Giáo án lớp 12 môn Toán - Vector và tọa độ trong mặt phẳng

Huỳnh Bửu Tính 1 VECTOR VÀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG j ) ) 1. Tọa độ vector. Định nghĩa: ( ; )a x y a xi y= ⇔ = +G GG G Cho Khi đó 1 1 2 2( ; ), ( ; ).u x y v x y= =G G + 1 2 1 2( ;u v x x y y± = ± ±G G + 1 1. ( ;k u kx ky=G + cùng phương ⇔ ∃k ≠ 0: v ,u vG G ku=G G ⇔ x1y2 − x2y1 = 0 + 1 2 1 2 x x u v y y =⎧= ⇔ ⎨ =⎩ G G + 1 2 1 2.u v x x y y= +G G + 2 21 1| |u x y= +G + m 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos( , ) . x x y yu v x y x y += + + G G + . 0u v u v⊥ ⇔ =G G G G 2. Tọa độ của điểm. Định nghĩa: ( ; )M x y OM xi yj⇔ = +JJJJG G G Cho các điểm A(xA;yA), B(xB;yB BB ) ). Khi đó + ( ;B A B AAB x x y y= − − JJJG + 2 2| | ( ) ( )B A B AAB AB x x y y= = − + − JJJG + Điểm M(x;y) chia đoạn AB theo tỷ số k ≠ 1 ⇔ .MA k MB=JJJG JJJG ⇔ 1 1 A B A B x kxx k y kyy k −⎧ =⎪⎪ −⎨ −⎪ =⎪ −⎩ Đặc biệt: Khi k = −1, thì M là trung điểm đoạn AB ; 2 2 A B A Bx x y yM + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + A, B, C thẳng hàng ⇔ ,AB ACJJJG JJJG cùng phương + ( ) .cos cos , .AB ACA AB AC AB AC= = JJJG JJJGJJJG JJJG + Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC ; 3 3 A B C A B Cx x x y y yG + + + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + H là trực tâm của tam giác ABC ⇔ . 0 . 0 AH BC BH AC ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG + I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ 2 2 2 2 AI BI AI CI ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ Huỳnh Bửu Tính 2 + Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC A B A B ax bx cxx a b c ay by cyy a b c + +⎧ =⎪⎪ + +⎨ + +⎪ =⎪ + +⎩ C C + Tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A A B A B ax bx cxx a b c ay by cyy a b c − + +⎧ =⎪⎪ + +⎨ − + +⎪ =⎪ + +⎩ C C + Tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác ABC B C B C bx cxx b c by cyy b c +⎧ =⎪⎪ +⎨ +⎪ =⎪ +⎩ + Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ AD BC=JJJG JJJG . + Diện tích tam giác ABC 2 2 21 1. ( . ) ( )( ) ( )( 2 2ABC B A C A C A B A S AB AC AB AC x x y y x x y yΔ = − = − − − − JJJG JJJG JJJG JJJG )− Chú ý. Cho điểm M(x;y). Khi đó − M1(−x;−y) đối xứng với M qua gốc tọa độ O − M2(x;−y) đối xứng với M qua trục hoành − M3(−x;y) đối xứng với M qua trục tung − M4(y;x) đối xứng với M qua đường phân giác y = x − M5(−y;−x) đối xứng với M qua đường phân giác y = − x Bài tập. Bài 1. Cho tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(1;4), N(3;0), P(−1;1). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đó. Bài 2. Cho hai điểm A(−3;2) và B(4;3). Tìm tọa độ của 1. Điểm M trên trục Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M. 2. Tìm điểm N trên trục Oy sao cho NA = NB. Bài 3. Cho ba điểm A(−1;1), B(3;1), C(2;4). 1. Tính góc A và diện tích của tam giác ABC. 2. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. Chứng minh 3 .IH IG=JJJG JJG Bài 4. Cho hình thoi ABCD biết A(3;1), B(−2;4) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên Ox. Xác định tọa độ hai đỉnh C và D. Bài 5. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD trong mỗi trường hợp sau 1. Biết A(2;−1) và B(−1;3). 