 4    y y x Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trước  Để lập phương trình tiếp tuyến của hàm số  y f x có đồ thị  C có hệ số góc k, ta có hai cách: Cách 1: Bước 1: Gọi tiếp điểm là   0 0; .M x f x Suy ra  0' .f x k Bước 2: Từ đó ta tìm được 0.x Bước 3: Áp dụng dạng 1 ta tìm được tiếp tuyến. Cách 2: Bước 1: Gọi đường thẳng có hệ số góc k là : .d y kx b  Bước 2: Để d là tiếp tuyến của  C thì hệ sau có nghiệm         1 ' 2 f x kx b f x k     Bước 3: Từ  2 .x Thay vào  1 suy ra .b Từ đó viết được phương trình tiếp tuyến. Chú ý: Cho đường thẳng  2 2: 0, 0 .ax by c a b      Khi đó  Nếu d song song với  thì d có dạng  : 0, .d ax by m m c     Nếu d vuông góc với  thì d có dạng : 0.d bx ay m   2 3. Cho hàm số 3 2 1 x y x    có đồ thị  .C Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C biết rằng tiếp tuyến song song với : 3 0.   x y Đáp số: 6, 2.y x y x      Dạng 4. Hai đường cong tiếp xúc nhau 4. Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 5y x x   và đồ thị hàm số 22y x m  tiếp xúc nhau. Xác định toạ độ của tiếp điểm. Đáp số:    1: 2;9 ; 5 : 0;5 .m A m B  5. Tìm a, b để đồ thị hàm số 1 ax b y x    đi qua điểm  3;1A và tiếp xúc với đường thẳng 2 4 0.x y   Đáp số: 10, 28  a b hoặc 2; 4.  a b Dạng 5. Bài tập nâng cao về tiếp tuyến 6. Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số 3 23 .y x x  Đáp số: Gọi  0; 0 1.A a Oy a    7. Cho đồ thị hàm số   1: . 1 C y x x    a) Chứng minh rằng trên (C) tồn tại vô số những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. b) Tìm m để :d y m cắt (C) tại A, B sao cho OA vuông góc với OB. Đs: 1 5 . 2 m  8. (TSĐH, A, 09) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2 , 2 3 x y x    biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác OAB cân tại gốc tọa độ .O Hd: Gọi  0 0;M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Đs: 2.y x   Bài tập luyện tập 9. Cho hàm số 3 2 1 x y x    có đồ thị  .C Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C biết rằng tiếp tuyến vuông góc với : 4 7 0.x y    Đáp số: 1 17 1 9 , . 4 4 4 4 y x y x      10. Tìm m để hai đường cong 1mx y x   và 24 1y x  tiếp xúc nhau. Đáp số: 1 4 : ;2 . 2 m M       11. Tìm a để hai đường cong 2 2 2 1 x x y x     và 2y x a   tiếp xúc nhau. Đáp số:  2 : 0;2 .a M 12. (ĐHSP HN II, khối A và B, 99) Tìm trên trục Ox các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 3 3 2.y x x    Đáp số:    2; 2; \ 1 . 3 a           13. Tìm những điểm trên đường thẳng 1y  sao cho từ đó có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số   22 : . 1 x x C y x    Đáp số: 1 1, . 2 a a    14. Cho đồ thị hàm số   3: . 1 x C y x    Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C đến tiếp tuyến bằng 2 2. Biên soạn: Thầy Lê Đức Thuận. Email: thuanducle@ymai.com