2. Biết A(3;0) và C(−4;1). Bài 6. Cho ba điểm A(3;1), B(0;7) và C(5;2). 1. Chứng minh ABC là tam giác vuông. 2. M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh trọng tâm G của tam giác MBC luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài 7. Cho A(2;1), B(3;−1), C(−2;3). 1. Tìm tọa độ điểm D trên Oy để ABDC là hình thang có hai đáy AB và CD. 2. Tìm tọa độ điểm hình chiếu H của A trên BC. Huỳnh Bửu Tính 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình của đường thẳng. 1.1. Dạng tổng quát. Δ: Ax + By + C = 0, A2 + B2 ≠ 0 Đường thẳng qua điểm M(x0;y0), có phương trình Δ: A(x − x0) + B(y − y0) = 0, A2 + B2 ≠ 0 Nếu Δ qua gốc tọa độ O, thì Δ: Ax + By = 0, A2 + B2 ≠ 0. Ví dụ. Cho tam giác ABC đều. Biết A(3;2) và B(1;1). 1. Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB. 2. Tìm tọa độ đỉnh C. 1.2. Dạng tham số. Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x0;y0), vector chỉ phương ( ; ) 0u a b= ≠G G . Δ: 0 0 , x x at y y bt = +⎧⎨ = +⎩ t là tham số thực. Ví dụ. Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M(2;−1) và có vectơ chỉ phương ( 3;4)u = −G . Tìm điểm N ∈ Δ sao cho tam giác OMN vuông tại O. 1.3. Dạng chính tắc. Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x0;y0), vector chỉ phương ( ; ) 0u a b= ≠G G . Δ: 0 0x x y y a b − −= Đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) : A A B A B A x x y yAB x x y y − −=− − Ví dụ. Cho tam giác ABC biết A(2;3), B(−1;2) và C(1;4). 1. Viết phương trình đường trung tuyến AM. 2. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B và vuông góc với AM. 1.4. Phương trình đoạn chắn. Đường thẳng Δ chắn trên Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b) (ab ≠ 0), có phương trình Δ: 1x y a b + = Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng qua M(3;2), cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho 1. OA + OB = 12. 2. SΔOAB = 12 đvdt. B 1.5. Đường thẳng có hệ số góc. Δ: y = kx + b − Nếu Δ qua M(x0,y0), hệ số góc k thì Δ: y − y0 = k(x − x0). − Giả sử k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d1, d2 và α là góc giữa hai đường thẳng đó. Khi đó 2 1 2 1 tg 1 k k k k α −= + , α ≠ 90 °. Ví dụ. 1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M(−2;3) và hợp với trục hoành một góc 60°. 2. Cho đường thẳng d: x − 2y + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ qua gốc tọa độ O và hợp với đường thẳng d một góc α biết tgα = 13 . Chú ý. Cho đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0. Khi đó (i) Δ1 // Δ ⇒ Δ1: Ax + By + C1 = 0, C1 ≠ C. (ii) Δ2 ⊥ Δ ⇒ Δ2: Bx − Ay + C2 = 0. Huỳnh Bửu Tính 4 Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB: 2x − y + 5 = 0, đường thẳng AD qua gốc tọa độ O và tâm hình chữ nhật là I(4;5). Viết phương trình các cạnh còn lại. 2. Hình chiếu của điểm trên đường thẳng. Cho đường thẳng Δ và điểm M. Khi đó hình chiếu H của điểm M trên Δ được xác định như sau (1) Lập phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với Δ, (2) H = d ∩ Δ. Ví dụ. Cho đường thẳng Δ: x + 2y + 3 = 0 và điểm M(2;5). Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên Δ. Từ đó suy ra điểm N đối xứng với điểm M qua Δ. Chú ý. (i) H là hình chiếu của điểm M trên Δ ⇔ . . 0 H MH uΔ ∈Δ⎧⎪⎨ =⎪⎩ JJJJG JJG (ii) A đối xứng với B qua Δ ⇔ .AB u I Δ⎧ 0=⎪⎨ ∈Δ⎪⎩ JJJG JJG , trong đó I là trung điểm AB. Ví dụ. Cho điểm M(3;5) và đường thẳng Δ: 1 2 2 3 x t y t = +⎧⎨ = − −⎩ . Gọi N là điểm di động trên Δ. Xác định tọa độ điểm N để đoạn MN ngắn nhất. 3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng Δ1: A1x + BB1y + C1 = 0 và Δ2: A2x + B2B y + C2 = 0. (1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , ,x y A B B C C D D D A A B B C C = = = A − Δ1 cắt Δ2 ⇔ D ≠ 0 ⇒ Tọa độ giao điểm là ; yx DDI D D ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ − Δ1 // Δ2 ⇔ 00 0x y D D D =⎧⎨ ≠ ∨ ≠⎩ − Δ1 ≡ Δ2 ⇔ D = Dx = Dy = 0 (2) Nếu A2BB2C2 ≠ 0, thì − 1 1 11 2 2 2 2 // .A B C A B C Δ Δ ⇔ = ≠ − 1 1 11 2 2 2 2 .A B C A B C Δ ≡ Δ ⇔ = = − Δ1 cắt Δ2 1 1 2 2 .A B A B ⇔ ≠ Chú ý. Cho hai đường thẳng d1: y = k1x + b1 và d2: y = k2x + b2. Khi đó (i) d1 // d2 ⇔ 1 2 1 2 k k b b =⎧⎨ ≠⎩ (ii) d1 ≡ d2 ⇔ 1 2 1 2 k k b b =⎧⎨ =⎩ (iii) d1 cắt d2 ⇔ k1 ≠ k2 d1 ⊥ d2 ⇔ k1k2 = −1 Ví dụ. 1. Tìm m để hai đường thẳng d1: 2x − y + m + 2 = 0 và d2: (m − 1)x + y − 1 = 0 cắt nhau tại một điểm trên parabol (P): y = 2x2. Huỳnh Bửu Tính 5 2. Cho điểm I(−2;0) và hai đường thẳng d1: 2x − y + 5 = 0, d2: x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho 2IA IB= JJG JJG . 4. Chùm đường thẳng. Giả sử hai đường thẳng Δ1: A1x + BB1y + C1 = 0 và Δ2: A2x + B2B y + C2 = 0 cắt nhau tại điểm I. Khi đó, tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm I được gọi là chùm đường thẳng tâm I. Phương trình chùm đường thẳng: m( A1x + BB1y + C1) + n(A2x + B2B y + C2) = 0, m2 + n2 ≠ 0. Ví dụ. 1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M(2;−1) và giao điểm của hai đường thẳng d1: 3x + 5y − 7 = 0 và d2: x − 3y + 1 = 0. 2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1: 2x − y + 1 = 0 và d2: x − 2y − 3 = 0 đồng thời chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau. 5. Góc giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng Δ1: A1x + BB1y + C1 = 0 và Δ2: A2x + B2B y + C2 = 0. Đặt . Khi đó n1 2( , )α = Δ Δ 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | |cos . A A B B A B A B +α = + + Ví dụ. 1. Tính góc giữa hai đường thẳng d1: x + 3y − 8 = 0 và d2: 2x + y − 4 = 0. 2. Cho hai đường thẳng d1: x + (2m − 1)y + 2m2 + 1 = 0 và d2: (m − 1)x + my + 3m − 4 = 0. Định m để góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 45°. Chú ý. (i) 0° ≤ α ≤ 90° (ii) 1 2 1 2 // 0 Δ Δ⎡α = ⇔ ⎢Δ ≡ Δ⎣ D (iii) α = 90° ⇔ Δ1 ⊥ Δ2 ⇔ A1A2 + BB1B2B = 0 (iv) Hai đường thẳng Δ1 và Δ2 (không vuông góc với nhau) có hệ số gốc lần lượt k1 và k2. Khi đó 1 2 1 2 tg 1 k k k k −α = + 6. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Cho đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và điểm M(x0;y0). Khi đó 0 0 2 2 | |( ; ) Ax By Cd M A B + +Δ = + Chú ý. Cho hai đường thẳng song song Δ1: Ax + By + C1 = 0 và Δ2: Ax + By + C2 = 0. Khi đó 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( , ) ( , ), | | d d M M C C A B Δ Δ = Δ ∀ ∈Δ −= + 1 Ví dụ. Cho đường thẳng Δ: 3x − 4y + 8 = 0 và điểm A(−3; 1). 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ. 2. Tìm trên trục hoành điểm M sao cho d(M,Δ) = 3. 3. Viết phương trình đường thẳng d song song với Δ và cách Δ một khoảng bằng 2. 7. Phân giác của góc giữa hai đường thẳng. − Cho hai đường thẳng Δ1: A1x + BB1y + C1 = 0 và Δ2: A2x + B2B y + C2 = 0. Khi đó, tập hợp tất cả các điểm có cùng khoảng cách đến Δ1 và Δ2 là 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2A x B y C A x B y C A B A B + + + += ±+ + (*) Nếu Δ1 và Δ2 cắt nhau, thì (*) là phương trình phân giác của góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2. − Gọi D, E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài hạ từ A của tam giác ABC. Khi đó Huỳnh Bửu Tính 6 DB AB E AC B DC EC = − = − JJJG JJJG JJJG JJJG và . . . ., B C BD Db x c x b y c yx yb c b c C+ += =+ + ; . . . ., B C B CE E b x c x b y c yx y b c b c − −= =− − Ví dụ. Cho hai đường thẳng Δ1: 3x + 5y − 10 = 0 và Δ2: 3x + 5y + 8 = 0. 1. Viết phương trình đường thẳng Δ cách đều Δ1 và Δ2. 2. Viết phương trình đường thẳng Δ3 đối xứng với Δ1 qua Δ2. 8. Bài tập cơ bản. Bài 1. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết M(−1;1), N(1;9), P(9;1) là các trung điểm của ba cạnh tam giác. Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(1;−1), B(−2;1), C(3;5). 1. Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến BM của tam giác ABC. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với trung tuyến BM. Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có AB: 3x − y − 2 = 0, BC: x + y − 2 = 0 và tâm I(3;1). Viết phương trình đường thẳng chứa hai cạnh AD và CD. Bài 4. Cho đường thẳng Δ: 2 2 1 2 x t y t = − −⎧⎨ = +⎩ và điểm M(3;1). 1. Tìm điểm A trên Δ sao cho 13.AM = 2. Tìm điểm B trên Δ sao cho MB ngắn nhất. Bài 5. Một cạnh của tam giác có trung điểm là M(−1;1). Hai cạnh kia nằm trên các đường thẳng d1: x + 6y + 3 = 0 và d2: 2x t y t = −⎧⎨ =⎩ . Lập phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó. Bài 6. Cho tam giác ABC có BC: 1 1 2 x y− −=− 3 , các trung tuyến BM: 3x + y − 7 = 0 và CN: x + y − 5 = 0. Viết phương trình các cạnh AB và AC. Bài 7. Xác định các giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng 2 1 2 x mt y t = +⎧⎨ = −⎩ và 3x + 4y + 12 = 0 bằng 45 0. Bài 8. Cho đường thẳng d: 3x − 4y − 12 = 0. 1. Tính diện tích của tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ. 2. Viết phương trình đường thẳng d / đối xứng với d qua trục Ox. 3. Viết phương trình đường thẳng d // đối xứng với d qua điểm I(−1;1). Đs. 1. S = 6 (đvdt) 2. 3x + 4y − 12 = 0 3. 3x − 4y + 26 = 0. Bài 9. Cho hai đường thẳng d: (m + 1)x − 2y + m + 1 = 0 và d /: mx − 3y + 1 = 0. 1. Định m để hai đường thẳng cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm M. 2. Tìm số nguyên m để tọa độ giao điểm là số nguyên. Đs. 1. m ≠ − 3, ( )23 1 13 3;m mm mM − − − ++ + 2. m ∈ {−11;−7;−5;−4;−2;−1;1;5}. Bài 10. Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là M(1;3), trung điểm của AC là N(−3;1). Điểm A thuộc trục Oy và BC qua gốc tọa độ O. 1. Viết phương trình BC. 2. Tìm tọa độ A và viết phương trình đường cao BH. Đs. A(0;5), BC: x − 2y = 0 và BH: 3x + 4y − 10 = 0. Bài 11. Cho điểm M(3;3). Viết phương trình đường thẳng qua điểm I(2;1), cắt tia Ox và Oy tại A và B sao cho tam giác MAB vuông tại M. Đs. x + 2y − 4 = 0 và x + y − 3 = 0. Bài 12. Cho tam giác ABC có BC: 2x − y − 4 = 0 và hai đường cao BH: x + y − 2 = 0, CK: x + 3y + 5 = 0. Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác. Đs. AB: 3x − y − 6 = 0, AC: x − y − 3 = 0. Huỳnh Bửu Tính 7 Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD có AB: 2x − y − 1 = 0, AD qua M(3;1) và tâm 12( 1; )I − . Viết phương trình các cạnh AD, BC và CD. Đs. AB: x + 2y − 5 = 0, BC: x + 2y + 5 = 0, CD: 2x − y + 6 = 0. Bài 14. Cho tam giác ABC có 12( ;0M − ) là trung điểm AB và H(1;3), K(−1;1) lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh B và C (B có hoành độ dương). 1. Viết phương trình cạnh AB. 2. Tìm tọa độ A, B, C. Đs. 1. AB: 2x + y + 1 = 0 2. A(−2;3), B(1;−3), C(3;3). Bài 15. Cho tam giác ABC đều có đỉnh A(3;−5) và trọng tâm G(1;1). 1. Viết phương trình cạnh BC. 2. Viết phương trình cạnh AB và AC. Đs. BC: x − 3y + 12 = 0, AB: (6 5 3) 3 3 15 3 0x y+ − + + = , AC: (6 5 3) 3 3 15 3 0x y− − + − = Bài 16. Cho hình thoi ABCD có A(−2;3), B(1;−1) và diện tích hình thoi bằng 20. 1. Tìm tọa độ đỉnh D biết nó có hoành độ dương. 2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi. Đs. D(3;3) Bài 17. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2;2), AB: x − 2y − 3 = 0 và AB = 2AD và yA > 0. 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc K của I lên AB. 2. Tìm tọa độ A và B. Đs. K(3;0), A(7;2), B(−1;−2). Bài 18. Cho hình thoi có phương trình ba cạnh là 5x − 12y − 5 = 0, 3x + 4y = 0, 5x − 12y + 21 = 0. Viết phương trình cạnh còn lại. Đs. 3x + 4y ± 10 = 0. Bài 19. Viết phương trình bốn cạnh của hình vuông biết bốn cạnh lần lượt đi qua bốn điểm M(0;2), N(5;−3), P(−2;−2) và Q(2;−4). Đs. x − 3y − 2 = 0, 3x + y + 12 = 0, x − 3y − 4 = 0, 3x + y + 2 = 0 hoặc 7x − y − 2 = 0, x + 7y − 16 = 0, 7x − y + 12 = 0, x + 7y − 26 = 0 9. Bài tập tổng hợp và nâng cao. Bài 1. Phương trình hai cạnh của một tam giác là 5x − 2y + 6 = 0 và 4x + 7y − 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm trùng với gốc tọa độ O. Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(1;3), hai đường trung tuyến lần lượt là d1: y − 1 = 0 và d2: x − 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C. Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm 4 13 3;(G ) , BC: x − 2y − 4 = 0 và BG: 7x − 4y − 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Bài 4. Cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x − 2y − 1 = 0. Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC. Bài 5. Cho hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y − 7 = 0 và điểm A(2;3). Tìm điểm B trên d1 và điểm C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0). Bài 6. Cho tam giác ABC có A(0;0), B(2;4), C(6;0) và các điểm M trên cạnh AB, N trên cạnh BC, P và Q trên cạnh AC sao cho MNPQ là hình vuông. Tìm tọa độ các điểm M, N, P, Q. Bài 7. Cho đường thẳng Δ: x − y + 2 = 0 và hai điểm A(1;−2), B(2;1). Tìm điểm M ∈ Δ sao cho 1. MA + MB nhỏ nhất. 2. |MA − MB| lớn nhất. Bài 8. Viết phương trình các cạnh của hình bình hành ABCD biết tâm I(1;6) và các điểm M(3;0), N(6;6), P(5;9), Q(−5;4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Bài 9. Cho hai điểm A(−2;2), B(1;3) và đường thẳng d: 2x + 3y − 4 = 0. Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho |MA − MB| lớn nhất. Huỳnh Bửu Tính 8 Bài 10. Cho điểm A(−1;3) và đường thẳng Δ: x − 2y + 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình vuông ABCD, biết rằng B, C nằm trên Δ và C có các tọa độ dương. Bài 11. Cho A(10;5), B(15;−5), D(−20;0) là ba đỉnh của một hình thang cân ABCD. Tìm tọa độ đỉnh C biết AB // CD. Bài 12. Cho các điểm I(1;1), M(−2;2) và N(2;−2). Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, M nằm trên cạnh AB và N nằm trên cạnh CD. Bài 13. Cho hai đường thẳng d1: x − y = 0 và d2: 2x + y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A ∈ d1, C ∈ d2 và B, D ∈ Ox. Bài 14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết A(−1;4) và trung điểm của BC là M(3;1). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A biết AB: 2x − y + 3 = 0, BC: x + y − 1 = 0. Viết phương trình cạnh AC biết nó qua gốc tọa độ O. Bài 16. Cho hình vuông ABCD biết AB: 3x + 5y − 29 = 0 và tâm I(6;0). Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại của hình vuông ABCD. Bài 17. Cho các đường thẳng d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. ờng thẳng Δm: (m − 2)x + (m − 1)y + 2m − 1 = 0 và hai điểm A(2;3), B(1;0). Bài 18. Cho đư 1. Chứng minh rằng Δm luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. 2. Xác định m để Δm có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB. 3. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng Δm là lớn nhất. Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD biết rằng tâm )1;( 21 −I , AB: x − 2y = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Bài 20. Cho đường thẳng Δ: 5x − 12y + 32 = 0 và hai điểm A(1;−1), B(5;−3). Tìm tọa độ điểm M sao cho M cách Δ một khoảng bằng 4 và cách đều hai điểm A, B. Bài 21. Cho đường thẳng Δ: x.cosα − y + sinα + 2cosα = 0. Xác định α để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến Δ đạt giá trị lớn nhất. Bài 22. Cho ba điểm A(−6;−3), B(−4;3), C(9;2). 1. Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC. 2. Tìm điểm P trên đường thẳng d sao cho tứ giác ABPC là hình thang. Bài 23. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;−1), đường cao và đường phân giác trong kẻ lần lượt từ đỉnh B và C là 3x − 4y + 27 = 0, x + 2y − 5 = 0. Bài 24. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;−1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là 2x − 3y + 12 = 0, 2x + 3y = 0. Bài 25. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC biết C(4;3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh lần lượt là x + 2y − 5 = 0, 4x + 13y − 10 = 0. Bài 26. Cho tam giác ABC biết A(2;−3), trung tuyến mB: 10x + 3y − 12 = 0 và trung trực của cạnh BC là d: x − 3y + 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C. Bài 27. Cho A(1;3) và đường cao BH: 2x − 3y − 10 = 0. 1. Giả sử BC: 5x − 3y − 34 = 0. Tìm tọa độ B, C. 2. Giả sử AB: 5x + y − 8 = 0 và tam giác ABC cân tại C. Tìm B, C. Bài 28. Cho hai đường thẳng d1: 2x − y − 1 = 0, d2: x + y − 5 = 0 và điểm P(−2;−1). Gọi I là giao điểm của d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm P và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho 1. P là trung điểm AB. 2. IA = AB (A, B ≠ I). Bài 29. Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) biết đỉnh A(1;3), BC: x − 5 = 0 và tâm đường tròn nội tiếp hình thang là I(3;−1). Tìm tọa độ B, C, D. Huỳnh Bửu Tính 9 ĐƯỜNG TRÒN 1. Định nghĩa. − Cho điểm I cố định và số thực dương R. Khi đó, tập hợp (C) = {M | IM = RR} là đường tròn tâm I, bán kính R. − Cho AB cố định, AB = a > 0. Khi đó, tập hợp (C) = {M | }n 90AMB = D là đường tròn tâm I (trung điểm AB), bán kính . 2 aR = 2. Phương trình đường tròn. Dạng 1. Đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R có phương trình là (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2 Nếu I ≡ O, thì (C): x2 + y2 = R2. Dạng 2. Cho đường cong (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, với a2 + b2 − c > 0. Khi đó (C) là đường tròn tâm I(a;b), bán kính .22 cbaR −+= Ví dụ 1. Xác định tọa độ tâm và bán kính của các đường tròn sau 1. (C1): x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0. 2. (C2): 2x2 + 2y2 − 4x + 3y = 0. Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau 1. AB là đường kính của (C), với A(−1;2) và B(3;2). 2. (C) ngoại tiếp tam giác ABC, với A(1;2), B(2;−1) và C(1;1). 3. (C) đi qua hai điểm A(−1;2), B(3;1) và tâm I thuộc đ ờng thẳng d: 2x − 3y + 1 = 0. ư Chú ý. (i) (C) tiếp xúc Ox ⇔ R = |b|. (ii) (C) tiếp xúc Oy ⇔ R = |a|. (iii) (C) tiếp xúc với Ox và Oy ⇔ R = |a| = |b|. ⇒ tâm I thuộc đường phân giác y = x hoặc y = − x. Ví dụ 3. Viết phương trình của đường tròn (C) 1. Đi qua điểm A(2;−1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy. 2. Tiếp xúc với trục hoành tại A(−1;0) và qua B(3;2). 3. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 và điểm M(x0;y0) cố định. Đặt F(x,y) = x2 + y2 − 2ax − 2by + c. Khi đó phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là 2 2 0 0( , )( ) M MI R F x yCρ = − = = x02 + y02 − 2ax0 − 2by0 + c. Nhận xét. (i) F(x0,y0) > 0 ⇔ M nằm ngoài (C). (ii) F(x0,y0) = 0 ⇔ M ∈ (C). (iii) F(x0,y0) < 0 ⇔ M nằm trong (C). Ví dụ 1. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 4x + 8y − 5 = 0 và điểm A(−1;0). 1. Xét vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua kẻ từ A. Ví dụ 2. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0. Gọi I là tâm và R là bán kính của (C). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: 2x − y + 3 = 0 sao cho MI = 2R. 4. Trục đẳng phương của hai đường tròn. Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1): x2 + y2 − 2a1x − 2b1y + c1 = 0 và (C1): x2 + y2 − 2a2x − 2b2y + c2 = 0. Khi đó, trục đẳng phương của (C1) và (C2) là một đường thẳng có phương trình Δ: 2(a1 − a2)x + 2(b1 − b2)y + c2 − c1 = 0. Huỳnh Bửu Tính 10 ế 0 ) Chú ý. (i) Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm I1I2. (ii) Nếu (C1) ∩ (C2) = {A,B}, thì AB là trục đẳng phương. (iii) Nếu (C1) ∩ (C2) = {H}, thì tiếp tuyến chung tại H là trục đẳng phương. Ví dụ. Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 − 2x + 2y − 7 = 0 (C2): x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của (C1) và (C2). 5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn. Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ. Khi đó (i) d(I,Δ) > R ⇔ Δ ∩ (C) = ∅ (ii) d(I,Δ) = R ⇔ Δ ∩ (C) = H , Δ được gọi là tiếp tuyến của (C), H là tiếp điểm. { } (iii) d(I,Δ) < R ⇔ Δ ∩ (C) = A B{ , } Chú ý. Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R. (i) N u biết tiếp điểm T(x0;y0), thì tiếp tuyến của (C) là đường thẳng qua T và vuông góc với có phương trình là 0( ;TI a x b y= − − JJG Δ: (a − x0)(x − x0) + (b − y0)(y − y0) = 0. (ii) Nếu không biết tiếp điểm, thì dùng điều kiện sau để giải Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) ⇔ d(I,Δ) = R. Ví dụ. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 4x − 2y − 4 = 0 và đường thẳng d: (m + 1)x − 2y + 1 = 0. 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(−1;1) ∈ (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng Δ: 12x + 5y − 10 = 0. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm N(−1;2). 4. Chứng minh d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của AB. 6. Vị trí tương đối giữa các đường tròn. Cho hai đường tròn (C1) = (I1,R1) và (C2) = (I2,R2). Khi đó (i) (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔ |R1 − R2| < I1I2 < R1 + R2 (ii) (C1) tiếp xúc với (C2) ⇔ 1 2 1 2 1 2 1 2 | |I I R R I I R R = −⎡⎢ = +⎣ (tieáp xuùc trong) (tieáp xuùc ngoaøi) (iii) (C1) và (C2) không cắt nhau ⇔ 1 2 1 2 1 2 1 2 | | (loàng nhau) (ngoaøi nhau) I I R R I I R R +⎣ Ví dụ. 1. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x − y  + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). 2. Cho đường tròn (C1): x2 + y2 − 12x − 4y + 36 = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) tiếp xúc với Ox, Oy và tiếp xúc ngoài với (C1). 3. Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 1 và (C2): (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4. Viết phương trình tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn. 4. Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 và (C2): x2 + y2 − 8x − 4y + 16 = 0. 4.1. Chứng minh hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau. Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của (C1) và (C2). 4.2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Bài tập. Bài 1. Cho phương trình x2 + y2 + 2mx − 2my + 3m2 − 4 = 0 (1) 1. Định m để (1) là phương trình một đường tròn. 2. Tính bán kính của đường tròn (1) biết nó tiếp xúc với đường thẳng Δ: 2x − y = 0. Bài 2. Cho A(2;0) và B(0;1). Chứng minh tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 − MB2 = MO2 là một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy. Huỳnh Bửu Tính 11 Bài 3. Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau 1. Tâm I ∈ d: x + y − 3 = 0, tiếp xúc trục hoành và có bán kính R = 1. 2. (C) qua hai điểm A(2;1), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y − 2 = 0. 3. (C) tiếp xúc với đường thẳng d: 3x + y + 1 = 0 tại điểm A(1;−4) và qua điểm B(5;2). 4. Tâm I ∈ d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc đồng thời với d1: 3x + 4y + 5 = 0, d2: 4x − 3y − 5 = 0. 5. Tâm I(2;−4) và cắt đường thẳng d: 3x + 4y − 5 = 0 tạo thành dây cung có